析數學試題賞數學文化

蘇紅

數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分．[1]《2017年普通高考考試數學大綱》中增加了“數學文化”考查的要求，數學文化的相關試題也成了數學高考中的一個熱點．那么什么是數學文化呢？簡單說，數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發展；廣泛些說，除上述內涵以外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的聯系，等等．[3]近年來高考題常從中外書籍、學術成果和世界文化中取材，創設情境，將數學文化融于高中數學教學或試題中，考查學生的數學核心素養．本文通過對近幾年高考真題和模擬試題中出現的數學文化試題研究歸納，從中精選了一些試題進行分類整理，以供讀者鑒賞．

1融于數學古典名著和經典問題，滲透數學歷史

例1 （2020年安徽省江南十校高考（理科）數學（4月份）模擬試卷）“哥德巴赫猜想”是近代三大數學難題之一，其內容是：一個大于2的偶數都可以寫成兩個質數（素數）之和，也就是我們所謂的“1+1”問題，它是1742年由數學家哥德巴赫提出的，我國數學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績，若將6拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，加數全部為質數的概率為（ ）．

A.1/5-

B. 1/3

C. 3/5

D．2/3

解析把6拆成兩個正整數和的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），其中加數全為質數的有（3，3），故所求概率為1/5，

賞析本題以數學歷史中的經典數學猜想為背景，考查古典概型以及數學運算、邏輯推理核心素養，自哥德巴赫猜想提出以來，吸引了許多數學家去研究，值得驕傲的是我國一些著名的數學家在證明該猜想過程中做出了出色成績，足以體現了我國數學家們刻苦鉆研、創新進取的精神，

例2（甘肅會寧2018屆12月月考）如圖1所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發現，我們來重溫這個偉大的發現，圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為（

）．

賞析阿基米德發現了球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的三分之二，后人為紀念他便在其墓碑刻上球內切于圓柱的圖形，本題以此背景，不僅考查圓柱與球的體積、表面積公式，滲透了數學歷史，還展現了數學的人文情懷．

2融入中國傳統文化中的數學元素，滲透數學精神

例3 （2020年高考全國I卷·理4）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球（球心記為O，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點彳且與OA垂直的平面，在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（

）．

A．20°

B．40°

C．50°

D．90°

解析畫出截面圖如圖3所示，其中CD是赤道所在平面的截線；，是點A處水平面的截線，AB是晷針所在的直線，m是晷面的截線．由題意知O上，，晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，則m∥CD，AB⊥m，又∠AOC= 40°，所以∠OAG=∠AOC= 40°，由于OA⊥l，AB ⊥m，所以∠BAE=∠OAG= 40°，即晷針與點A處水平面所成角為40°，

賞析中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則，古代名著《周髀算經》和《易經》中都有對二十四節氣的晷影長的記錄，通過實際測得晷影長可以判斷出當時所處的節氣．本題以中華民族的優秀傳統文化日晷為背景，將數學、地理及天文學多學科的知識綜合考查，不但考查了學生的數學基礎知識，還潛移默化之中滲透了愛國主義教育，

例4魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創的榫卯結構，這種三維的拼插器具內部的凹凸部分（即榫卯結構）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴絲合縫的十字體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經90°榫卯起來，如圖4，過正四棱柱體高為6，底面正方形的邊長為1，現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積的最小值為____

（容器壁的厚度忽略不計）

賞析魯班鎖也叫孔明鎖，起源于古代建筑中的榫卯結構，是我國民間廣泛流傳的智力玩具，魯班鎖種類繁多，本文以六柱孔明鎖為背景考查了立體幾何知識及極限思想．魯班鎖蘊含了我國古代勞動人民的智慧結晶，也彰顯了古人的“工匠精神”．

3 融于生產、生活等實際應用，滲透數學應用

例5（湖南師范大學附屬中學2019屆高三數學課前模擬五）中華人民共和國國旗是五星紅旗，旗面左上方綴著的五顆黃色五角星，四顆小五角星環拱于大星之右，象征中國共產黨領導下的革命人

賞析本題介紹了幾何學兩件寶中的一寶——“黃金分割”，以五星紅旗中的五角星為命題背景，考查了相似和概率知識，我國國旗中的五角星圖案優美，正是因為其對應邊的比值為黃金分割，而黃金分割也充分體現了數學在美學以及生產生活中的應用．

賞析祖暅是我國南北朝時期數學家、天文學家，提出的著名的祖暅原理中“冪”即是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體的體積相等．本題以國寶為素材，融合祖咂原理，考查雙曲線以及圓柱體積，體現了我國注重傳統文化在現實生活以及生產創造中的應用，同時也體現了我國的數學歷史悠長久遠，

賞析本題以當今形勢的熱點問題“新冠肺炎”以及數學模型Logistic為命題背景，考查學生對新定義概念的理解能力以及數學運算能力．Logistic模型作為常用數學模型之一，廣泛運用于流行病學的研究，體現了數學在科學發展中的重要意義以及對人類社會的發展與進步所作出的巨大貢獻．

參考文獻

[1]普通高中數學課程標準[M]．北京：人民教育出版社，2017

[2]馬銳，羅兆富，數學文化與數學欣賞[M].北京：科學出版社，2015

[3]顧沛．數學文化[M]．北京：高等教育出版社，2008