閱讀材料指向下高中數學教學的案例研究
——以“等差數列的前n項和”為例

歐紅霞 嚴虹

貴州師范大學數學科學學院 550025

引言

閱讀材料是教科書的重要組成部分，2019年版高中數學人教A版教材（以下簡稱“新教材”）設有“閱讀與思考”“探究與發現”和“信息技術應用”等閱讀材料欄目.章建躍教授指出：“在高中數學教材中設置‘閱讀材料’欄目，為學生提供豐富的具有思想性、實踐性、挑戰性的，反映數學本質的選學材料，拓展學生的數學活動空間，發展學生‘做數學’‘用數學’的意識.”［1］《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課標》）指出：“要注重數學文化的滲透，注重信息技術與數學課程的深度融合；要不斷引領學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.”［2］這些內容可選擇閱讀材料作為載體來實現.

但由于閱讀材料不是教材正文內容，它常常被師生忽略，導致其教育教學功能未得到充分發揮，而且單獨講授教材中的閱讀材料是不可行的，所以考慮將閱讀材料融入教學，使得課堂教學更有品質.那么，如何有效地將閱讀材料融入教學呢？邵光華教授指出：“使用新教材時需要特別關注新增內容.新教材注重數學文化的滲透，在題目背景設置和‘閱讀與思考’板塊中都有所體現，作為教師應更深入地了解相關歷史和背景.”［3］因此，本研究結合新教材中一則新增的閱讀材料“中國古代數學家求數列和的方法”，并以“等差數列的前n項和”為例分析上述問題，最后談一談閱讀材料指向下高中數學教學的思考.

“等差數列的前n項和”內容的閱讀材料的文本分析

“等差數列的前n項和”內容的閱讀材料的相關信息如表1所示：

表1 閱讀材料的相關信息

該閱讀材料先對數列求和問題的發展歷程進行了簡單介紹，然后對劉徽如何發現等差數列求和公式的過程進行了探討分析，最后在文末講述了沈括創造的“隙積術”以及分析了楊輝把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續量問題轉化為求離散量的垛積問題［4］.

等差數列的求和方法“倒序相加法”是歷史傳承下來的巧妙方法，學生往往覺得它“巧妙”但“想不到”.而實際上，“倒序相加法”是在深入理解等差數列性質的基礎上得到的.教材編寫者為了使教師和學生意識到這一點，在教材中設置了上述閱讀材料.

教學案例研究

閱讀材料“中國古代數學家求數列和的方法”不僅具有數學教育價值，而且有利于把握數學內容的本質，與《新課標》中的“把握數學本質，啟發思考，改進教學”這一理念是相吻合的.此外，這則閱讀材料為教材中的“思考”（即如何避免分類討論）提供了豐富的數學文化背景（垛積術）.因此，將這樣的閱讀材料融入數學課堂教學，可以更好地發揮其探究和德育功能；同時，學生學習數學家的成果有利于理清數學思想方法的由來.基于此，設計如下案例.

（一）教學目標及教學重難點

1.教學目標

（1）結合古代數學家求數列和的方法，通過猜想到證明，掌握等差數列的前n項和公式及推導方法，并能簡單應用.

（2）親歷公式的探索發現過程，體驗探索的成功與快樂，滲透特殊到一般、函數與方程、轉化等思想，積累基本活動經驗，養成嚴謹的思維習慣，發展數學抽象、邏輯推理與數學運算等數學核心素養.

（3）通過應用等差數列的前n項和公式解決良馬和駑馬15日所行里數問題，體會“倒序相加法”誕生的曲折過程，感受數學家的探索精神和創新意識.

2.教學重難點

教學重點：等差數列的前n項和公式.

教學難點：等差數列的前n項和公式的推導.

（二）教學過程

基于上述對閱讀材料“中國古代數學家求數列和的方法”的文本分析，以及對教學目標和教學重難點的制定，設計了如下教學流程（如圖1所示）：

圖1 教學流程圖

1.創設情境，導入新課

【問題情境】

我國魏晉時期的數學家劉徽（圖2）在《九章算術》注文中的“盈不足”章給出的第19問是一個等差數列問題：“今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安三千里（里是我國市制長度單位，1里=500 m）.良馬初日行一百九十三里，日增十三里.駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復還迎駑馬.”

圖2

注：原問為“幾何日相逢及各行幾何？”

【教師活動】

創設情境，設置引導性問題并讓學生先計算良馬15日所行里數：

（1）記良馬15日所行里數為S良，請學生列式計算S良；

（2）待大部分學生解答完成后，給出劉徽的計算方法為S良=193×15+（1+14）××13，學生對比劉徽的計算方法后產生困惑.

【學生活動】

（1）列式計算：

設計意圖：借助劉徽求等差數列的求和方法創設情境，學生不僅能學到古代數學家求數列和的思想方法，而且通過計算并對比數學家的計算方法后產生困惑，從而激發學生探索知識的興趣.

2.探究歸納，初獲猜想

南宋的數學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續量問題轉化為離散量的垛積問題”.例如，求圖3“圭垛”中的格點個數總和，楊輝認為雖然圭垛的形狀與三角形相似，但要用梯形的面積公式計算，即S7=

圖3 圭垛

【教師活動】

（1）介紹數學家楊輝的成就并展示“圭垛”圖片，結合圖形分析的結構，引導學生從“形”的角度理解上述情境中的1+2+3+…+14=（1+14）×

（2）結合兩位數學家的計算方法，引導學生猜想Sn=1+2+3+…+（n－1）+n=？

【學生活動】

（1）結合梯形面積公式，從“形”的角度進行分析，消除困惑.

（2）通過分析兩位數學家的計算方法，將Sn看成是上底為1，下底為n，高為n的梯形，并結合梯形面積公式猜想得到

設計意圖：借助楊輝處理“圭垛”中的格點總數問題完成：①從“形”的角度，幫助學生理解情境中的困惑——1+2+3+…+14=（1+14）×；②為猜想得出Sn=1+2+3+…+（n－1）+n=奠定基礎：引導學生對兩個特殊的等差數列求和結果進行分析、比較和歸納，從特殊到一般，猜想出上述一般結果，培養學生合作交流的意識以及合情推理和運算的能力；③為后續借助梯形面積公式的形象記憶等差數列前n項和的兩個公式做好鋪墊.

3.演繹推理，證明猜想

問題1：數學講究嚴謹，大膽猜想得出的結論還需要細致證明，剛才的猜想正確嗎？又該如何證明？

【教師活動】

（1）引導、啟發學生用分析法來貫通思路，要證Sn=，即證2Sn=n（1+n）（提示：2Sn可看成2個Sn相加，n（1+n）可看成n個（1+n）相加），讓學生完成證明.

（2）引導學生思考以下兩個問題：

①證明過程會用到等差數列的哪條性質？

②證明過程有何特點？（注：教師巡視，觀察是否有學生想到將第二個Sn寫成Sn=n+（n－1）+（n－2）+…+2+1.若沒有，教師要對學生的證明過程進行適當引導，讓學生感受到“倒序”后的計算簡潔、直觀.）

【學生活動】

（1）通過獨立思考、合作交流、討論推演，給出證明：

（2）思考、交流和討論：

①等差數列的性質：若｛an｝為等差數列，m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則am+an=ap+aq.

②發現證明過程的巧妙之處，提煉出“倒序相加法”的操作技能和思想.

設計意圖：結合閱讀材料和教科書提出一個可能發現“倒序相加法”的思想：①使學生認識到研究問題的一般思路為“探索—歸納—猜想—證明”；②在“2Sn可看成2個Sn相加，n（1+n）可看成n個（1+n）相加”這樣的啟發下，想到用“倒序相加法”求1+2+3+…+（n－1）+n，展現了數學發現中的“觸類旁通”“靈感”等要素，為學生分析問題和解決問題做出示范［5］；③為“倒序相加法”推廣到一般的等差數列求和埋下了伏筆，同時揭示了該方法的根源所在——等差數列的性質，讓學生認識到定義、性質的重要性，這是一切數學推理的源泉，同時培養學生演繹推理的能力；④講解1+2+3+…+（n－1）+n是為了得出等差數列前n項和“公式2”的另一種推導方法，讓學生意識到所有的等差數列求和問題都可以轉化為求1+2+3+…+（n－1）+n.

4.方法推廣，獲得公式

問題2：能將上述方法推廣到“求首項為a1，公差為d的等差數列｛an｝的前n項和Sn”嗎？

問題3：若將通項公式an=a1+（n－1）d代入“公式1”，又能得出什么表達式呢？

【教師活動】

（1）對學生的推導過程進行完善、板演，并總結.

（2）引導學生將an=a1+（n－1）d代入“公式1”得出“公式2”：Sn=na1+

【學生活動】

（1）通過小組合作交流，完成推導：

設計意圖：將“倒序相加法”推廣至一般的等差數列求和問題中，體現特殊到一般的數學思想方法，使得等差數列｛an｝的前n項和公式的推導比較自然，也符合學生的認知規律，發展學生的邏輯推理核心素養；將“公式1”變形得到“公式2”，有助于學生在后續的學習中正確選擇公式.

5.公式剖析，外化于形

結合數學家楊輝求“圭垛”中格點個數的方式（借助梯形面積公式），分析等差數列的前項和公式的結構.

圖4

圖5

設計意圖：通過閱讀楊輝借助梯形面積公式計算“圭垛”格點總數問題，獲得一般啟示：借助梯形面積公式，幫助學生形象記憶等差數列求和公式，滲透數形結合思想方法，發展學生的直觀想象核心素養.

6.公式應用，傳道解惑

問題4：回到剛才的情境中，

（1）現在同學們知道數學家劉徽是如何計算的嗎？用的是哪個等差數列求和公式，請指出相應的基本量.（注：S良=193×15+（1+14）××13）

（2）請同學們利用等差數列求和公式計算出S駑.

問題5：結合情境中計算S良的過程，請同學們思考“如果不從‘公式1’出發，你能用其他方法得到‘公式2’嗎？”

【教師活動】

（1）引導學生用等差數列求和公式解決問題4和問題5.

（2）結合劉徽計算的過程提示學生將Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an化為Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+［a1+（n－2）d］+［a1+（n－1）d］，進而化為Sn=na1+［1+2+3+…+（n－1）］d進行思考分析.

【學生活動】

（1）學生解答：

①有2種預設：

預設1：學生發現劉徽使用的是等差數列前n項和“公式2”（Sn=na1+其中a1=193，n=15，d=13）；

設計意圖：通過計算S駑，學會應用公式解決問題，發展學生的數學運算核心素養；從另一個角度獲得“公式2”，體現從特殊到一般的數學思想方法，發展學生的邏輯推理核心素養；這則閱讀材料使學生意識到等差數列的求和方法——“倒序相加法” 是歷史上數學家通過探索并傳承下來的.

7.歸納小結，內化理解

通過本堂課的學習，你有什么收獲？

設計意圖：通過師生共同小結，完善本節課的知識脈絡，發揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，培養學生歸納和概括的能力.

8.布置作業，拓展延伸

課后作業：

（1）請完成表格（表2）填寫，并寫出計算過程.

（2）完成情境中的原問題：“良馬和駑馬幾何日相逢及各行幾何？”

（3）閱讀與思考：請同學們課后再一次閱讀教材中的材料——中國古代數學家求數列和的方法，并查閱相關資料.

①了解數學家劉徽、沈括、楊輝的數學成就；

②在文獻的查閱過程中，收集數學名著（例如《周髀算經》《九章算術》《孫子算經》《張丘建算經》等）中的數列問題1—2個，并嘗試解答.

設計意圖：“作業（1）”是對教材課后練習題呈現形式的改編，采用表格形式是為了突出五個基本量“知三求二”的關系，通過公式的正用和逆用，著重強調公式的選擇，滲透方程思想，進一步發展學生的運算能力和邏輯推理素養；“作業（2）”和“作業（3）”為學生提供了更大的思維發展空間，把課內知識延伸到課外去：學生通過自主查閱資料，了解我國數學家的輝煌成就，感悟數學家的聰明才智；同時通過課后查閱文獻、收集數學名著中的數列問題并解答，在查閱中拓寬視野，在解答中提升思維.

閱讀材料指向下高中數學教學的思考

閱讀材料編入教材的出發點有兩個：一是使教學內容更具彈性，教師可根據學生的情況在教學中適當融入閱讀材料，有助于教師進行創造性教學；二是有助于學生理解教材正文，理清知識的來龍去脈.因此，閱讀材料融入高中數學教學是有必要的.

1.閱讀材料融入高中數學教學，發揮導學功能

數學教材中有很多揭示數學知識發展歷程的閱讀材料，并蘊含著豐富的數學思想方法，例如人教A版新教材必修第一冊“函數概念的發展歷程”敘述了函數概念產生和發展的背景以及“對數的發明”中蘊含著對數的思想方法等.教師在教學中應注重這類閱讀材料與高中數學教學的融合，課前應讓學生自主學習，充分發揮閱讀材料在課前的導學功能.《新課標》指出：“高中數學教學提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展.”［2］例如本文創設情境時，學生通過獨自思考、自主學習、合作交流等多種方式學習教材中的閱讀材料，重溫數學家劉徽解決等差數列求和的歷史，結合楊輝求“圭垛”面積的方法，獲得等差數列求和的啟示，使得“倒序相加法”的學習更加自然，通過這樣的方式將閱讀材料融入數學教學可將閱讀材料的導學功能發揮出來.

2.閱讀材料融入高中數學教學，發揮德育功能

教材中數學史類的閱讀材料可挖掘出豐富的數學德育元素，例如人教A版新教材必修第二冊“祖原理與柱體、椎體的體積”中除了對數學家祖及其原理的介紹外，還指出祖給出的原理要比其他國家的數學家早一千多年，這蘊含著愛國主義精神.教師可通過此類閱讀材料德育元素的挖掘，再加以教學長期浸潤來引導學生學習，激發學生的民族自尊心和凝聚力，努力使學生形成為國家和民族振興而努力學習的志向［6］.又例如本研究的閱讀材料中介紹了數學家沈括的成就——隙積術，以及數學家楊輝的成就——楊輝三角，將這則閱讀材料融入教學，讓學生感受我國數學家的輝煌成就以及他們的探索精神和創新意識.長期將閱讀材料融入高中數學教學，提高數學課堂品質的同時，閱讀材料指向下的高中數學教學也完全可以成為數學教育中落實“立德樹人”根本任務的一條途徑［7］.

3.閱讀材料融入高中數學教學，發揮探究功能

人教A版新教材設有“探究與應用”閱讀材料欄目，這類閱讀材料為師生開展探究性教學活動提供了素材，而探究性教學活動可以加深學生對知識的理解和體驗［8］，《新課標》也將“數學建模和數學探究活動”作為高中數學課程內容四條主線之一［2］.例如人教A版新教材必修第一冊“探究與發現”中的閱讀材料——利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質，教學中教師就可以借助這則閱讀材料開展探究性活動，利用單位圓來研究三角函數的性質，從數學知識的系統性而言，這有利于學生從整體上把握三角函數的性質.又例如本研究借助數學家楊輝求“圭垛”格點總數的方法設置“問題串”，探究一般的等差數列前n項和公式，最后回到求“圭垛”格點總數問題，聯系梯形面積公式記憶等差數列前n項和的兩個公式.無疑，將具有探究性的閱讀材料融入高中數學教學，學生的“四基”會得到進一步鞏固，“四能”也會獲得進一步提升［9］.

總之，閱讀材料是數學教學中應重視的良好素材，閱讀材料指向下的高中數學教學使得數學課堂更具品質.教師應積極將其融入教學，在構建優質數學課堂的過程中充分發揮它的教育教學功能.