考慮脆弱性的離散交通網絡設計

龐遠兵， 張璽*， 石超峰

(1.重慶交通大學交通運輸學院， 重慶 400074； 2.重慶交通大學經濟與管理學院， 重慶 400074)

隨著交通需求的日益增長，道路交通網絡在運行中需要面對越來越多的不確定性，如自然災害、交通事故、道路施工、蓄意襲擊等，某些脆弱路段或節點受到不確定事件的沖擊很有可能導致整個交通網絡的運行效率大幅度下降，引發關聯路段級聯失效，甚至崩潰。因此，準確地識別交通網絡中的脆弱單位，有效降低其脆弱性以保證交通網絡的穩定運行，具有非常重要的現實意義。

目前關于脆弱性概念的基本思想均強調事件攻擊對路網造成的損失后果，即指受到交通災害引起路網交通功能降低的敏感性,道路單元失效所帶來的后果越嚴重表明道路網絡越脆弱。國內外學者從多個方面探討了交通網絡的脆弱性評價方法，如可達性[1]、連通性[2]、魯棒性[3-4]、網絡拓撲結構[5]、網絡效率[5-7]等，其中基于網絡效率的評價指標應用較為廣泛。文獻[8]將網絡效率定義為所有節點對間最短距離倒數的平均值，在此基礎上，Yin等[5]采用路段失效前后網絡效率的變化率作為脆弱性評價指標，并通過優化路網結構來降低路網脆弱性。葉青[9]利用節點失效前后網絡效率的變化差值來評價節點脆弱性，并以重慶市軌道交通網絡為例，定量計算各個站點對于蓄意攻擊的脆弱性，以鑒定對網絡效率影響最大的關鍵站點。Chen等[10]在研究城市群內交通網絡的脆弱性和恢復性時，將路網單元失效前后的網絡效率之比作為脆弱性評價指標，并利用交通網絡的彈性來描述路網在攻擊下的恢復能力。但他們都僅考慮了道路網絡的結構問題，而沒有考慮到路網中的動態流量問題。Husdal[11]對路網脆弱性的影響因素進行分析時發現，影響道路交通網絡脆弱性的網絡性質不僅包含結構屬性，還包括交通量屬性。因此基于文獻[8]建立的脆弱性評價指標的缺陷在于無法反映交通量對脆弱性的重要影響。

目前對道路交通網絡脆弱性的研究大多停留在理論層面，對于如何將脆弱性指標和脆弱性分析融入整個路網規劃設計中的研究鮮見報端。作者認為在脆弱性識別后，可以通過優化路網結構、擴建當前道路、控制交通量和合理分流等方法來降低路網脆弱性。文獻[1]采用擴展當前道路的方法降低路網脆弱性，但擴建道路在建設時期會對交通狀況造成極大影響；文獻[5]提出增加連接和重新布線兩種方法來優化路網結構脆弱性，降低對路網正常運輸功能有重大影響的關鍵路段的脆弱性，但在優化過程中沒有考慮路網中的流量問題。

基于以上分析，在改進基于文獻[8]的脆弱性評價指標的基礎上，并不考慮路段失效概率的情況下，采用路段輪流斷裂失效的方法，利用靜態交通均衡分配結果評價各路段斷裂對路網服務效率下降程度的影響，以此來識別路網中的脆弱路段。針對路網的脆弱狀況，通過增加連接的方式降低路網脆弱性，并構建一個以路網脆弱度最小化為目標函數的上層規劃模型，用戶均衡為下層模型的雙層規劃模型來對路網進行優化設計，以在有限的資金條件下最大程度降低路網整體脆弱性。

1 脆弱性評價指標

1.1 基于網絡效率的脆弱性指標

使用BPR(bereau of public roads)函數計算各條路段的出行成本，其計算公式為

(1)

Latoral等[8]基于無向加權網絡提出了小世界網絡效率的評價模型，將網絡效率定義為所有節點對間最短距離倒數的平均值，現采用節點之間的出行成本代替最短距離，可將改進后的網絡效率定義為

(2)

根據式(2)這種網絡效率評價方法可將路段的脆弱性定義為

(3)

式(3)中：V(a)表示路段a的脆弱度，V(a)的值越大表明路段a越脆弱；E表示道路網絡結構完好時的網絡效率；Ea表示當道路網絡中路段a被移除后的網絡效率。

將路網的整體脆弱度定義為路網中所有路段脆弱度的平均值，可表達為

(4)

式(4)中：V為路網的整體脆弱度，簡稱“路網脆弱度”，路網脆弱度V越大表明路網整體越脆弱。

1.2 脆弱性指標的合理性分析

采用僅有2個節點的簡單網絡為例，對基于網絡效率的脆弱性指標進行合理性分析。如圖1所示，路網中僅有2個節點，2個節點間有n(n≥2)條路徑連通，每條路段的通行能力均為c，OD對(1，2)之間的OD需求為q。假設圖1路網中所有路徑上的出行成本函數相同，均采用如式(1)所示的BPR函數形式。

圖1 簡單網絡Fig.1 Simple network

根據式(2)可得此時路網網絡效率為

(5)

由于所有路段的出行成本函數相同，因此在達到均衡時的路網中，每條路段上的交通流量必定相等且均為x=q/n，當路網中任一路段a被截斷失效后，路網中每條路段上的交通流量為x=q/(n-1)；并且此時路網脆弱度V和任一路段a的脆弱度V(a)相等，結合式(3)可得

(6)

由于參數α、β、q、c均大于0，且n≥2，由此可以確定路網和任一路段a的脆弱度值的變化范圍為：0≤V≤1、0≤V(a)≤1，當某路網中有且僅有1條路段時，路段脆弱度V(a)取1，當某路網中路段a沒有承擔交通流量時，路段脆弱度V(a)取0。

針對式(6)用路網脆弱度V對路段數量n求偏導可得

(7)

針對式(6)用路網脆弱度V對交通需求q求偏導可得

(8)

綜上，證明基于式(4)的道路交通網絡脆弱性指標能夠全方位地反映路網中的網絡結構、交通需求、出行選擇和出行成本等因素對路網脆弱性的影響，不僅能考慮路網的連通性，而且還兼顧了路網的流量特征和空間拓撲特征，將式(4)作為道路交通網絡脆弱性指標具有合理性，基于這種道路交通網絡脆弱性指標展開對交通網絡的優化設計研究。

2 雙層規劃模型的建立

一般道路交通網絡設計問題(network design problem,NDP)是指在一定的投資約束條件下，考慮交通出行者行為選擇的同時，為達到某種系統指標最優，對部分路段進行改進或在交通網絡中增加新路段的最優投資決策問題。由于NDP決策過程涉及政府部門與公眾之間的互動，是一個典型的雙層決策問題，因此雙層規劃則成為描述交通網絡設計問題的理想工具。本文中也采用雙層規劃模型來描述考慮路網脆弱性的交通網絡優化設計問題，其中上層模型是以路網脆弱度最小化為目標的優化模型，下層模型為用戶均衡配流模型。

上層規劃模型為

(9)

(10)

ya′∈{0,1},a′∈A′

(11)

用戶均衡配流模型作為雙層規劃的下層模型，模型建立為

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：路網中的待建路段集合為A′，待建路段a′∈A′;待建路段a′的建設費用為ba′，總建設資金上限為B;式(9)中的路段集合A不僅包含了原路網中的路段，還包含新建路段；ya′為決策變量，定義為

(16)

在上層規劃模型中，式(9)是以路網脆弱度最小化的目標函數，式(10)為資金約束，式(11)為變量取值約束。下層規劃模型中各式具體含義可參見文獻[12]。

3 算法設計

由于離散網絡設計問題(discrete network design problem,DNDP)的復雜性和非凸性，經典算法很難求解,常采用啟發式算法[13]。其中遺傳算法(genetic algorithm,GA)的計算復雜度相對較優，設計GA算法求解上層規劃模型，并結合Frank-Wolfe算法求解下層用戶均衡配流模型,設計求解算法步驟如下：

Step1編碼。采用二進制編碼形式，將原問題的解映射到染色體上，如若路網中有7條待建路段，那就用染色體長度為7的0-1變量表示一個染色體，一個染色體編碼代表一種建設方案，如[1001011]，1表示對路段1、4、6、7進行建設，0表示不建設路段2、3、5。

Step2生成初始種群。設定GA算法的種群規模為psize，交叉概率為pc，變異概率為pm，最大進化代數為Gmax，隨機生成具有psize個個體的初始種群。

Step3個體對應的目標函數值計算。調用Frank-Wolfe算法配流后可計算得到原網絡效率E，用種群中每個個體分別更新路網，輪流斷開路網中的路段，可得到每條路段失效后的網絡效率Ea，從而得出每條路段的脆弱度V(a)，最終利用式(4)計算得到每個個體對應的路網脆弱度V(V>0)。

Step4適應度值計算。將適應度函數定義為f=1 000 000/V，適應度值越大，個體被選擇的概率越大。

Step5約束處理。通過設計罰函數將約束問題轉化為無約束問題，設計個體i對應的罰函數為

(17)

重新定義適應度值為

Fi=fimi

(18)

Step6選擇策略。直接選擇一個最優個體遺傳到下一代，本文按照輪盤賭法選擇其余個體，基于適應度比例的選擇策略，個體i被選擇的概率為

(19)

式(19)中：N為種群大小。

Step7交叉操作。根據交叉概率pc，采用單點交叉的方式隨機選擇交叉位置進行交叉操作。

Step8變異操作。根據變異概率pm，使得子代種群中每個染色體的基因都根據變異概率進行變異，得到新種群。

Step9算法終止。如果迭代次數G>Gmax，算法終止，輸出最優個體及對應的目標函數值，否則轉入步驟3。

由于篇幅所限，利用Frank-Wolfe算法求解用戶均衡模型的詳細步驟不再敘述，可參見文獻[12]。

4 算例分析

圖2 算例網絡Fig.2 Example network

表1 待建路段相關參數Table 1 Relevant parameters of sections to be built

為了分析費用對最優建設方案的影響規律，將建設資金約束B從初始100萬元逐次提升至700萬元，得到在目標函數下的優化結果如表2所示(只展示脆弱度排名前7的路段脆弱度變化情況)，并將本文這種優化方案設置為方案1。

文獻[5]中作者在研究路網的結構脆弱性時發現，將新建路段按照就近原則優先建設在脆弱度最高的路段附近，可以更好地降低脆弱路段的脆弱性，當考慮流量時還可以起到為脆弱路段分擔流量的作用。所以可以按照既有路段脆弱度大小確定待建路段的優先級，如在本算例中既有路段脆弱度從高到低排序為路段1-12、9-13、13-3、10-11、6-7、8-2、5-6，則待建路段的優先級按照就近原則可確定為路段1、6、7、4、2、5、3，并將這種建設方案設置為方案2，優化結果如表3所示。

4.1 方案對比

從表2可以看出，方案1中待建路段的優先級并不是固定的，這和方案2的優化邏輯有所不同。由表2、表3的優化結果對比可以發現，方案1和方案2都可以一定程度地優化脆弱路段，相對而言方案2對于個別脆弱度高的路段優化效果更好，但從所有路段來看，如圖3所示，在同等建設資金條件下,方案1可將更多的路段脆弱度降低到理想值，例如建設資金約束為200萬元時，方案1有11條路段脆弱度降低到理想值，方案2只有7條路段達到理想值；建設資金約束為300萬元時，方案1中脆弱度達到理想值的路段有13條，而方案2中只有僅僅7條。說明在對所有路段的優化效果上看，方案1明顯更具有優勢。

如圖4所示，在同等建設資金約束下，方案1優化后的路網脆弱度更低。如在建設資金約束為200萬元時，方案1的路網脆弱度比方案2多降低10.6%；在建設資金約束為300萬元時，方案1比方案2多降低9.1%；建設資金約束為400萬元時，方案1比方案2多降低7.5%。無論在700萬元以下的何種資金條件下，方案1在對路網脆弱度的優化效果上明顯優于方案2。

表2 方案1的優化結果Table 2 Optimization result of scheme 1

表3 方案2的優化結果Table 3 Optimization result of scheme 2

圖3 路段優化情況對比Fig.3 Comparison of road section optimization

圖4 路網脆弱度優化結果對比Fig.4 Comparison of optimization results of road network vulnerability

當建設資金約束為300萬元時，方案1和方案2同樣都新建了路段1，方案1將路段1-12的脆弱度從0.270 6下降到0.137 5，而方案2只將路段1-12的脆弱度下降到了0.147 3，說明專門針對脆弱路段設計的方案2并不一定就比方案1有效，這是因為在交通網絡中各個組成部分之間會相互影響，是一個復雜的系統性問題，從單一點入手根本無法保證有效解決這種問題。方案1 以系統整體的角度出發，將路網脆弱度最小化作為優化目標，相比于方案2更具系統性和全面性。

4.2 不同OD需求下的建設資金選擇

在方案1中，既有路段的脆弱度變化情況如圖5所示，可以看出在原始路網中路段的脆弱度普遍較高，隨著建設資金的提升，各條路段的脆弱度逐漸下降，但可以發現建設資金達到300萬元以上時，隨著建設資金的提升各路段的脆弱度變化情況并不明顯，主要徘徊在0.09上下，說明固定OD需求下，應選擇合適的建設資金投入，避免造成資源浪費。

圖5 不同建設資金約束下的路段脆弱度Fig.5 Section vulnerability under different construction fund constraints

圖6 不同OD需求下的路網脆弱度優化情況Fig.6 Optimization of road network vulnerability under different OD requirements

為盡量保證資金投入后的效益，設置投入的建設資金使路網脆弱度下降到理想值即可。圖6為不同OD需求下，路網脆弱度的優化情況?？梢钥闯觯S著建設資金的提升，路網脆弱度的優化效果逐漸變弱，并且在同一資金約束條件下，OD需求越大，路網脆弱度也越大。可以發現，在OD需求為600 pcu/h時，只需投資200萬元即可使路網脆弱度達到理想值，此時路網脆弱度下降32.9%；OD需求為800 pcu/h時，需投資300萬元，此時路網脆弱度下降38.5%；OD需求為1 000 pcu/h時，建設資金需要達到500萬元才能使路網脆弱度降低到理想值，此時路網脆弱度下降44.8%，3種OD需求下的優化效果都相當顯著。

圖7為不同OD需求、不同建設資金約束條件下的優化結果，路網脆弱度0.1處設置了一個脆弱度理想值平面。從OD需求維度看，隨著OD需求的增長，路網脆弱度逐漸升高，并且需要投入更多的建設資金才能使路網脆弱度降低到理想值。從建設資金維度看，隨著建設資金的增加，路網脆弱度逐漸降低，但降低的程度逐漸變弱。而且可以看到在OD需求較小，建設資金較大時，路網脆弱度的優化效果甚微，因此在優化過程中應根據實際的交通需求，選擇合適的資金投入，避免造成資源浪費。

圖7 不同建設資金、OD需求下的優化結果Fig.7 Optimization results under different construction funds and OD requirements

5 結論

(1)改進后的基于網絡效率的脆弱性指標能夠反映路段數、交通需求等多個因素對脆弱性的影響，并證明了路網脆弱度和網絡中路段數成負相關，和交通需求成正相關。

(2)從系統整體的角度出發，構建了考慮脆弱性的離散交通網絡設計雙層規劃模型，與以單一脆弱路段為優化目標的方案進行對比分析后發現，本文提出的優化方案可將更多的路段脆弱度下降到理想值，并且可以最大程度降低路網脆弱度。

(3)分析發現OD需求越大，路網脆弱度也隨之增長，需投入更多的建設資金才能將脆弱度降低到理想值，并根據不同的OD需求給出了合理的建設資金建議。