注重解題策略 優化數學思維

魏綺蕓

甘肅省平涼市第一中學 744000

解題不僅能檢驗學生對知識的理解與掌握程度，還能讓學生在錯綜復雜的情境下，靈活應用自身已有的知識對具體問題進行有條不紊地分析，通過再創造性的思考，感知探究問題的過程，從而解決問題.解題策略對解題能力的形成，具有舉足輕重的影響.但在實際教學中，仍有部分教師只注重學生的解題結果，而忽略了解題策略的引導，導致有些學生遇到一些復雜的問題時，感到手足無措，無法變通.因此，筆者特別針對解題策略在數學教學中的應用談一些拙見.

數形轉化解題策略

數形轉化解題策略是指將數或形的問題，從一種形態轉化為另一種形態或互相轉化的策略，它既是一種常用的解題方法，也是一種重要的數學思想.解題時，我們常在問題提供的“數”中思考相應的“形”，或在問題提供的“形”中尋覓相應的“數”，將兩者嚴密地結合在一起，互相轉化，則能達到解題的目的.

縱觀近些年的高考試題，會發現新穎的問題層出不窮，對學生思維的深度與靈活性的要求越來越高.數形轉化解題策略的應用，不僅能解決一些抽象的問題，還能優化學生的思維，培養學生的創造意識.這種轉化方法常用于解決函數最值與值域、不等式以及三角函數等問題，簡化問題難度是它最大的優勢，在填空題與選擇題的解決中，其優越性更加明顯.因此，教師應注重培養學生的數形意識，形成“見數思圖”“見圖知數”的習慣.

例1直線y=1與函數y=2sin（ω＞0）在（0，π）內存在三個交點，求ω的取值范圍.

分析：從題設條件來看，這是直線與函數位置關系的圖形問題，常規思維認為通過畫圖來解題是最便捷的.但觀察問題的條件，會發現本題的函數圖像并不容易畫出來，同時，問題還涉及三個無法一眼就能確定的交點位置，因此從“形”的角度著手思考，不一定是最便捷的方法.若轉化思考本題的方向，從“數”的角度去分析，也就是應用方程來解題，則容易得多.

從本題來看，雖然圖形具有直觀、形象的特征，但過于復雜的“形”還需要依靠“數”來分析.這就需要充分挖掘問題中的條件，結合圖形的幾何意義與性質，準確地將圖形數字化，達到解題的目的.

整體性解題策略

整體性解題策略是指將問題中的一些元素視為一個整體，通過對這個整體條件與結論的研究，達到簡化問題難度、提高解題效率的目的.這種方法能有效地避免多個小問題帶來的信息干擾.新課授學時，教師將數學的整體結構進行點狀分割，以幫助學生更好地理解知識結構；復習時，又將這些點狀的知識點有機地整合到一起，讓學生通過整體結構發現數學本質，完善認知；解題時，從知識的整體性出發，聯系各知識點之間的結構特征進行分析，可提高解題效率.

例2已知函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=－，證明f（x）在（0，2）上有零點.

分析：根據題意，f（1）=－＜0，依照零點存在定理，僅需判斷f（0）與f（2）的正負即可，但這個方向難度較大，需要分類討論.若從整體思想的角度來考慮，則能有效簡化本題難度，呈現耳目一新之感.此題還隱藏著一個重要的“二分法”思想，即1為區間（0，2）的中點.

解析：根據題意，f（1）=－＜0，a，b，c的和為－，則b+c=－，因此f（0）+f（2）=4a+c+2b+c=4a+2×，因此f（0）與f（2）中必定有一個為正，由此可確定f（0）·f（1）＜0與f（1）·f（2）＜0中必定有一個是成立的，因此函數f（x）在（0，1）或（1，2）上存在零點，因此f（x）在（0，2）上存在零點.

為了鞏固學生對整體性解題策略的應用，教師可以設計變式，供學生自主探究，達到啟發思維、深化思考、熟能生巧的目的.

變式：已知函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且2a+3b+6c=0，證明f（x）在（0，1）上有零點.

此變式比較“狡猾”，雖然問題與原題類似，但條件卻很隱蔽，需要學生從“二分法”的角度去思考，也就是的正負.由此可見，該變式主要考查學生的思維變通能力.

解題時，若遇到過程過于煩瑣或干擾條件過多時，不妨換一種思維模式，另辟蹊徑，讓思維“整體轉化”，將一些條件視為一個整體進行解題，有可能會出現“柳暗花明又一村”的景象.高中數學中常用的整體性解題策略包括整體代換、整體判斷、整體換元等.不論應用哪種方法，都需要用戰略性的眼光去看待每一個問題，以突破解題思維的瓶頸，達到優化思維、提升解題能力的目的.

特殊化解題策略

特殊化解題策略主要是以特殊數值、圖形、角、位置或數列等代替問題中的普遍條件，從所獲得的特殊結論來推導、論證出命題的正確性的方法.特殊化解題策略不僅具有“探路”作用，還能在很大程度上簡化運算與推理過程，提高解題效率.縱觀近些年的高考試題，結合特例法解答的問題占比有上升趨勢.因此，教學中教師應引導學生勤加訓練，使學生能敏銳地發現更簡便的解題方法.

數學中有很多問題都存在著一定的結構特征與內在規律，只要有敏銳的觀察能力，就能快速洞察到其特點，這對解題具有深遠的影響.如看到問題中有3，4，5這樣的數字，就能快速聯想到勾股定理，這種對數字、式子或圖形敏感的能力，能讓學生快速發現問題的本質，從而化繁為簡，巧妙求解.

解法1：運用“特例法”，設f（x）=1，f（x）滿足原題條件，利用“排除法”，很快可將B，C，D排除掉，確定本題選A.

解法2：將題設條件更換成cosx·f′（x）－sinx·f（x）＜0，令g（x）=cosx·f（x），那么g（x）＜0，因此g（x）在上單調遞減，通過代入檢驗的方式，可得選項A是正確的.

對比以上這兩種解題方法，發現解法1給大家帶來了一種大快人心的感覺，設f（x）=1就輕輕松松把一道題給解決了.此過程不僅呈現了數學簡潔美的魅力，還體現了思維的靈活性與敏銳性對解題的影響.應用特殊化策略解題，除了要有扎實的基礎知識外，還要有良好的數感，遇到問題時才能靈光乍現.而要獲得這種數感，就需要日常的思維訓練和核心素養的培養.

具體與抽象解題策略

生活中，有些事物我們可通過切身體驗感知它的存在，而有些事物卻無法用我們的感覺器官去感知.生活如此，解題亦如此.有些開放性問題，我們可以通過實踐獲得真知，但有些問題無法通過具體實踐獲得答案.這就需要學生充分發揮想象，將抽象的事物具體化或將具體的事物抽象化，在兩者的互相轉化中找到突破口解題.

同時，抽象思維與具體思維又是相輔相成、相對而言的.有些學生雖然有良好的具體思維能力，但抽象思維能力有所欠缺.這種特征導致他們更擅長解決一些具體問題，對于抽象問題則容易產生畏懼心理.因此，教師應注重學生抽象思維與具體思維互相轉化的培養，為核心素養的發展奠定基礎.

例4已知函數f（x）=log2（）+2018x3，且f（x2+2x）+f（x－4）＞0，則x的取值范圍是多少？

分析：觀察本題，雖然題設條件給出了具體函數，但若想用“代入法”求解，有一定難度.換個角度，抽象發現該函數是奇函數，且為增函數，根據此性質解題，則簡單很多.

解析：已知函數f（x）為奇函數，同時在R上是增函數，根據f（x2+2x）+f（x－4）＞0，可得f（x2+2x）＞－f（x－4）=f（4－x），因此x2+2x＞4－x，即x2+3x－4＞0，解得x＞1或x＜－4.因此x的取值范圍為（－∞，－4）∪（1，+∞）.

本題充分體現了具體與抽象互相轉化對解題的直接影響.較好的抽象能力，能把控好問題的整個格局.有時拋開一些具體、零散或繁雜的干擾條件，常能抽象出問題的核心與本質，讓人產生一種“撥開云霧見天日”的感覺，解題能力與思維品質也在這種轉化中得以螺旋提升.

總之，解題策略是考查學生對知識的掌握程度，衡量學生思維能力與解題能力的重要指標之一.有效的解題策略能讓學生利用最少的時間，高效、準確地完成解題.然而，解題策略有很多，究竟該如何選擇，這就需要教師培養學生根據問題特征與認知情況，用科學、合理的策略解題，達到優化思維品質、提升核心素養的目的.