為一道數學壓軸試題的講評“調焦”

錢大林

壓軸試題，通常是指在試卷最后面出現的且對綜合能力有較高要求的問題．當前針對壓軸題的講評，缺少“對焦”學生的“真學情”與“真水平”，沒有提供好合理、有效的教學活動支撐，導致無法有效幫助學生從直觀思維達到“何由以知其所以然”理性思維的跨越，本文從學生的現實學情出發，為一道數學壓軸試題的講評而主動“調焦”，經歷“嘗試再做，聚焦難點；曬出問題，找準癥結；喚醒認知，打通節點；拓展訓練，深度學習”等四個環節，幫助學生診斷思維上的痛點，打通理解轉化的關節點，提升學生解決壓軸問題的能力，并談談上好有關數學壓軸題講評課的教學啟示．

1 問題呈現

題目已知函數f（x）=| x-2a|，g（x） =|x- （a+l）|

分析（ I）略，第（Ⅱ）問是一道絕對值背景下取大函數的最值問題，此題是筆者所在學校實施新教材以來組織的期末檢測試題之一，其背景常規，關注函數圖象、性質的靈活運用和如何合理分類討論求出相應的最小值；該題滲透了數形結合、分類討論等數學思想，考查了邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養，檢測顯示該題的難度系數為0.26．本題是檢測過程中的生成性問題，為課堂展開探究活動、實現問題難點的突圍提供了前提．

2 教學過程

2.1嘗試再做，聚焦難點

探究任務1以下解題要點是學生再做壓軸題后，從幾位有代表性的解法中整理而來（以下簡稱“解題要點”）（見表1），大家通過觀察、比較，能否發現該解題方法的分類依據是什么？

學生1：上述表述很有條理，但少了函數圖象，看不懂討論背后的原因．

教師：是的，有個“導航圖”那該多好！我們自己能否造圖？

學生2：上述解法是基于a∈[0，6]，根據2a，a+l與區間x∈[2，6]的相對位置關系討論，但該解法的“小”討論部分：1

教學設想“對焦”思維上的兩個難點：第一，隨著參數a的改變，如何正確畫出每一類取大函數的圖象，并正確把握兩個函數圖象的相對位置關系；第二，結合定義域，如何合理分類，求出化筒后取大函數的最小值，設置第一份探究任務旨在聚焦上述難點和暴露學生內隱的答題誤區．

經歷短暫的辨圖后，不少學生提供了f（x）和g（x）圖象更多的位置關系，也算預料之中，分析原因有兩方面：一方面是沒有重視a在[0，6]上的“影響力”；另一方面是忽視了在a∈[0，6]前提下動點（2a，0）與（a+1，1）相對位置關系．

為了幫助學生探究錯因，筆者先讓學生解決如下問題：

教學設想“調焦”到第二份探究任務是順學而為，先讓學生借助圖象發現問題、分析問題，高一階段是培養學生自覺借助函數圖象解題的重要時間窗口，幫助學生正確理解并畫出f（x）=| x-2a|和g（x）=|x- （a+1） |+l的圖象，貼近學生的認知邏輯和認知心理，也為上述解答的難點突破奠定理解上的基礎，

教師：很好！分類清晰又有條理！根據圖7，圖8，圖9情形，你能概括出h（x）有幾種類型圖象？

學生6：根據取大函數的“效果”而言，圖8，圖9本質是同一類，h（x）圖象本質只有如圖10，圖11兩類情形，

2.4拓展訓練，深度學習

探究任務4下列的拓展問題1是通過新教材例題和習題資源整合而來；拓展問題2是期末考題的延伸，請大家限時訓練，

教學設想經歷壓軸問題解決的全過程，學生逐步了解了處理這類含參數的取大函數最值問題的一般思想方法，但對畫圖細節上的處理、分類討論依據的確定等思維訓練還不夠充分、深刻，要通過拓展訓練，進一步使一般數學思想方法得以內化，主動“調焦”第4份探究任務，借助拓展1強化取大函數圖象、取小函數圖象的畫法并培養遷移能力；借助拓展2，幫助學生強化數形結合、分類討論等一般思想解決問題的觀念，促進高階思維．

3 教學啟示

3.1厘清“生成性”問題，聚焦學生疑點，打通問題節點

教師要特別注意積累生成性問題資源，從而更好地調動學生的學習積極性和參與度，提升學習活動的效果[1]．在實際的教學過程中，教師需要站在學生的立場思考所授內容，只有將知識充分下沉到學生能理解的層面，才能把學生從“淺層學習”的泥潭里拉出來[2]．本節課的主題生成于期末檢測試題中取大函數問題．學生缺少解決該類問題相關的活動經驗，面對問題第一反應就是“怕”、“不自信”．為此，本節課立足于現實學情，關注學生的疑點，主動“調焦”到如何畫圖，如何分類，如何求最值等學生的需求面上，設計了四個層次性探究任務，幫助學生打通問題節點，實現從“知其所以然”到“何由以知其所以然”的跨越，提升了學生解決壓軸問題的思維能力，發展了學生的數學核心素養．

3.2細化“微探究”任務，拉長活動進程，減緩思維坡度

《普通高中數學課程（2017年）版》提出，在教學活動中，應合理設計教學目標，并通過相應的教學實施，在學生掌握知識技能的同時，促進數學學科核心素養的提升和水平的達成[3]．實施教學的方式有許多，其中“微探究”是一種在發現、提出、分析、解決問題等環節中，進行有指導的探究發現活動[4]．本節課為了給學生減緩思維坡度，把教學合理“調焦”到了學生的關切點上：即如何畫圖，如何尋找分類討論依據，如何求最小值，分別以四個“微探究”任務的形式，拉長了思維活動的進程，條理化解決了學生思維上困惑點，同時也兼顧了對“解題要點”的辨析，滿足了學生的“真”需求，積累了豐富的數學活動經驗．

3.3依托“拓展題”訓練，引發深度學習，發展數學核心素養

教師更應該引導學生發現和感悟函數圖象，作為深刻理解函數的重要工具和有效手段[2]．針對函數壓軸試題的“畫圖難、識圖難、用圖更難”的學生軟肋，本節課通過拓展訓練幫助學生達到：正確、快速畫出取大函數和取小函數的圖象并能用分段函數正確表示；根據函數f（x）=|ax2 +x+b-a|，借助“數形結合”、“分類討論”一般思想，正確求出函數f（x）在x∈[-l，1]上的最大值．通過問題拓展，把原壓軸試題關聯的知識和思想方法、數學活動經驗加以遷移、延伸，引領學生思維逐步進階，促進深度學習，發展數學直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養．

無論壓軸題難易，都不要急著把正確答案和盤托出，得慢慢來，主動“調焦”，看清學生解決壓軸試題“堵點”的源頭，并站在學生的立場上，把教學過程“調焦”到一個個便于學生理解、愿意參與的層次性探究任務上，幫助學生慢慢去體悟、理解．這樣有利于激活學生的內驅力，能讓“教”與“學”渾然一體，促進數學學科核心素養的提升和相關水平的達成，

參考文獻

[1]史寧中，王尚志．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：高等教育出版社，2020 （11）： 187

[2]李捷生．函數理解看圖象亂云飛渡仍從容：基于深度學習理論下的函數應用教學[J]．高中數學教與學，2021（4）：47

[3]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[4]蘇洪雨．基于問題設計的數學微探究評價體系構建[J]．數學教育學報，2019（1）：23-28