對一道聯(lián)考試題的探究

蔡洪洪

湖北省十一校2021屆高三第二次聯(lián)考試題第21題是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在x軸及其上方，且點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，1）的距離比到x軸的距離大1．（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若點(diǎn)Q是直線v=x-4上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作點(diǎn)P的軌跡C的兩條切線QA，QB，其中A，B為切點(diǎn)，試證明直線AB恒過一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，

本題的答案是：（1）點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2= 4v；（2）直線AB恒過定點(diǎn)（2，4）．

通過分析該題，我們不禁要問：對于一般的拋物線C：X2= 2py（p>0）和定直線y=kx+n（與拋物線C相離），直線AB是否恒過某一個(gè)定點(diǎn)？由此可引發(fā)一系列的探究．

1縱向探究

經(jīng)探究，可得：

結(jié)論1已知拋物線C：x2= 2py（p>0），點(diǎn)Q是

以上通過對一道聯(lián)考試題的縱向、逆向及橫向探究，得到了圓錐曲線的極點(diǎn)和極線的配極性質(zhì)，揭示了試題的深刻背景．這雖然不是什么新的發(fā)現(xiàn)，但是對學(xué)生來說卻是全新的課題，這對訓(xùn)練和提升學(xué)生的探究能力以及創(chuàng)新思維能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)無疑是有益的，正如著名數(shù)學(xué)教育家G．波利亞所說的：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使其通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域，”從一些典型的試題中挖掘數(shù)學(xué)探究課題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，探究適當(dāng)?shù)慕Y(jié)論或規(guī)律，這有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；有助于學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力；有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，

參考文獻(xiàn)

[1]G．波利亞．怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M]．上海：上海科技教育出版社，2017

[2]中華人民共和國教育部制定．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017