改進的粗糙表面線性變換重構方法

夏富佳，唐進元，楊鐸

摩擦磨損與潤滑

改進的粗糙表面線性變換重構方法

夏富佳，唐進元，楊鐸

（中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083）

設計一種改進方法，解決線性變換法無法實現任意偏斜度sk和峭度ku組合的粗糙表面重構，以及無法保證表面高度極值特征參數（包括最大高度z、最大峰高p和最大谷深v）精度的問題。通過求解表面高度概率密度函數，代替線性變換法的Johnson轉換，構造符合指定高度分布的非高斯序列，并利用時頻迭代法保證重構表面高度參數的精度，在此基礎上，設置特定的sk和ku理論值，以證明所提改進方法的優越性，并將重構噴丸表面和磨削噴丸表面與相應實測表面進行對比，驗證改進方法的合理性。改進方法對任意sk和ku組合的粗糙表面均能準確重構，且可以保證表面高度極值特征參數的精度，最大誤差不超過5%。此外，基于時頻迭代法，改進方法有效避免了線性變換法中線性變換帶來的原理性誤差，重構表面的精度高且魯棒性好，利用改進方法重構的噴丸表面和磨削噴丸表面，其高度分布、自相關函數均與實測表面吻合良好，相關粗糙度參數的最大誤差低于5%。對于任意高度分布和自相關函數的粗糙表面，文中提出的改進方法均可實現高效、精準的重構，且表面q、sk和ku值能得到精確保證，表面高度極值特征參數也可得到良好表征。此外，采用改進方法重構的噴丸和磨削噴丸表面，其高度分布也更加符合實際。

表面重構；線性變換；概率密度函數；時頻迭代；高度分布；自相關函數

表面粗糙度對于粗糙表面的摩擦、磨損、接觸和潤滑等方面的性能具有重要影響[1-3]，在實際研究中，一方面如果研究完全基于大量實測樣本進行，不僅樣本的獲取成本較高，而且難以保證樣本粗糙度參數覆蓋實測表面的有效范圍；另一方面即便通過數學優化等方法得出了理論上具有最佳表面性能的粗糙度參數組合，找到符合這些參數的實測表面來進行驗證，也需要付出較大的代價[4]。由此可見，利用數值方法等來模擬指定粗糙度參數的表面，對于表面粗糙度與表面性能關系的研究具有重要的意義。

在工程實際中，大多數表面具有隨機結構，可以通過高度分布和自相關函數進行表征[5]。基于此，發展出了快速傅里葉變換（FFT）法和線性變換法等2種主要的粗糙表面數值模擬方法，這2種方法均基于時間序列的自回歸滑動平均模型、自回歸模型或滑動平均模型重構粗糙表面[6]。1982年，Watson等[7]率先提出基于自回歸滑動平均模型的二維粗糙表面重構方法。隨后，Whitehouse D J[8]提出了基于自回歸模型重構三維粗糙表面的FFT法，Gu等[9]在其基礎上進一步提出了重構非高斯型三維表面的方法。之后，許多學者對FFT法進行了研究和完善，其中應用最廣泛的是Hu等[10]和Wu J J[11-12]提出的FFT法。對于線性變換法，最早由Patir N[13]提出，他通過對隨機矩陣進行線性變換來生成滿足任意給定自相關函數的粗糙表面，實質上就是滑動平均模型。最初的線性變換法基于牛頓迭代法獲得滿足指定自相關函數的自相關系數矩陣，當求解的非線性方程組維數較大時，效率極低，且魯棒性差[14]，因此通常只能生成自相關長度有限的粗糙表面。為了解決上述問題，唐進元等[15]采用非線性共軛梯度法代替牛頓法，有效改善了求解非線性方程組時不易收斂的問題。隨后，Liao等[6]利用最小二乘法將非線性方程組的求解問題轉化為無約束優化問題，大大提高了線性變換法的計算效率和穩定性。

由于零件表面大多呈現非高斯分布[16-17]，因此非高斯表面的重構顯得尤為重要。研究者通常借助Johnson轉換法生成重構表面需要的非高斯序列[18-20]，但Johnson轉換法一方面無法滿足偏斜度sk和峭度ku的任意組合[21]，給sk和ku比較極端的粗糙表面（如噴丸和磨削噴丸表面）的重構帶來困難，另一方面也難以表征表面高度極值特征（表面最大高度z、最大峰高p和最大谷深v），導致重構表面的高度分布與實際不符。對于線性變換法，雖然自相關函數的精度比FFT法的精度更高、更穩定，但矩陣的線性變換可能會進一步增大sk和ku的誤差[14,22]，導致重構表面的精度難以保證。

針對上述問題，文中提出一種改進的線性變換法：不采用Johnson轉換法，而是通過求解符合指定高度分布的表面高度概率密度函數構造非高斯序列，并基于時頻迭代法[23]，避免因矩陣線性變換造成誤差，從而高效、穩定、精準地重構任意指定高度參數和自相關函數的粗糙表面。

1 相關粗糙度參數

對比二維粗糙度參數，三維粗糙度參數涵蓋了、、等3個維度上的信息，反映的表面高度和空間形貌特征更為全面[24]，因此文中選擇ISO 25178中與表面重構相關的三維高度參數和空間參數進行研究[25]。

1.1 高度參數

1）算術平均高度a，即表面的平均高度，通過式（1）計算。

式中：z為各點高度測量值與平均值的差值；和分別為高度矩陣的行數和列數。

2）均方根高度q，即表面高度標準差，通過式（2）計算。

3）偏斜度sk，表征表面形狀（凹凸）傾向，通過式（3）計算。

4）峭度ku，表征表面形貌尖銳度，通過式（4）計算。

5）最大峰高p，即表面峰點的最大高度，通過式（5）計算。

6）最大谷深v，即表面谷點的最大深度，通過式（6）計算。

7）最大高度z，即最大峰高與最大谷深的和，通過式（7）計算。

1.2 空間參數

1）最小自相關長度al，表示自相關函數從原點沿各個方向衰減到指定值（默認取0.2）時的最小水平距離，通過式（8）計算。

式中：acf為歸一化的自相關函數，計算如式（9）所示。

2）紋理特征比tr，表示表面各向同性、異性程度，越接近0代表各向異性特征（條狀溝壑）越明顯，通過式（10）計算。

2 線性變換法

2.1 原理

線性變換法基于滑動平均模型重構粗糙表面，對于一個行、列的表面高度矩陣，可以通過一個行、列的矩陣和一個（+）行、（+）列的隨機序列通過線性變換得到，如式（11）所示。

式中：為待求的自相關系數矩陣；為均值0、方差1的獨立同分布隨機變量序列，滿足式（12）所示關系。

在離散形式下，矩陣的自相關函數有偏估計形式，定義如式（13）所示。

聯立式（11）—（13），可得式（14）。

求解式（14）所示的非線性方程組，即可根據式（1）得到滿足指定自相關分布的表面，求解過程的迭代初值可近似為式（15）。

由于非線性方程組的求解較困難，尤其當矩陣的維數較大時，很容易出現不收斂的情況，因此Liao等[6]將非線性方程組的求解轉換為式（16）所示的無約束非線性優化問題，并給出了式（17）所示的梯度的顯示表達式，大大提高了求解的效率和穩定性。

式中：R, τy為指定的自相關函數，通常為式（18）所示指數衰減形式，其中*和*分別為自相關函數沿2個主方向衰減到初始值的10%時的自相關長度。

2.2 高斯表面與非高斯表面的重構

對于高斯表面的重構，直接用計算機生成一個標準差為q的高斯分布隨機序列，再與求得的自相關系數矩陣根據式（1）進行線性變換即可。對于非高斯表面的重構，則需要通過Johnson轉換法生成相應的非高斯序列。然而，非高斯序列與自相關系數矩陣進行線性變換后生成的表面，其偏斜度和峭度值相對于已經發生了改變，因此需要進行以下修正，如式（19）所示。

式中：sk和ku分別為待生成表面的偏斜度和峭度；*sk和*ku分別為非高斯序列的偏斜度和峭度。

根據式（19）求得修正后的偏斜度與峭度，再通過Johnson轉換法得到相應的非高斯序列，利用式（1）即可得到指定偏斜度和峭度的表面*。

由于對*進行整體放縮并不會改變其偏斜度和峭度，因此可以通過式（20）來保證最終所得表面的均方根高度q。

式中：std(*)為*的標準差。

3 缺陷及改進

在實際工程中，材料表面絕大多數都為非高斯表面。在多數情況下，借助Johnson轉換法都能夠準確地生成符合指定sk和ku的非高斯序列，但對于某些復雜表面（如噴丸表面）的sk和ku組合，利用Johnson轉換法無法構造滿足參數精度的非高斯表面，所生成表面的sk和ku與指定值相比存在較大誤差，且p和v的值與工程實際表面相比偏差較大。此外，經式（11）的線性變換后得到表面的sk和ku會發生改變，因此需要利用式（19）進行修正。由于修正值可能超出Johnson法的有效范圍，部分sk和ku可達值需要通過大量嘗試才能保證其準確度，仍然可能出現較大的誤差。針對上述問題，嘗試對線性變換法進行改進，通過求解符合指定高度分布的表面高度概率密度函數代替Johnson轉換法來構造非高斯序列，并借助傅里葉變換在頻域內進行迭代計算，實現對任意指定高度分布和自相關函數的粗糙表面高效、精準的重構。具體的實現步驟如下。

通過改變表面的高度分布，在不違背粗糙度參數定義和參數間相關性規律的前提下，可以得到任意高度參數組合的粗糙表面，因此可以從優化的角度出發，以高度參數q、sk、ku、p、v與指定值的誤差最小值作為優化目標（a與q高度線性相關，因此任意選擇1個即可；p、v和z存在等式關系，因此任意選擇2個即可），構建優化模型，求解表面高度的概率密度函數，從而生成非高斯序列。

由于離散表面高度的概率密度函數曲線也是離散的，其橫坐標由一系列長度相等的表面高度子區間組成。設需要重構的表面高度矩陣為行列，子區間的數量為，長度為，以高度z為中心、/2為半徑的高度區間[z–/ 2, z+/ 2]對應的概率密度函數值為f，則該子區間內的表面離散點數量為MNlf。

與和z之間的關系可由式（21）表示。

當取一個較大的值時，為一個接近0的極小值。當遠小于z時，得到式（22）。

式中：z為高度區間[z–/ 2, z+/ 2]內第個點的高度；l為z與z的差值，–/ 2 <l

當表面離散點的高度值為相對平均面的大小，即表面平均高度m= 0時，對于表面均方根高度q，存在式（23）所示的關系。

式中：z為表面第個點的高度。

當z在零點附近時，雖然遠小于z的條件并不成立，但此時式（22）約等號兩邊的值均趨于0，因此式（23）仍然成立，故q可近似表示為式（24）。

同理，sk和ku可近似表示為式（25）—（26）。

對于表面高度的概率密度函數曲線，存在如下約束：各高度子區間對應的概率密度均大于0，整個高度區域的概率密度函數的積分為1。由此，可以得到優化模型，如式（27）所示。

式中：1、2、3分別為q、sk、ku對應的權值，一般均取為1。當某個參數遠小于其他參數或對某個參數重點關注時可以適當提高其對應的權值。為未知數數量，過小會導致表面的高度參數誤差較大，過大則會導致求解效率較低，建議取100～200即可。

對于迭代過程初值的選取，這里參考高斯分布的概率密度函數形式，結合大量的實際仿真結果，給出式（28）所示的參考公式。

對式（27）進行求解，可以得到滿足條件的概率密度函數曲線。對于高度區間[z–/ 2, z+/ 2]，可以通過式（29）生成相應的高度序列{z}。對每個高度子區間進行同樣的操作，將得到的高度值匯總，并隨機打亂后重新排列成行列的矩陣，即可得到符合指定高度參數要求的非高斯序列。

式中：rand為Matlab中生成隨機數的函數，rand(1, MNlf)表示隨機生成大小在0～1之間的1行MNlf列矩陣。

通過上述方法可以生成指定高度參數的非高斯序列2。由前面的內容可知，不需要借助Johnson轉換法就可以根據式（11）生成滿足指定自相關函數的高斯序列1。如果將2中各高度點的分布方式調整為與1一致，并利用傅里葉變換在頻域將1的幅頻與調整高度分布后的2的相頻進行點乘，再進行傅里葉反變換，得到新的1，則新得到的序列1的高度分布會比原來更接近2，且自相關函數不會改變[23]。重復上述步驟，可以使1的高度分布逐漸與2的高度分布保持一致，而高度參數完全由高度分布計算得到，因此1的高度參數也會逐漸與2的高度參數（即指定值）接近。上述方法簡稱為時頻迭代法，由于1和2均為有限表面，因而無論迭代多少次，兩者的高度分布也無法完全一致，但通常迭代10次以下就能獲得較高的精度，具體實現過程如下。

1）通過線性變換法生成一個指定大小（設為行、列）和自相關函數的高斯序列1。

2）通過求解表面高度概率密度函數生成一個行、列的符合指定偏斜度和峭度的非高斯序列2。

3）將1、2展平，并從小到大排列，記錄新的1中每個點原來的位置，設為序列，將1和2按照記錄的順序重新排列為一個行、列的矩陣。

4）對1和2進行式（30）所示的變換。

式中：fft 2和ifft 2分別表示二維傅里葉變換和反變換，矩陣之間的乘除運算均為點乘和點除。

5）計算的高度參數與指定值的誤差，達到精度要求或最大迭代步數則停止迭代，否則令1=，并轉到步驟3。

通過上述改進方法，可以重構滿足任意指定高度分布和自相關函數的高精度粗糙表面，具體流程如圖1所示。

圖1 改進方法重構表面流程

4 實驗與結果分析

常見齒輪加工表面（如磨削表面、超聲磨削表面、噴丸表面等）的偏斜度sk和峭度ku一般分別為?1.5～1和2～10，因此為了對現有線性變換法[6]和基于時頻迭代的改進方法詳細進行比較，分別取sk為?1、?0.5、0.5，ku為2.3、4.5、9，并分別采用2種方法進行表面重構，比較所得表面sk和ku的精度，結果如表1所示。其中，誤差均為相對誤差（重構值與指定值的差再與指定值的比值，下同），表面尺寸取1 000 μm × 1 000 μm，自相關函數均采用式（18）所示的指數衰減形式，且(maxτ)/*=(maxτ)/*=100/30。由于q可以通過式（20）保證其精度，且不改變sk和ku的值，因此這里統一取q= 1。

由表1可知，對于全部的sk和ku組合，現有線性變換法在許多情況下的誤差都較大，而改進方法的誤差均較小，最大不超過5%。分析其原因主要有以下2點。

1）Johnson轉換法本身具有一定局限性，并不能重構任意sk和ku組合的非高斯序列，尤其是當ku<3時。第1、2、4、7組對應的就是這類情況，因此改進方法在表面重構時采用文中提出的非高斯序列構造方法。

表1 現有線性變換法與改進方法的對比

Tab.1 Comparison between existing linear transformation method and improved method

2）線性變換法本身具有一定的局限性，式（11）所示的線性變換會導致生成表面的sk和ku與指定值存在偏差。雖然利用式（19）進行了修正，但式（19）只是近似公式，并不能完全修正偏差，且修正值可能超出Johnson法的有效范圍，導致出現較大的誤差。第6、9組對應的就是這類情況，這并不是由Johnson轉換法造成的。為了更直觀地進行對比，改進方法在構造非高斯序列時仍然采用Johnson轉換法，但借助了時頻迭代法以保證參數的精度。由表1可以看出，改進方法的精度與原方法相比得到了顯著提高。

為了進一步驗證改進方法的有效性，分別基于實測的噴丸表面和磨削噴丸（先磨削再噴丸）表面，利用改進方法進行表面重構，實測表面材料均為12Cr2Ni4A，無滲碳淬火，硬度小于20HRC，表面尺寸均為800 μm × 800 μm，采樣間距為4 μm。上述2類加工表面屬于形貌較復雜的表面，ku經常小于3，利用現有線性變換法無法對其進行重構，因此如圖2—4所示的表面三維形貌對比圖、自相關函數對比圖和高度概率密度函數對比圖只給出了改進線性變換法重構的表面與實測表面的對比。為了證明現有線性變換法不能重構上述實測噴丸表面和磨削噴丸表面，在對比實測表面與重構表面的粗糙度參數時（見表2），改進線性變換法和現有線性變換法得到的結果均會給出。

從表面三維形貌、自相關函數和高度概率密度函數特征來看，采用改進方法重構的噴丸表面和磨削噴丸表面基本還原了實測表面的紋理結構特征。由圖3可知，采用改進方法生成的噴丸表面與磨削噴丸表面的自相關函數（Autocorrelation function，圖中簡稱acf）與實測表面基本一致，重構表面能夠準確地還原實測表面的空間特征。由圖4可見，重構表面與實測表面的高度概率密度函數（Probability density function）的形狀和趨勢基本吻合，噴丸表面由于只經過了噴丸處理，因此其表面高度分布只具有一種主要特征，與之對應的概率密度函數曲線表現為單峰形狀；磨削噴丸表面經過了磨削和噴丸等2道工藝處理，因此其表面高度分布同時具有2種主要特征，與之對應的概率密度函數曲線則表現為雙峰形狀。從圖4還可以看到，改進方法重構的磨削噴丸表面也具有雙峰高度分布，對于多道加工工藝的復雜表面也能夠準確地得到與實測表面相符的高度分布特征。

從參數角度出發，根據表2實測表面與線性變換法和改進方法分別得到的重構表面粗糙度參數的對比可以看出，采用線性變換法生成表面的高度參數與實測表面相差較大，尤其是p、v、z。分析原因，一方面是Johnson轉換法難以生成ku<3的非高斯序列，對于ku更小的磨削噴丸表面，這一缺陷表現得更加明顯；另一方面，Johnson轉換法主要通過調整表面峰點和谷點來保證sk和ku，因此p、v、z往往比較極端，與實際不符。改進方法通過求解高度概率密度函數生成非高斯序列，并借助時頻迭代保證了所得表面的精度，有效地解決了上述問題，生成表面的高度參數和空間參數與指定值的最大誤差不超過5%。

圖2 三維形貌對比

圖3 實測表面與重構表面自相關函數對比

圖4 實測表面與重構表面高度概率密度函數的對比

表2 實測表面與重構表面粗糙度參數的對比

Tab.2 Comparison of roughness parameters between measured surfaces and reconstructed surfaces

5 結論

1）現有線性變換法只能重構有限sk和ku組合的粗糙表面，文中提出的重構表面改進方法能夠重構任意sk和ku組合的粗糙表面，參數誤差最大不超過5%，為實際工程中研究表面特性提供了理論基礎。

2）現有線性變換法無法反映表面的高度極值信息，與實際不符，基于時頻迭代的改進方法能夠有效保證z、p、v的值，可將誤差控制在5%以內，能夠較好地表征表面高度極值特征。

3）基于時頻迭代的表面重構方法克服了線性變換法難以保證噴丸表面和磨削噴丸表面高度分布準確性的問題。經實驗驗證，改進方法重構的表面，其高度分布和自相關函數均與實測值吻合良好。

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Improved Linear Transformation Method for Rough Surface Reconstruction

,,

(State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China)

The work aims to design an improved method to solve the problems that the linear transformation method can not realize the rough surface reconstruction of arbitrary skewnessskand kurtosiskucombination or guarantee the accuracy of surface height extreme characteristic parameters (maximum heightz, maximum peak heightpand maximum pit heightv). The Johnson transformation in the linear transformation method was replaced by solution of probability density function of surface height. A non-Gaussian sequence conforming to the specified height distribution was constructed and the accuracy of reconstructed surface height parameters was ensured by time-frequency iteration method. All the surface height roughness parameters (if there were several parameters with strong linear correlation or equality relationship, some parameters would be eliminated until the remaining parameters did not meet the above relationship) were used as constraints to construct a nonlinear optimization equation so that the surface height probability density function could be directly solved. In order to avoid the error caused by the linear transformation of the matrices in the linear transformation method on the height roughness parameters, the time-frequency iteration method was further used to iterate the non-Gaussian sequence obtained above and the autocorrelation coefficient matrix satisfying the specified autocorrelation function for several times in time domain and frequency domain, so as to ensure that the accuracy of the final reconstructed surface could meet the requirement. In addition, specific theoretical values ofskandkuwere set to prove the advantages of improved method, and the shot peening surface and grinding-shot peening surface which were difficult to be reconstructed by the existing linear transformation method were used as the experimental objects and reconstructed by the improved method. The reconstructed rough surfaces were compared with the corresponding measured surfaces to further verify the accuracy of the improved method. The improved method could reconstruct the rough surfaces of anygiven combination ofskandkuaccurately and guarantee the accuracy of height extreme characteristic parameters, with a maximum error no more than 5%. With the help of time-frequency iteration method, the improved method could effectively avoid the error caused by the linear transformation in linear transformation method, and the reconstructed surfaces had high accuracy and good robustness. The height distributions and autocorrelation functions of shot peening surface and grinding-shot peening surface generated by the improved method were consistent with the measured surfaces, and the maximum error of correlation roughness parameters was less than 5%. Compared with the existing linear transformation method, the improved method can achieve efficient and accurate reconstruction of rough surfaces with arbitrary height distribution and autocorrelation function, guarantee the accuracy of surfaceroughness parametersq,skandkuand characterize the surface height extreme characteristic parameters well. In addition, the height distribution of shot peening and grinding-shot peening surfaces reconstructed by the improved method is more realistic.

surface reconstruction; linear transformation; probability density function; time-frequency iteration; height distribution; autocorrelation function

TG84

A

1001-3660(2022)10-0176-09

10.16490/j.cnki.issn.1001-3660.2022.10.017

2021?09?09；

2021?12?31

2021-09-09；

2021-12-31

國家重點研發計劃（2020YFB2010200）

National Key R&D Program of China (2020YFB2010200)

夏富佳（2002—），男，碩士生，主要研究方向為粗糙表面重構。

XIA Fu-jia (2002-), Male, Postgraduate, Research focus: rough surface reconstruction.

唐進元（1962—），男，碩士，教授，主要研究方向為復雜曲面零件制造。

TANG Jin-yuan (1962-), Male, Master, Professor, Research focus: manufacturing of sculptured surface parts.

夏富佳, 唐進元, 楊鐸. 改進的粗糙表面線性變換重構方法[J]. 表面技術, 2022, 51(10): 176-184.

XIA Fu-jia, TANG Jin-yuan, YANG Duo. Improved Linear Transformation Method for Rough Surface Reconstruction[J]. Surface Technology, 2022, 51(10): 176-184.

責任編輯：彭颋