變道過程非線性模型預測軌跡跟蹤控制

盧 靜,金智林

(1.南京航空航天大學金城學院， 南京 200016；2.南京航空航天大學 能源與動力學院， 南京 200016)

0 引言

據統計，由人為因素造成的交通事故占比高達90%，是造成道路交通事故最主要的原因[1]。但是調查數據表明，通過主動轉向變道防碰撞，能夠降低近40%的追尾事故的發生[2-3]。因此，如何實現車輛自主安全的、可靠的跟蹤變道軌跡進行避障，是降低交通事故的發生率，實現車輛智能化的關鍵問題。

目前，國內外對汽車主動避障技術的研究首先由上層控制考慮，基于車-車間的位置關系動態求解車輛在當前采樣時刻的理想控制參數[4-5]；再由下層控制從上述算法中確定的車輛目標減速度等參數考慮，實現對制動、轉向等下層執行機械部件的精確控制[6-7]。在橫向控制領域，Zhang等[6]提出了一種考慮駕駛員轉向特性的主動后轉向車輛路徑跟蹤控制方法，基于駕駛員模型參數辨識，建立了MPC控制器設計的駕駛員模型和車輛模型，設計全局目標函數以優化駕駛員-車輛系統的整體性能，顯著提高了系統性能。Li等[7]基于轉向決策序列構造了預測期內輪胎狀態剛度的變化趨勢，提出了一種調整輪胎狀態剛度的方法來解決線性化過程中的抖動問題，設計了線性時變模型預測控制器，顯著提高車輛在極端條件下的穩定性。吉巖等[8]提出了基于駕駛員轉向過程中的預瞄及滾動優化行為的控制方法，并基于veDYNA進行了驗證。然而，上述研究普遍基于線性模型進行避障軌跡跟蹤控制器設計，且未考慮路面附著系數變化導致的非線性動力學耦合關系。當車輛處于中高速或緊急工況時，側向加速度較大，若此時路面附著系數變化會加劇輪胎側偏特性對車輛動力學的影響，系統將呈現強非線性。此外，目前廣泛采用的模型預測控制算法需要在每個采樣時刻對模型進行動態優化求解，這對運算實時性即非線性模型構造時的復雜度同樣提出了更高的要求。因此，需要針對變道過程中路面附著系數變化帶來的模型非線性問題以及滾動優化算法對于實時性的要求，設計避障軌跡跟蹤算法。

針對上述問題，本文建立了整車動力學模型、駕駛員模型和主動轉向系統模型，提出了考慮路面附著系數動態變化的變道過程非線性模型預測軌跡跟蹤控制策略，針對變道過程中路面附著系數變化帶來的模型非線性問題以及滾動優化算法對于實時性的要求，構建了非線性變道軌跡跟蹤模型及其滾動時域優化求解方法，并通過硬件在環試驗對本文提出的算法在高附著路面和低附著路面下的有效性進行了驗證。

本文的主要貢獻在于：

1) 針對橫向避障系統中最為關鍵的變道軌跡跟蹤問題，提出了考慮路面附著系數變化的變道過程非線性模型預測軌跡跟蹤控制策略設計方法。

2) 針對變道過程中由于路面附著系數變化帶來的模型非線性問題以及滾動優化算法對于實時性的要求，構建了非線性變道軌跡跟蹤模型，并提出了滾動時域優化求解方法。

1 動力學建模

本文主要對汽車在執行軌跡跟蹤任務時的系統動力學特性進行研究。在整車動力學層面，將整車簡化為二自由度的車體模型[9-10]，其運動微分方程為：

(1)

主動避撞過程中的軌跡跟蹤功能的實現主要依賴轉向系統。主動轉向模型包括轉向盤與轉向軸、雙行星齒輪系、齒輪齒條和轉向電機四個部分[11-12]。通過雙行星齒輪系可在駕駛員輸入轉角的基礎上添加附加轉角，不僅可以在無人駕駛模式下實現自動轉向，而且可以在有人駕駛時為駕駛員提供附加轉角。其中，轉向軸與轉向盤模型系統的動力學方程為：

(2)

式中:Ka為轉矩傳感器扭桿剛度系數；Ja為轉向盤的轉動慣量；θs1為轉向盤轉角；Ba為轉向盤的阻尼系數；θs2為輸入太陽輪轉角；Te為轉矩傳感器輸出轉矩；Tb為駕駛員輸入轉矩;fa為轉向軸與轉向盤的庫侖摩擦力常數。

通過對雙行星齒輪的各部分的力矩傳遞特點分析和運動特點分析[13]，可以得到下面的運動學關系式：

(3)

對齒輪齒條進行動力學分析，得到如下表達式：

Td2+GamTa

(4)

式中:TR為等效到轉向柱上的輪胎回正力矩；dr為等效到轉向柱上的路面隨機干擾力矩；fq為轉向柱上的庫侖摩擦力常數。

轉向電機模型如式所示[14]：

(5)

式中:La為轉向電機電感；ia為轉向電機電流；Ra為轉向電機電阻；Ua為轉向電機兩端電壓；Ea為轉向電機反電動勢；Ke1為轉向電機反電動勢常數；ωa為轉向電機轉速，Tam為轉向電機電磁轉矩；Bam為轉向電機阻尼系數；Jam為轉向電機的轉動慣量；fam為轉向電機轉子處庫侖摩擦力常數；TL為轉向電機負載轉矩；Gam為轉向電機減速機構減速比；θam為轉向電機轉角;Kt為電磁轉矩常數。

2 考慮路面附著系數變化的變道過程軌跡跟蹤控制

本節首先針對變道過程中由于路面附著系數動態變化帶來的模型非線性問題以及滾動優化算法對于實時性的要求，構建了非線性變道軌跡跟蹤模型及其滾動時域優化求解方法。在此基礎之上，提出了非線性模型預測控制變道軌跡跟蹤控制策略。

2.1 問題描述

在無人駕駛汽車跟蹤規劃軌跡的時候，通常以下述的方式進行跟蹤控制：在給定的直角坐標系中，跟蹤車輛需要由一個已知給定的初始狀態出發，其中已知給定的初始狀態可以存在于軌跡之上或存在于軌跡之外[15-16]。無人駕駛汽車的軌跡跟蹤過程可通過圖1來表示，理想軌跡由一條光滑的曲線給出，該軌跡意為一條幾何曲線f(xr(t))，其中自變量xr是時間t的函數，該曲線方程是時間t的隱函數。

圖1 變道狀態過程示意圖

基于上述分析，得到考慮車輛行駛區域的路面特征、路面摩擦因數以及車輛位置和內部狀態的跟蹤軌跡流程，如圖2所示。利用MPC控制器對規劃出來的軌跡分割各個數據點進行依次跟蹤，并且采用循環優化的方式實現整個路徑的跟蹤[17]。

圖2 軌跡跟蹤流程框圖

在上述軌跡跟蹤控制的過程中，控制器需要根據理想軌跡與實際軌跡間的偏差，計算當前理想前輪轉角，根據Pure Pursuit算法，軌跡偏差與理想前輪轉角間的函數關系如式所示。

(6)

式中:δi為理想前輪轉角；L為前后軸距；e為實際軌跡與理想軌跡間的誤差；vx為車輛縱向速度；kv為調整系數。

然而，路面附著系數的不同，會導致該函數關系呈現非線性特性，需要根據路面附著系數的變化對控制策略進行修正，從而使被控車輛能夠更好的跟蹤理想軌跡。

2.2 考慮路面附著系數的軌跡跟蹤目標及約束

對于非線性系統軌跡跟蹤求解問題，一般采用如下的離散模型[18]：

ξ(t+1)=f(ξ(t),u(t))

ξ(t)∈Χ,u(t)∈Γ

(7)

式中：f(·,·)表示為系統的狀態轉移函數；ξ為ns維狀態變量；u為mc維控制變量；Χ為狀態變量約束；Γ為控制變量約束。

要實現在軌跡跟蹤過程中考慮路面附著系數的影響，首先要實現對路面附著系數的實時動態估計。綜合考慮計算實時性和估計準確度，基于卡爾曼濾波算法構建軌跡跟蹤過程中的路面附著系數估計器，如式所示：

xf(k)=Afxf(k-1)+Bfuf(k)+wf(k)

zf(k)=Hfxf(k)+yf(k)

(8)

式中：xf(k)為k時刻的路面附著系數估計模型的狀態量；uf(k)為控制量；wf(k)為過程噪聲；zf(k)為k時刻路面附著系數的觀測值；yf(k)為測量噪聲；Af、Bf、Hf為系統參數。

為了消除和削弱測試過程中的異常觀測方差對路面附著系數參數估計的影響，同時考慮到在增加自適應環節后對滾動優化環節算力帶來的要求，設狀態一步預測向量的誤差方程為：

(9)

觀測向量的誤差方程為：

(10)

構造如下極值原則：

(11)

得到自適應附著系數估計器，如式(12)所示：

(12)

下面，基于模型預測控制策略設計考慮路面附著系數的軌跡跟蹤控制器。設定f(0,0)=0為系統的控制目標，可見該點同時也是系統的一個穩定點。此時對于任意的時域N的優化目標可表示為式(13)。

JN(ξ(t),zf(k),U(t))=

(13)

式中：U(t)=[u(t),…,u(t+N-1)]T是在時域N內的控制量輸入序列，ξ(t)是在輸入向量序列U(t)作用下狀態向量軌跡，l(·,·)表示對理想值的跟蹤性能優劣，P(·)表示終端約束。

為了使每個時刻都能夠使該優化目標得到可行解，需要在優化目標中加入松弛因子，如式(14)所示：

J(ξ(t),zf(k),u(t-1),ΔU(t))=

(14)

式中：ρ為權重系數；ε為松弛因子。

將預測時域內的輸出量偏差表示為：

(15)

通過矩陣運算，可以將優化目標調整為：

J(ξ(t),zf(k),u(t-1),ΔU(t))=

[ΔU(t)T,ε]THt[ΔU(t)T,ε]+

Gt[ΔU(t)T,ε]+Pt

(16)

2.3 模型預測軌跡跟蹤控制策略

相比基本模型預測控制算法，非線性模型預測控制策略采用了精度更高的非線性模型，能夠有效地克服變道過程的不確定性、非線性和并聯性，并能方便地處理變道過程模型被控變量中的各種約束[19]?；诜蔷€性模型預測控制的變道軌跡跟蹤控制策略，如圖3所示。

圖3 非線性模型預測控制的變道軌跡跟蹤控制策略示意圖

非線性模型預測控制的優化模型本身即為非線性模型[20]，其優化目標、約束如式所示：

(17)

ξk+1,t=f(ξk,t,zfk,t,uk,t),k=t,…,N-1

(18)

ξk,t∈Χ,k=t+1,…,t+N-1

(19)

uk,t∈Γ,k=t,…,t+N-1

(20)

ξt,t=ξ(t)

(21)

ξN,t∈Χfin

(22)

(23)

3 試驗分析

為驗證本文所提出算法的有效性及準確性，建立硬件在環測試平臺，如圖4所示。為保證硬件在環仿真過程的實時性，基于Matlab/Simulink以及CarSim建立的控制算法模型及道路環境模型運行于NI PXI平臺。

圖4 試驗環境示意圖

3.1 跟蹤軌跡仿真分析

分析不同測試車速下的理想路徑跟蹤情況，并將控制結果與自適應MPC進行對比，如圖5所示。如果在跟蹤時產生的誤差較大，那么證明在跟蹤控制的時候不能夠很好地進行跟蹤。通過圖5分析可得，相比自適應MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低路徑跟蹤誤差14.35%，且非線性MPC算法可快速消除跟蹤誤差。

圖5 軌跡跟蹤曲線

進一步對比分析低附著系數下不同測試車速下的理想路徑跟蹤情況，如圖6所示。如果在跟蹤時產生的誤差較大，那么證明在跟蹤控制的時候不能夠很好地進行跟蹤，從而不能夠按照期望完成軌跡跟蹤控制。通過圖6分析可得，相比自適應MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低路徑跟蹤誤差11.25%，且非線性MPC算法可快速消除跟蹤誤差。

圖6 低附著系數(0.3)時的軌跡跟蹤曲線

3.2 橫擺角速度仿真分析

對比分析不同測試車速下的橫擺角速度指標，如圖7所示。較小的橫擺角速度能夠使汽車在行駛過程中更加穩定，如果橫擺角速度過高的話會導致汽車產生側滑或者側翻。分析可得，相比自適應MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低跟蹤誤差24.35%。

圖7 軌跡跟蹤過程中橫擺角速度曲線

對比分析不同測試車速下的橫擺角速度指標，如圖8所示。較小的橫擺角速度能夠使汽車在行駛過程中更加穩定，如果橫擺角速度過高的話會導致汽車產生側滑或者側翻。分析可得，相比自適應MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低跟蹤誤差21.21%。

圖8 低附著系數(0.3)時的橫擺角速度曲線

3.3 側向加速度仿真分析

對比分析不同測試車速下的橫擺角速度指標，如圖9所示。如果汽車行駛時側向加速度過大會導致汽車在行駛過程中出現失穩的現象，因此汽車在進行變道的過程中，越小的側向加速度汽車在行駛過程中越穩定。通過圖9可得，在30 km/h低速運行的情況下，相比自適應MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低波動19.67%，說明非線性MPC控制器的穩定性更好。

圖9 軌跡跟蹤過程中側向加速度曲線

同樣的，進一步對比分析低附著系數下不同測試車速下的理想路徑跟蹤情況，如圖10所示，測試路面附著系數為0.3。對比分析不同測試車速下的橫擺角速度指標，如圖10所示。如果汽車行駛時側向加速度過大會導致汽車在行駛過程中出現失穩的現象，因此汽車在變道過程中，越小的側向加速度汽車在行駛過程中越穩定。通過圖10可得，在30 km/h低速運行的情況下，相比自適應MPC算法，本文提出的非線性MPC算法可降低波動12.54%，說明非線性MPC控制器的穩定性更好。

圖10 低附著系數(0.3)時的側向加速度曲線

4 結論

以汽車主動變道軌跡跟蹤系統為對象，研究了汽車主動變道系統的結構和工作原理，并建立了模型?？紤]路面附著系數對軌跡跟蹤過程帶來的影響，設計了變道過程非線性模型預測軌跡跟蹤控制。仿真分析表明：與自適應模型預測控制器相比，本文提出控制策略得到的跟蹤誤差更小，具有更好的跟蹤控制效果。