關于行列式計算的習題課設計

彭淼 張正娣 沈斌一

1.江蘇大學數學科學學院 江蘇鎮江 212013；2.常熟理工學院 江蘇蘇州 215506

1 概述

高等代數是大學數學專業必修的一門必修課程。在很多的高校，不僅是數學系的學生，數據計算與應用等相關專業的學生也開設了該課程。由于代數不僅是探討數學、物理、化學等理論的重要工具，而且在力學、工程、通信中等領域也具有廣泛的應用。因此，在高等代數中作為核心部分的線性代數也是大學中理工科專業需要學習的數學工具。高等代數這門課程的特點是概念多、邏輯推理嚴密、內容量大且較為抽象。通過該課程的學習，可提高學生的抽象思維能力、邏輯思維能力和解題能力，以及為后面的其他課程的學習打下基礎。該課程是基礎課，因此被安排在大學一年級。由于學生從中學進入大學階段，思維模式需要經過一個慢慢轉變的過程，學習起來比較抽象和吃力，且僅通過課程知識點的講解在很大程度上不能使學生熟練掌握，因此，習題課是非常重要且必要的。

在行列式計算的課堂教學中，學生可以理解階行列式的定義以及行列式的7條基本性質。但是，對于課后習題中具體的行列式計算卻感覺無從下手，對性質的運用極不熟練，特別是含有字母行列式的題目，不知“何處是歸途”。因此，在行列式計算這塊內容的習題課上，教師不僅要對基本概念和性質進行總結和回顧，還要對計算方法、步驟進行剖析，幫助學生理清思路，特別是通過一題多解的例子進行講解，使得學生熟練應用行列式的不同性質，進而提高學生的思考和解題能力。

2 概念與性質回顧

習題課開始時，教師可以利用靈活的教學手段，調動起學生的積極性，讓學生回答所理解的級行列式的定義和7條基本性質，并利用簡潔易懂的語言總結其抽象的內容，以此來鞏固上節課所學的內容。教師能從學生的回答中了解學生哪些知識點還沒有理解，哪些數學思想認識還不透徹。

2.1 定義

2.2 性質

(1)行列互換，行列式值不變；(2)行列式某行的公因數可提取出來；(3)若行列式的某行都是兩數之和，則行列式可按照此行拆成兩個行列式之和；(4)行列式某兩行元素對應相等，則值為0；(5)行列式某兩行元素對應成比例，則值為0；(6)互換行列式中兩行的位置，值反號；(7)行列式某行的倍數對應加到另一行上，其值為0。

需要注意的是，通過性質a知，行列式中行和列地位同等，以上性質對行成立的，對列也成立。

3 行列式習題的講解

為了使學生更好地理解及運用行列式的定義和性質，掌握好行列式的計算，習題課上應精選典型例題，根據所求的具體行列式的元素特點和規律，采用恰當的解決方法，讓復雜的問題變簡單。鼓勵學生課下多做練習，通過做題不斷地總結歸納，積累做題經驗。

例1 計算4級行列式

分析：通過行列式的定義知，本題的行列式展開有24項，發現其中非零元素較多，因此只需找出非零項即可。

注：定義法適用于低級(二或三級)行列式和零元素較多的行列式，該方法不太常用。

拓展和推廣：用上面例題的解決思路，讓學生們思考下面題目，使得學生進一步理解行列式的定義。

設級行列式中有-個以上的元素為0，則該行列式的值為0。

例2 計算5級行列式

分析：通過行列式中元素特點發現，每行都含有1個、4個，每行的元素之和也相等。計算行列式時，性質可以多次交叉使用。

解：將所有列元素加到第一列，再化為上三角行列式。

=(+4)(-)

拓展和推廣：用上面介紹的解題方法，將5級行列式推廣至級行列式，讓學生討論并求解該行列式的值。

例3 計算+1級行列式

其中≠0，=1，2，…，。

分析：通過觀察元素特點發現，該行列式除了第一行、第一列及對角元素外其余元素都為0，直觀上看像爪子的形狀，也被稱為“爪字型行列式”。該類行列式通常的方法是將第一行或者第一列消掉。

拓展和推廣：通過上述行列式的計算，告訴學生們之后再碰到爪字型的行列式該如何求解，有同學會有疑問，實際題目中應該不會直接給出一個爪字型行列式，那該如何運用？能否將給出的行列式進行轉化？讓學生帶著問題再看例2，讓學生分組討論，根據學生的互動，教師來總結是可以轉化的。例2的另一解法也可將每一行減去第一行，轉化為爪字型行列式，進一步化成三角行列式求解。對于行列式的計算，教師可引導學生嘗試采用不同的解法，不僅可加強學生學習的主動性和探索性，也可使學生拓展數學思維。

例4 計算級行列式

分析：觀察行列式中元素分布規律，發現元素較多為零，比較直觀地發現第1行(列)或者第行(列)，其中都含兩個非零元素，故按照降級法來進行解決。

解：首先把按第行展開，得：

=(-1)…-1+-1=(-1)…-1+((-1)-1…-1+-2)=

=(-1)…-1+(-1)-1…-1+((-1)-2…-2+-3)=…

=(-1)…-1+(-1)-1…-1+…++(-1)

=1-+(-1)+(-1)+…+(-1)…-1

=1---+…+(-1)…-1

上述題目稍微復雜一點，首先利用降級法將行列式變為低級行列式，通過觀察發現較低級行列式和原來行列式的形式一樣，雖然級數不同，可建立起遞推關系，找出，-1和-2之間的關聯，利用高中數學學習過的遞推關系式的分析，進而算出行列式.我們把這種方法稱為降級遞推法。

拓展和推廣：該行列式的上述處理方法需學生再仔細體會。請學生思考是否還有其他解決方法？提示：學到目前關于行列式的性質c很少用到，引導學生能否借助該性質進行處理。

解法二：先將的第列寫成兩數之和的形式，將復雜的行列式拆成兩個更為簡單的行列式。

再來觀察拆分得到的第一個行列式比較簡單，按照第列展開即可，觀察第二個行列式的特點，可依次將每一行元素加至上一行，第行加到-1行，-1行加到-2行，直到第2行加到第1行，簡化為下三角行列式。如下：

=-1+(-1)…

得到和解法一同樣的遞推關系，接下來的推導過程同上述方法一。解法二首先采用一個小技巧，稱之為拆邊法。通過創建大膽思考的學習氛圍，引導學生在之后的計算中，主動使用該方法，進而激發學生的求知欲。

結語

在習題課的實施過程中，教師通過選取經典行列式的例題剖析和講解，不僅加深學生對定義和性質的理解，而且，教師作為引導者通過課堂討論等方式來激發學生的積極性，在參與過程中加以啟發，及時發現和糾正學生的錯誤思路，幫助學生理清思路，并且能夠對同類型的問題進行不同思路的探究與作答。針對行列式的計算，根據觀察行列式中元素特點，選取恰當的解法。猶如在我們的實際生活中，想問題辦事情堅持從實際出發，做到實事求是。