基于學科德育的高中數學教學實踐與思考
——以“雪花曲線的探究”為例

陳駿 盛曉君

上海市高境第一中學 200439

黨的十八大將立德樹人作為教育根本任務以來，學科德育成為一線教師關注的熱點，課堂教學成為落實該任務的基本形式.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中明確指出：“數學教育承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能……在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用.”［1］可見，高中數學課堂不僅承載著知識的傳遞功能，其學科德育對學生的潤澤和滲透作用同樣值得重視.本文以一節“雪花曲線的探究”課為例，具體呈現學科德育在課堂教學中的蘊藏形式.

數學學科德育內涵

學科德育是指教師在日常學科教學過程中融合德育，以學科為抓手凸顯育人價值.而數學學科德育特指數學教師在數學教學中進行德育滲透，實現數學學科的育人價值.有學者認為［2］，數學學科德育內涵主要有理性、人文、人格和責任四部分（見表1）.

表1

數學學科德育教學實踐

本文以“雪花曲線的探究”為例，將時事熱點作為課程的引入情境，用數學文化構建例題背景，以課外閱讀的方式采編史料，通過課堂實驗、合作交流、匯報演講等教學活動，設計有效的問題串和多元化的作業等方法，實現數學學科德育在課堂中的滲透，力求在教學各環節較為自然地埋設“德育點”，通過關注學生言行表現對課堂德育效果進行感知，通過理性、人文、人格和責任四部分對本節課的數學學科德育實踐進行分析.

1.教學分析

（1）教學內容分析

在《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊（2020年滬教版）》第四章“數列”第二節等比數列中，教材以“科克雪花曲線”為例引入等比數列，章末復習又以求“雪花曲線”的周長和面積的拓展題形成首尾呼應，章節中還呈現了關于“謝爾賓斯基三角形”和“謝爾賓斯基正方形”的練習題.滬教版二期課改教材曾專門將“雪花曲線”作為數列的章末拓展閱讀.新舊教材都把“雪花曲線”納入其中，旨在通過學生對“雪花曲線”的探索與研究，培養他們應用數列知識解決實際問題的能力，同時也是對數學分支——分形幾何的初探和引導.本課將以“雪花曲線”的探究為明線，數列的綜合應用為暗線，分形幾何的介紹為延伸，揭示事物的本質規律，提升學生的數學素養，滲透數學的學科德育.

（2）學情分析

知識方面，學生已完成等差數列、等比數列的學習，會求解一般數列的通項公式，能初步應用數列知識解決一些問題；能力方面，高二學生有通過相互討論去分析和解決問題的能力；情感方面，借助對雪花的感性認識，激發學生利用數列知識探究“雪花曲線”的興趣.

（3）教學目標

①通過計算“雪花曲線”的周長和面積，鞏固數列與極限的有關知識，體會從特殊到一般的數學思想方法，發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養.

②經歷動手作圖、合作研究的過程，培養學生提出問題、分析問題、解決問題，得出科學結論的數學探究能力.

③了解分形幾何的歷史與發展，欣賞分形藝術，讓學生感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.

（4）教學重難點

教學重點：對“雪花曲線”的周長無限大而面積有限的認識；了解分形幾何.

教學難點：求解“雪花曲線”的周長與面積的通項公式.

（5）教學準備

①課堂學習單；

②安排學生志愿者提前搜索有關分形幾何的資料，并交予教師修改、審核后制成PPT備用.

2.教學過程

（1）環節1：創設情境，引出課題

情境1：

師：是否存在一種曲線，它的長度可以繞地球好幾圈，卻能畫在一張小小的郵票上？答案如何，學習完本節課就可以揭曉！

圖1

情境2：

師：2022年北京冬奧會成功舉辦，成為全球上首個“雙奧之城”.在2月4日的開幕式上，一朵小小的雪花成為貫穿開幕式始終的線索，所有參賽國家和地區名字的雪花引導牌最后組成一個美麗的大雪花.在全球處于疫情的艱難時刻，總導演張藝謀力圖運用藝術感染力和文化共通性，體現人類團結，一起走向未來.

設計意圖：情境1通過一個看似不可能發生的事情引發學生的認知沖突，情境2以近期發生的時事新聞調動學生的學習興趣，并為探究“雪花曲線”埋下伏筆.

德育點：從理性維度來說，情境1啟發學生打破思維定式，追求實事求是的品質；情境2呈現了2022年北京冬奧會開幕式視頻，展現了震撼人心的美，從人文維度來說，賦予學生民族自豪感.

（2）環節2：手動作圖，自主探索

孩子本身的體質有熱化的趨勢，即使感受風寒之邪也會迅速化熱，故而孩子的感冒類型中“熱證多于寒證”，即使是寒證也多夾熱證。同時夏天冷飲空調，冬天厚衣暖氣，使得外寒內熱或外熱內寒之證變得尤為多見，也一反常態，出現夏天著涼的多，而冬天上火的多。所以，天冷的時候不一定是風寒，而天熱的時候也不一定是風熱。

師：小小的雪花到底蘊藏著多大的秘密，我們今天不妨來一探究竟！

1904年瑞典數學家科赫第一次用數學的方法描述了一種曲線，外形酷似一片雪花，所以我們稱它為“雪花曲線”或“科赫曲線”.下面我們也用數學的方法嘗試制作一片“雪花”.請同學們進行小組合作，在紙上完成以下操作：

第一步，將圖2-①的正三角形的每邊三等分，并以中間的一條線段為底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；

第二步，將圖2-②的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖2-③；

圖2

第三步，按上述方法無限多次繼續做下去，得到的曲線將會呈什么形狀？

設計意圖：合理設計操作探究活動，可以有效調動學生的學習興趣和參與的積極性.讓學生帶著對雪花的感性認識轉而理性地研究“雪花曲線”，通過操作探究活動，獲得寶貴的活動體驗經驗，培養學生數學抽象和直觀想象的數學核心素養.

德育點：在高中數學教學中，受行為主義影響較深的傳統教學觀念長期存在，教學內容呈現出了相對固化的特征，這也就導致數學教學總體上比較枯燥乏味，教學效果也較為一般，學生一旦面對一些相對抽象的內容，基本上都會出現難以理解與掌握的現象［3］.數學史的融入是數學教學體現人文性的有力抓手.從數學德育的責任維度來說，通過“雪花曲線”歷史故事的引入，滲透多元文化，拓展學生的文化視野.

師：通過自己動手，大家都作出了“雪花曲線”.但是我們發現，隨著生長次數的增加，小三角形越來越多，作圖也越來越困難.下面我們借助軟件，看看把“雪花曲線”的局部不斷放大后會是什么樣子.

教師利用幾何畫板縮小一個曲線與另一個不變的曲線進行對比，讓學生初步感受分形結構的自相似性，如圖3所示.

圖3

德育點：有效探究活動的設計是促進學生主動思考的平臺，學生先動手，再通過計算機進行多次迭代，從理性維度出發，鼓勵學生運用已知的方法或結論類比未知的問題；從人格維度來說，哪怕學生在作圖時遇到了困難，也能讓他們在事物的曲折發展中認識挫折的價值.

（3）環節3：定量分析，合作研究

師：“雪花曲線”其實蘊藏著一些非常奇特的性質.剛才大家都體驗了“雪花曲線”的生成過程，觀察你們作出的圖形，查看“雪花曲線”有什么特點.

生1：“雪花曲線”是一條連續的折線.

生2：曲線到處長滿了“角”.

生3：當迭代次數越來越多時，“角”的個數也越來越多，并且“角”越來越小.

生4：曲線向外生長得越來越慢.

師：大家從“形”的方面對“雪花曲線”有了初步認識.接下來，我們不妨從“數”的方面來定量研究“雪花曲線”.同學們覺得我們可以研究哪些方面？

生5：可以研究“雪花曲線”的邊長和邊數.

生6：還有“角”的個數.

生7：周長和面積.

師：非常好！同學們已經具備了用數學的眼光觀察世界的能力.

設計意圖：教師提出問題啟發學生觀察“雪花曲線”的形狀，發現它是一個與我們平時研究的多邊形不同的平面多邊形，引導他們從邊長、邊數、周長、面積等方面提出問題.

德育點：從人格維度來說，通過師生問答，營造良好的課堂氛圍，借助合作學習培養學生尊重他人的思想意識，結合教學內容布置合作學習任務，促使學生在合作完成學習任務的過程中，傾聽他人意見，相互學習優點，并對比分析自身不足，逐漸提升自我.

師：方便起見，我們統一數據：設原正三角形的邊長為a，周長為L0，面積為S0，不妨把每一次作圖變化的過程叫做“生長”，則經過第n次生長后曲線的周長為Ln，面積為Sn.請同學們嘗試填寫表2.（文中展示的是已經填寫好的表格）

表2

設計意圖：學生經歷互相交流、合作探究的過程后歸納出曲線生長的一般規律，抽象成數列模型后求得通項公式，最終得到所研究對象的結果，發展數學核心素養的同時收獲成就感和自信心.值得注意的是，面積公式的推導具有一定的難度，需要教師的提示和輔助.

德育點：從理性維度來說，學生運用由特殊到一般的方法，推理曲線生長前后的數量關系，嘗試多角度思考問題，訓練嚴密的思維；從人格維度來說，學生在探究中學會傾聽和交流，這是對學生意志力、個性品質等的培養，讓學生學會對自己的學習進行審視和反思.

（4）環節4：歸納結論，探源揭秘

師：當n趨于無窮大，即生長無限次時，“雪花曲線”的周長和面積有何性質？

師（追問）：這個結果說明了什么？

生10：“雪花曲線”的周長是無窮大的，但面積是有限的.

師：通過剛才的研究，我們可以發現：隨著“雪花曲線”生長次數的不斷增加，其周長不斷增加至無窮，而它的面積雖然也在不斷增加，但永遠不可能超過這是一個多么奇妙的現象.“雪花曲線”這個圖形，它具有有限的面積，而具有無限的周長.也就是說，存在一條無限長的曲線，圍成了一個有限面積的區域.

師：現在來看，是否存在一種曲線，它的長度可以繞地球好幾圈，卻能畫在一張小小的郵票上？

學生異口同聲：是！

師：這種現象最初被人們認為是十分怪異和荒誕的，但隨著人們不斷探索與研究，逐漸認識到了它的科學價值，并形成了一個新的數學分支——分形幾何.客觀自然界中許多事物，具有自相似的結構，局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，適當地放大或縮小幾何尺寸，整個結構依然不變，比如各國的海岸線、天上的云朵、身上的血管等.

設計意圖：通過師生問答、合作討論，引導學生回顧并解決情境中的問題，教師帶領學生對“雪花曲線”從“形”的感性認識，通過“量”的計算過渡，上升到“質”的理性認識，突破本節課的教學重難點.

德育點：從人文維度上來說，一朵小小的雪花蘊含著如此神奇的結論，培養學生辯證唯物思想和動態的數學信念.學生通過探索發現了事物的本質，揭示了現象背后的真理，感受到了數學學科的實用性和科學性，以此提醒自己用數學的眼光觀察世界.

（5）環節5：分形拓展，教學相長

師：下面我們有請幾位同學，給大家介紹一下分形幾何的相關知識！

A同學介紹分形幾何的發展史：

英國的海岸線有多長？

圖5

B同學介紹各種自然界中存在的分形案例和用數學方式構造的分形案例：“大自然的幾何學”

圖6

圖7

C同學從分形幾何的應用角度，展示分形藝術——曼德勃羅集.

圖8

圖9

設計意圖：數學拓展課具有一定的開放性，教師讓學生見識一些課本上學不到的知識——數學文化.學生通常樂于接收這類知識，參與展示的學生積極性較高，觀看的學生也是興趣盎然，教師亦有教學相長之感.此環節可以大大提高學生課堂學習的參與度和積極性.

德育點：此處的德育有多個維度，數學史的融入幫助學生感悟數學人文的內涵，是滲透多元文化的良好契機；通過展示，學生的視野得到拓寬，感受多彩的自然現象與奇妙的數學世界的聯系，對數學之美有一個重新的認識，體現數學學科的人文價值；展示者前期對資料的收集整理，可以培養他們的創新意識和科學態度，課內的登臺亮相可以鍛煉他們的表達能力，同時有助于提升他們的文化自信.

（6）環節6：課堂小結，作業布置

課堂小結：

①“雪花曲線”有哪些特征？

②本節課你用到了哪些數學思想？

③談談分形幾何給你留下的印象.

作業布置：

思考題：上網查閱有關“謝爾賓斯基海綿”的資料.請你從數學的角度解釋：為什么它被稱為“有皮沒肉”的結構體？另外，這樣的分形結構體有何實際意義？

設計意圖：通過課堂小結和作業布置，以問題驅動的方式讓學生進行歸納總結，明確本節課學習的主要內容和重難點，發展學生歸納概括的能力.

德育點：教師設計多元化數學作業，試圖從理性維度和責任維度，讓學生在掌握課堂知識的基礎上學會遷移應用，體會數學的文化價值和應用價值.

數學學科德育實踐反思

學科德育是一個不斷探索、逐步推進的過程，若以數學學科德育視角再次審視本節課，課堂從理性維度訓練學生嚴密的思維，從人文維度培養學生動態的數學信念，從人格維度鍛煉學生遭遇挫折時應具備的意志力，從責任維度提升學生的文化自信.

1.求真設計，落實核心素養的培養

基于學科德育的高中數學教學設計，在教學過程中應充分挖掘發展核心素養的機會和載體，基于真實的情境設計，訓練學生嚴密的思維，在培養學生知識和能力的同時，注重學生數學思維和數學情感的發展.例如，在探究“雪花曲線”周長與面積的過程中，教師通過設置“問題串”引導學生觀察曲線生長前后的邊長、邊數、周長、面積的變化，并將數據填表做進一步分析，發展學生直觀想象、數學建模、數據分析等核心素養；在根據遞推公式求解通項公式的教學中，通過歸納分析、累加求和，滲透邏輯推理、數學運算等核心素養；在通過極限結論解釋曲線生長變化的本質規律時，引導學生將數學模型的結論返回到實際問題中去，用數學的語言表達世界.

2.崇善構建，凸顯“學生中心”課堂

數學教育家波利亞說過，學習任何知識的最佳途徑，都是由學生自己去發現、探索、研究，因為這樣理解更深刻，也最容易掌握其中的內在規律、性質和聯系.新課改強調“以人為本”的學生觀，主張將課堂還給學生.教師在課堂上要給予學生足夠的自主探究、獨立思考的機會和時間，讓學生在自主探究、合作交流的過程中發展數學核心素養.

本節課在體現學科德育的同時堅持以“學生為中心”的教學原則，創造機會與平臺，讓學生合作、交流、展示、聆聽、提升、構建，通過學生自行動手，形成對“雪花曲線”的直觀感受；通過小組合作填表，生成對“雪花曲線”的理性認識；在解決問題與困難的過程中培養學生動態的數學信念，鍛煉學生的意志力；在師生、生生的互動中實現數學學科德育價值，落實學生數學關鍵能力和必備品格.

3.唯美滲透，蘊含數學文化價值

數學家羅素指出，“數學不但擁有真理，而且也擁有至高無上的美”.“雪花曲線”帶來的視覺沖擊吸引著學生去探索數學的奇異之美；數學文化的滲透讓學生對分形幾何概念的產生背景、發展過程以及數學家運用的思想方法有了一定的了解，引導學生從不同的角度欣賞數學的統一之美；通過對“雪花曲線”通項公式的挖掘及極限的計算，感受數學的抽象之美……課堂教學不僅完成知識傳遞，更培養學生的審美能力與文化自信，滲透了數學德育的功效，傳遞著數學文化的情感溫度，以人性化的數學將“冰冷的美麗”轉化為“火熱的思考”［4］，讓“理性”的數學呈現出“感性”之美.