幾何畫板助力深度學習兩例

文貴雙

(甘肅省天水市一中 741000)

問題1 如圖1，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，一個動點P從點A出發，沿著邊AB→BC→CD→DA運動，返回點A后停止運動，設點P走過的路程為x，將線段AP的長表示成x的函數f(x).

圖1

解析當0≤x<4時，f(x)=x.

當12≤x<16時，AP=16-x.

這是2019年湘教版必修第一冊習題3.1的15題的第一問.得到f(x)表達式后，可以知道函數的定義域、值域、單調性，還有什么特性？一時不知道.利用幾何畫板作出函數圖象，如圖2，圖象類似鋼筆的筆頭，我們稱為“筆頭線”.圖象的對稱軸為直線x=8.我們再回到問題情境，通過思考點P的運動，線段AP長度的變化情況，也可得出圖象的對稱軸.由函數的圖象歸納性質是研究函數的一種方法，但不能只依賴圖象歸納性質，因部分圖象得出結論未必可信，所以要提高利用函數解析式獲得性質的能力.

圖2

問題1可以得到如下變式：

如圖3，正五邊形的邊長為1，一個動點P從點A出發，沿著邊AB→BC→CD→DE→EA運動，返回點A后停止運動，設點P走過的路程為x，將線段AP的長表示成x的函數f(x).

圖3

解析正五邊形的內角為108°，點H為邊CD.

當0≤x<1時，f(x)=x.

當1≤x<2時時，

當2≤x<3時，AC2=2-2cos108°，

當3≤x<4時，

當4≤x<5時，f(x)=5-x.

由問題1的解題經驗，可以根據題意得出圖象的對稱軸是x=2.5，但函數的圖象還不太明了，利用幾何畫板可以作出來，如圖4.

圖4 圖5

圖6

當P,Q同時在線段AD上時，結論同上.

點P,Q中一個點在線段上，一個點在圓弧上時，

圖7 圖8

問題2的變式如下：

當點P在線段EC上運動時，點Q在線段DF上運動，建立直角坐標系，設點P(1，tanθ)，則點Q(-1，tan(60°-θ))，15°≤θ≤45°.2a+b=(1,2tanθ+tan(60°-θ))，

圖9

當點P繼續運動重復上面情況.

圖10

幾何畫板可以將一些抽象問題具象化呈現出來，使我們更加直觀地了解問題本質；幾何畫板，讓思維的過程可視化，探究的過程不斷深入，我們在不斷動手動腦、學思結合、數形互補中，思維能力得到了深度發展.