讓深度學習走進數學課堂
——以“橢圓的標準方程”教學為例

陸王華

江蘇省南通中學 226001

深度學習是當前數學教學的一個熱詞，它建立在學生深層次理解的基礎上，其既強調教師的引導作用，又關注學生的主體參與，讓學生通過體驗和深入思考掌握數學的本質，幫助學生形成積極的學習動機，培養學生正確的學習觀和價值觀.筆者以 “橢圓的標準方程”一課為例，淺談自己對深度學習的理解與實踐，僅供參考！

教學過程

1.探究性導學單

課前教師結合教材內容和學生學情設計了導學單，以便學生在明確的問題的引導下進行有效預習.

導學單的內容如下：

（1）回顧探究圓的標準方程這一節內容，說一說圓的標準方程的推導步驟.圓上的點與方程滿足什么條件后，才說明這個方程是圓的方程呢？

（2）你認為可以如何研究橢圓？特別地，已知一個橢圓上的點M以及焦點F1，F2滿足0（a，c為實數），試著求出它的方程.

設計意圖：引導學生通過舊知回顧獲得新知的探究方法，并將新知內容納入原有的認知體系中，逐漸完善學生的認知結構.另外，在預習內容中，借助實例讓學生經歷自主探究方程的過程，這樣不僅可為課堂教學提供教學素材，而且有利于引發深度學習.

2.研究性教學活動

學生獨立完成課前導學單內容，教師結合學生反饋制作成課件，以便通過有效交流讓學生獲得深刻的理解.

環節1：為什么這樣算？

師：觀察圖1，你認為這樣化簡好不好？（教師用PPT展示學生的化簡過程，引導學生通過觀察、分析、思考等過程找到問題的癥結）

圖1

生1：該過程涉及的字母太多，很難計算.

師：你認為出現以上問題的根本原因是什么？

生1：設得過于復雜，沒有認識到橢圓的兩個焦點是對稱的，可直接設F1（－c，0），F2（c，0）.

師：很好，合理建系往往可以達到簡化運算的效果.在解決問題時不要急于求成，應該注意觀察、認真分析.

師：觀察圖2，誰來說一說這步想要做什么？為什么要抹去部分等式呢？（教師繼續展示學生的化簡過程）

圖2

生2：這步想通過兩邊平方去掉根式，可能發現直接平方比較復雜，所以放棄了.

師：觀察圖3，這樣做的目的是什么？你認可這一做法嗎？（教師繼續出示圖3）

圖3

生3：圖3最終的目的也是為了去掉根式，但在平方前先移項了，這樣等式的左右各有一個根式，平方后左側根式可以直接消除，然后整理，再移項，再平方，通過兩次平方實現了化簡.

師：說得非常好，這一運算過程與教材不謀而合，可見大家有著超強的分析和運算能力.

師：在檢閱大家的預習成果時，發現有的同學是這樣算的.（教師出示圖4）

圖4

師：對于以上過程該如何理解呢？（教師預留時間讓學生觀察、交流）

師：現在請當事人說一說，當時你是怎么想的呢？

生4：通過觀察發現，無論是直接平方，還是移項后平方，都需要兩次平方才能去除根式，于是我就想試一試通過構造對稱結構的方式去抵消根式，然后我就將2a進行了拆分，再平方就出現了根式相減的現象，聯想到開始的兩根式之和，利用加減相消表達出了一個根式.

師：能想到利用對稱創造相消項，非常有創意.

師：觀察圖2后部分學生預測直接平方計算比較煩瑣，所以更改了運算策略.但也有部分學生直面挑戰，給出了這樣的運算過程.（教師展示圖5，并預留時間讓學生觀察）

圖5

師：請利用以上方法化簡的同學說一說，當時你是怎么想的呢？

生5：起初也沒有多想，直接就平方了，但是在整理時發現運算過程比較復雜，也想過通過先移項再平方的思路求解，不過我又想到即使通過移項還是需要兩次平方，所以我就嘗試將這個過程進行到底.仔細觀察式子的結構特征發現，若將根號下的式子進行變形可以構成平方差公式，這也是一種對稱.就這樣一邊做，一邊觀察，后來聯想到了換元，于是得到了以上運算過程.

師：非常好，看似無心插柳，卻離不開知識、經驗和方法的支撐，可見大家有著扎實的基本功.

設計意圖：為了改變師講生聽的低效教學模式，教師沒有直接展示課本運算過程，而是根據預習單提取一些典型案例，這樣有效拉近了學生與課堂的距離，調動學生參與的熱情.同時，通過觀察、分析、交流，喚起了學生的深思，既讓學生明晰了算理，又掌握了運算方法，有效提高了學生分析和解決問題的能力.

環節2：什么是曲線方程？

師：在導學單上有學生給出了這樣一個運算過程，你知道這段文字要表達的是什么嗎？（教師出示圖6）

圖6

生6：驗證方程的解為橢圓上點的坐標.

師：哦！得到橢圓方程經歷了復雜的計算，一定要驗證嗎？

生6：需要，從剛剛求解過程可以看出橢圓上點的坐標是方程的解，但并沒有說明方程的解是橢圓上點的坐標，所以需要進一步驗證.

設計意圖：在導學單上，教師已經明確要求學生對結果進行驗證，不過效果并不明顯，大多數學生將精力放在研究“橢圓上點的坐標是方程的解”上，忽視了對“方程的解是曲線上點的坐標”的驗證，可見他們對曲線方程的理解不夠深刻.教師展示學生的成果，其目的是引起學生注意.不過，由于教材對驗證過程沒有太高的要求，所以教師也沒有繼續開展探究，而是點到為止，讓學生理解數學的嚴謹性，培養其正確的數學觀即可.

環節3：如何求曲線方程？

師：對于最后一個問題，有同學給出了圖7所示的解答過程，這樣的做法對嗎？求曲線方程的步驟是什么呢？

圖7

生7：圖7的解答步驟存在問題，這里面沒有顯示建系的過程.求曲線方程的第一步是建系，沒有坐標系又何來點的坐標呢？

師：說得很好，誰來總結歸納一下，求曲線方程要有哪幾個步驟呢？

生8：分為5步：①建系設點；②尋找條件；③列出方程；④化簡；⑤證明.

師：說得很好，語言簡潔精煉.對于以上問題，你們認為如何建系運算更簡潔呢？

生9：構建對稱圖形，這樣式子中會出現對稱結構，更易于化簡.基于以上分析，解題時可以F1，F2兩點所在直線為橫軸，以線段F1F2的中垂線為縱軸，建立平面直角坐標系.

師：還可以怎樣建系？得到的對應的方程又是什么呢？

設計意圖：教師引導學生在原有基礎上繼續探究，學生找到了不同的建系方法，有的學生認為可以其中的一個焦點為坐標原點建系，雖然通過該方法能列出方程，但是因為運算煩瑣并沒有得到結果；有的學生利用中垂線構造對稱形式，但把焦點放在了縱軸，使得化簡時犯難了.為了幫助學生掌握問題的本質，教師放慢了腳步，通過引導和啟發讓學生發現其中蘊含的規律.

師：現在誰來說一說，你是如何建系的呢？（教師點名讓學生回答）

生10：我的建系思路與生9相同，也是用中垂線構造對稱形式，但我將焦點放在了縱軸.

師：你化簡的方程是什么？

生10：過程有些復雜，目前我還沒有化簡出來.

生11：這個不需要化簡，可以直接寫出方程.（生11搶答道）

師：為什么呢？

生11：兩種建系方法的唯一區別就是x軸與y軸進行了互換，這樣在化簡時無非就是將x換成了y，y換成了x，因此不需要再化簡，只要將x和y互換即可.

師：非常完美的表述，這樣由幾何圖形中的對稱聯想到了代數中的對稱，可見同學們已經掌握解析幾何問題的解決方法了.

設計意圖：根據導學單發現，不少學生給出的解題過程并不規范，缺失建系的過程.由此教師刻意展示不規范的解題過程，讓學生在糾錯的過程中進行深度思考，通過對不同建系方法的探究，不僅深化了他們對知識的理解，而且有效地發展了新課，得到了橢圓標準方程的另外一種情況.

教學思考

本節課的重點為推導橢圓的標準方程，推導過程中教師以學生的算法為主線，發現了不同的解法，并通過對不同解法的分析，讓學生在理解他人解題思路的過程中深刻地理解知識，優化算法，提升學生的數學運算能力.

在本節課教學中，教師以學生的自主探究為主線，為深度學習提供了前提.要知道，機械模仿、死記硬背難以誘發學生深度思考，不利于深度學習達成.在實際教學中，教師應從學生實際學情出發，依據教學內容科學合理地創設問題，從而讓學生在問題的啟發和引導下去思考、去探索、去交流，以此讓學生掌握數學研究方法，理解數學的本質，從而使“學”變得既有深度又有意義.

總之，在教學實踐中，教師切勿因追求“速度”而大包大攬，那樣不利于學生學習能力提升，會影響學生的長遠發展.在教學中，教師要學會放慢節奏，為學生提供機會去發現、去探索、去創造，以此豐富學生的認知，提高學生的學習品質.