課堂探究“應然而生”思維發展“自然而然”
——“兩角差的余弦公式”教學重構與思考

李桃 廣東省廣州市花都區教師發展中心 510800

沈玲丹 廣東省廣州市花都區圓玄中學 510800

著名的數學教育家斯托利亞指出：“數學教學是數學思維活動的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學.”因此，教師應注重在理解領會教材知識結構的基礎上整合教材，遵循知識發生發展的過程及學生的認知水平、思維規律，設計系列教學活動，引導學生參與學習過程，習得知識的同時發展數學思維.基于以上認識，筆者分析人教A版新教材（2019年版）“兩角差的余弦公式”教學內容后進行了教學重構和實踐.

教學內容分析

由于和角、差角、倍角的三角函數之間存在著緊密的內在聯系，人教A版新教材必修第一冊（后面簡稱“新教材”）“5.5 三角恒等變換”一節內容的編排順序為C（α－β）→C（α+β）→S（α±β）→T（α±β）→C2α，S2α，T2α［1］.以兩角差的余弦公式為基礎，推導其他和（差）角公式，以和角公式推導倍角公式，一系列三角恒等變換公式形成了命題系［2］.另外，兩角和（差）公式是誘導公式的上位知識.因此，教學兩角差的余弦公式作為本節內容的起始課，具有承上啟下的重要地位.

新教材為突出編寫的整體立意，力圖體現圓的對稱性與三角函數之間的內在聯系，選擇利用旋轉對稱性證明兩角差的余弦公式.這樣證明的好處是不需要利用圖形本身的直觀性質，即證明過程不受圖形大小、位置變化的限制.實則，旋轉對稱僅作為閱讀材料，在人教版教材九年級上冊的 “閱讀與思考”板塊出現過，學生并沒有積累運用該性質解決問題的經驗.顯然，新教材上“連接A1P1，AP”，以及“把扇形OAP繞著點O旋轉β角”，這兩步操作都不是學生自主思考容易獲得的.如此探究公式，不僅不利于學生理解公式中角的任意性，還扼殺了學生的自主思維.教師應該從學生實際出發，精心設計教學活動，讓課堂探究“應然而生”.

教學重構

1.教學新設計

基于知識的上下位關系及方法統一性來設計本節課.誘導公式與兩角和（差）公式是特殊與一般的關系，學習本節課屬于上位知識的學習.那么，一方面，教師可引導學生以誘導公式的探究經驗來探究兩角差的余弦公式.借助終邊與單位圓的交點坐標表示三角函數值，由“數”到“形”；學生自主探究圖形變化過程中的不變關系，將不變關系代數化，由“形”到“數”，得到公式.進一步滲透數形結合思想，發展學生的直觀想象素養.另一方面，教師有必要引導學生關注兩角差的余弦公式在探究過程中發現的不變關系在誘導公式推導中也成立，進一步讓學生感受數學知識的內在聯系及方法統一性.

2.教學過程

（1）創設情境，提出問題

問題1：已知α為任意角，請化簡以下式子.

學生利用誘導公式能夠化簡①②兩個式子，對于③④兩個式子有著多種不確定的猜測.教師引導學生認識：①運用誘導公式有特殊限制，有必要去探索任意兩角差公式.②誘導公式是任意兩角差公式的一類特殊情況.教師再提出本節課的中心問題：對于任意角α，β，cos（αβ）與α，β的三角函數值有什么聯系？

（2）重溫經驗，搭建探究支點

問題2：請同學們回顧一下，我們是如何推導誘導公式的？

在學生回答的基礎上，引導學生理解：借助單位圓的對稱性，利用定義推導誘導公式（α－π的三角函數值），其含有三個步驟：第一步，作圖，以形助數，即將任意角α的終邊旋轉作出角α－π的終邊，用終邊與單位圓的交點坐標表示角α，α－π的三角函數值；第二步，直觀分析圖中與兩角終邊相關的不變關系，并用信息技術手段進行驗證；第三步，將幾何性質代數化，以數釋形，即利用點的對稱性建立等量關系.

通過重溫誘導公式的推導步驟，類比得到探索兩角差余弦公式的可能思路.（教師作圖，并將步驟板書，便于學生進行類比學習）

（3）任務驅動，自主探究

任務1：記單位圓與x軸的正半軸相交于點A（1，0），請同學們以x軸非負半軸為始邊任意作角α，β（先考慮兩個角的終邊不重合的情形，即α≠β+2kπ，k∈Z），記它們的終邊與單位圓的交點分別為P1，P2，并作出相對應的角α－β的終邊，記其終邊與單位圓的交點為P3.

即使學生忽視了角β終邊的意義，也能夠正確作出角α－β的終邊.教師要在此處指出內在邏輯：β的終邊相同，卻表示無數個角，β=2kπ+β0，k∈Z，β0∈［0，2π）.由α－β=α－β0－2kπ，k∈Z，知角α－β的終邊與角α－β0的終邊相同，因此只需要將角α的終邊順時針旋轉角β0就可以得到角α－β的終邊.

任務2：結合圖2中的3個角（角α，β，α－β）的始邊、終邊，請同學們找一找有哪些不變的等量關系.

圖2

生1：根據剛才的旋轉過程，可以知道圓心角∠P1OP3=∠P2OA.

生2：沿著生1的思路，還可以發現圓心角∠P1OP2=∠P3OA.

生3：根據圓的性質，圓心角相等就有對應的弦長相等和弧長相等.

在學生回答的基礎上，引導學生認識：圓中的等量關系的核心要素是圓心角相等.

追問1：對于任意角α，β，以上的等量關系（等角）是否始終成立？

活動1：學生在各自作圖中進行驗證.

活動2：教師引導學生去驗證當β=π時的特殊情形是否也是成立的.

學生經過驗證發現β=π也是成立的，教師引導學生理解：由于π終邊的位置特殊，此時的等角關系也反映出了對稱性.誘導公式的推導正是抓住了一般性中的特殊性來刻畫三角函數值的聯系.

活動3：教師借助信息技術驗證“改變α，β的終邊，等角關系依然成立”.

追問2：請同學們思考，如何利用等量關系建立三角函數值的聯系？

生4：將三角函數值聯系起來，關聯角的終邊與單位圓的交點，我們可以利用弦長相等或弧長相等建立聯系.

生5：生4說得有道理，但是弧長的計算還是與圓心角相關，所以應該用弦長相等建立聯系.

生6：但是弦長不會求呀.

任務3：已知弦長的計算公式，請同學們將以上分析的兩組弦長的相等關系代數化.

學生展示運算的兩種結果：

生7：根據P1P2=P3A，由弦長計算公式整理得cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生8：根據P1P3=P2A，由弦長計算公式整理得cosαcos（α－β）+sinαsin（α－β）=cosβ.

由教師整理第二個等式，讓學生感受不同視角下的不變關系揭示出的是一致關系.令α－β=γ，那么第二個等式等價于cos（α－γ）=cosαcosγ+sinαsinγ.

追問3：剛才，我們考慮的是兩個任意角的終邊不重合的情形，那么當兩個任意角的終邊重合，即α=β+2kπ，k∈Z，請問等式cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ依然成立嗎？

學生利用誘導公式以及同角三角函數關系式，能夠證明等式依然成立.

（4）公式鞏固

教師采用直觀化策略幫助學生認識公式：①強調α，β的任意性，例如將公式形象地書寫為cos（Δ－□）=cosΔcos□+sinΔsin□（Δ，□表示角的數或式）.②對公式的結構形式進行分析.

（5）公式應用

題1：利用公式C（α－β）證明①cos=sinα；②cos（π－α）=－cosα .

題2：利用公式C（α－β）求值或化簡①cos15°；②cos72°cos42°+sin72°sin42°；③cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ.

題1直接應用公式C（α－β），以證明的方式讓學生進一步明晰誘導公式與公式C（α－β）之間的聯系，幫助學生在認知結構中形成命題系，有助于知識的貯存和提取.題2和題3一方面是公式C（α－β）的簡單應用，使學生掌握公式C（α－β）的結構形式及功能；另一方面是訓練學生有序的思維習慣，發展學生的數學運算素養.

（6）歸納小結

①反芻探究路徑及蘊含的思想方法；

②深化對公式的認識.

（7）作業設計

教材課后練習第1題、第4題、第5題.

教學思考

1.整合教材，讓知識自然生成

教材僅是教學的資源，教師應該立足新課標和新課程理念，站在學科核心素養的角度，合理整合教材，從教學的實際出發，精心設計教學活動，優化知識的生成過程，凸顯思維活動的完整過程，使學生真正理解數學知識和方法的產生過程，由此不斷深化思維，提升數學素養.

2.問題引領思考，促進學生思維提升

“學起于思，思源于疑”.問題是課堂教學過程的靈魂，問題是數學的心臟.有意義的教學活動是把知識設計成針對學生思維最近發展區而提出的問題，讓思維從問題開始，思維活動又形成新問題，這種遞進式的問題能引領學生思考，讓學生在解決問題時領悟知識、發展能力、學會學習.

總之，教師實施課堂教學的精髓在于站在學生終身發展的角度去思考如何理解數學知識、理解學生，如何設計數學活動，如何幫助學生獲得知識與技能，如何發展學生的數學能力，進一步落實學科核心素養，實現育人價值.