高中數學教學的恒久主線：能力培養

孟軍軍

江蘇省鄭集高級中學 221100

高中數學教學的目的是什么，在不同的視角下，可能會有不同的答案.比如在“雙基”的視角下，教學的目的就是使學生掌握基礎知識與基本技能；在課程改革的背景下，教學的目的就是使學生實現“三維目標”；在核心素養的背景下，教學的目標就是發展學生的核心素養.應當說，從“雙基”到三維目標，再到核心素養，反映著我國基礎教育目的的變化與升級，反映著對學生成長方向的期待.然而需要注意的是，任何一種教育目標的達成，又都必須以學生的內在發展為核心.那么學生的內在發展是什么呢？筆者以為應當是“能力”.相應地，“能力培養”就應當成為學科教學的主線.自然，高中數學教學也不例外.

縱觀近年來的教學改革與課程改革，可以發現隨著新課程改革的深入，隨著核心素養對此前教學目標的高度概括，今天的高中數學教學已經不能再滿足了單純的知識傳授或習題訓練，而應當真正實現從知識、能力的發展，向核心素養培育這一目標轉變.而這實際上就是引導學生用數學的眼光看問題或事物，用數學的語言描述問題或事物，用數學思想和方法解決問題、理解事物.在具體的教學過程中，教師如何才能幫助學生擁有“用數學的眼睛看，用數學的思維想，用數學的語言說”的能力呢？顯然，這必須以能力的培養為支撐［1］.因此可以認為，無論教學目標發生了什么樣的變化，能力的培養總是不變的，任何教學目標的達成，都應當是以能力培養為途徑的.

能力培養是數學教學的根本要求

客觀上，我國高中數學教學的發展是伴隨著世界教學改革潮流的，尤其是發達國家的教學思想，給我國基礎教育帶來了不少有益的啟示.比如日本文部科學省在2018年3月31日頒布了新的高中數學學習指導要領.這個指導要領的核心思想，就是培養學生的“數學素質和能力”.借鑒這些教學理念，結合我國高中數學教學的實際，可以形成的基本認識就是高中數學應培養的數學素質和能力主要體現在知識技能的學習，思考力、判斷力、表達力的培養等方面［2］.筆者以為，理解數學教學中的能力培養，應先從教學理念中樹立起深度認識.

其實在高中數學傳統教學中，對能力培養也是高度重視的，只不過在很長的一段時間里，能力都被理解為解題能力，當然現在看來這種理解是狹隘的.既然能力可以理解為思考力、判斷力、表達力等，那么在數學教學中，就應當從學生學習某一數學概念或規律、解決某一數學問題或生活問題的過程里，去看學生是如何完成學習的，看學生在學習的過程中是如何思考與判斷的，看學生學習后是如何進行表達的.看這一能力養成的過程，可以發現其不僅對應著“雙基”，也對應著核心素養.尤其是從核心素養的角度來看，學生在數學學習的過程中進行思考與判斷，實際上就涉及數學學科核心素養中的邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析等，而學生的學習結果也常常表現為數學模型——廣義上的數學模型不僅包括實物模型，也包括數學概念或規律等，后者可以理解為一種認知模型.因此能力養成的過程，可以讓學生順利地發展數學學科核心素養.基于此，如果說核心素養是學生學習的目標，那么能力培養就是達成這一目標的路徑的核心.所以說，能力培養就是數學教學的根本要求.

基于能力培養主線的數學教與學

能力培養是指向實踐的，對于教師來說這個實踐是指教學實踐，對于學生來說這個實踐是指建構新知識、解決新問題.考慮到思維能力是數學能力生長的關鍵所在，因此在高中數學課堂中，作為高中數學教師，需要善于利用數學的魅力，挖掘數學學科中的 “真、善、美”，并以此來激發學生的思維，助推核心素養在高中數學學習中的滲透，促進學生核心素養的落地生根［3］.這里來看一個知識教學的案例.

在“任意角和弧度制”的教學中，教師可以從圓周運動這一常見的周期性變化現象出發，讓學生在對類似于此問題的探究中，發展自身的知識建構與問題解決能力，進而奠定數學學科核心素養培育的基礎.具體包括以下兩個教學環節：

首先，利用圓周運動創設一個情境，并提出相關的問題.創設的情境可以是：如圖1所示，圓O上的點P以A為起點，做逆時針方向的旋轉，對于這一運動，同學們有怎樣的認識？這個問題的設計主要想讓學生認識到這一圓周運動是周期性變化的運動.等學生認識到這一點后，教師可以進一步提出問題：如何刻畫點P的位置變化？

圖1

其次，引導學生在任意角概念形成的基礎上，尋找到描述角及其變化的方法.點P在圓周上的運動，直觀上可以視作點的運動，而進一步分析則可以看出這也是一個OP與OA夾角發生變化的運動，于是“刻畫點P的位置變化”就可以轉換為“刻畫角的變化”.

認識到這一轉換的過程，實際上就是思維加工數學知識的過程，對應著學生思維能力的發展，同時也對應著數學學科核心素養中的直觀想象，即幾何直觀與空間想象.在這里教師可以先借助一些數學規定去幫助學生奠定能力培養的基礎，這些數學規定主要是指正角、負角和零角的規定，對于高中生來說，他們很容易理解這一規定.從能力培養的角度來看，結合這一規定，需要讓學生形成一個表象，這個表象首先是靜態的，即任意一個正角或負角，以及夾在兩者之間的零角.然后應當引導學生將這個靜態表象轉換為動態表象，而這可以依靠學生的想象能力來完成.這個動態表象就是類似于圖1中的半徑OP的順時針或者逆時針轉動.

當學生大腦中有了動態表象后，另一個主要的教學任務就是將角度制切換為弧度制.這對于不少學生來說是一個不小的挑戰，因為學生此前大腦中的角度制已經是根深蒂固了，現在換一種度量角的單位制——弧度制，先要讓學生在觀念上接受概念，然后才是弧度制的具體學習.根據筆者多年的教學經驗，對概念的接受顯得更為重要，而這也是一個培養能力的過程.其中的關鍵是讓學生認識到一個圓當中圓心角所對的弧長與半徑的比值，只與這個角的大小有關，因此這樣的比值可以用來衡量角的大小，采用這種方法，可以描述并解決更多的問題.這樣的一種認識的培養，對于學生來說，不僅是對知識的更替，也是一種能力的培養.

能力培養奠定核心素養培育的基礎

上面這個例子當中，之所以“舍易求難”，用“弧長與半徑的比值”來描述角，一個很重要的原因是從“角”到“弧度”，是一個從“形”到“數”的變化.在教學中，如果學生認同了這一點，那么對弧度制的理解就沒有任何問題了；但在實際教學中，很多教師恰恰沒有注意到這一點，使得學生在學習的過程中難以完成概念上的轉換.說到底，這種轉換實際上就是一個能力養成的過程.從數學意義的角度來看，這里體現著數形結合思想；從能力養成的角度來看，由“形”向“數”的轉換，不僅體現著數學學科的基本特征，也體現著學生的分析與判斷能力、理解與概括能力、生活語言向數學語言轉換的能力.與此同時，這些能力養成的過程，又使得學生在學習的過程中可以進行有效的數學抽象、精確的邏輯推理、完整的數學建模，涉及數形結合思想時還可以發展學生的幾何直觀與空間想象，而這正是數學學科核心素養中的直觀想象.

綜合來看，在數學教學中重視學生的能力培養，實際上也就奠定了數學學科核心素養培育的基礎.可以說能力培養是骨架，核心素養是血肉，兩者之間相互依存.從這個角度來看，數學教育應保持數學特色，數學活動應保持與學生認知水平相宜的思維力度，教學與評價應從學生學習的內在機制這一根本角度判斷與評價［4］.只有這樣，才能讓學生能力養成的過程支撐起核心素養發展的過程.