對一道力學競賽題解析的商榷

曾小江

（重慶兩江新區西南大學附屬中學校，重慶 401123）

1 競賽試題和解析再現

2021年第38屆全國中學生物理競賽預賽試題第12題是一道關于均勻金屬桿在豎直平面內的平面平行運動問題.試題.如圖1，長度為L、質量為m的均勻金屬桿兩端靠在垂直于水平面的直角絕緣導軌上，導軌的兩臂分別沿水平與豎直方向.初始時刻金屬桿靜止，與豎直導軌成30°角.不計一切摩擦.

圖1

（1）試求當桿下滑到與豎直導軌成60°角時桿的質心的速度；

（2）假設存在垂直于導軌所在平面（紙面）向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，求當桿下滑到與豎直導軌成60°角時桿兩端的感應電動勢.

試題的參考答案解析如下：

（1）由能量守恒得

（2）整個桿在恒磁場的橫截面內運動，且可視為桿以其質心C的速度vC平動與以角速度ω繞其質心C的轉動，后者對感應電動勢的貢獻相互抵消.因此僅考慮桿的平動即可.取直角絕緣導軌的交點為原點，水平與豎直方向的導軌分別為x軸和y軸.桿的質心的坐標為

2 試題解析探討

對于本題參考答案的解析，筆者認為存在不完善的地方.題中所述“均勻金屬桿兩端靠在垂直于水平面的直角絕緣導軌上”，并未限定金屬桿只能沿著豎直導軌運動.實際上，也可能存在金屬桿沿豎直導軌下滑到一定角度后脫離導軌的情況.若原解析認為桿下滑到與豎直導軌成60°角的過程始終未脫離豎直導軌，則原解析思路是正確的.問題是，在桿下滑到與豎直導軌成60°角的過程中，桿一定不會脫離豎直導軌嗎？ 實際上，這是需要進行判定的.分析桿剛好脫離豎直導軌時的臨界狀態及其與豎直導軌所成的臨界角，判定桿下滑到與豎直導軌成60°角時，其是否已脫離豎直導軌是求解本題的重要步驟，也是求解本題的關鍵所在.

本題的解答需分為以下3個步驟：

（1）分析桿剛好脫離豎直導軌時的臨界狀態，判定桿是否已脫離豎直導軌.

以直角絕緣導軌的交點為原點，水平與豎直方向的導軌分別為x軸 和y軸.設桿剛好脫離豎直導軌時與豎直導軌所成的夾角為θ1，此時桿質心C的速度為vC1，桿繞其質心C的轉動角速 度 為ω1（圖2 所示）.由能量守恒得

圖2

桿脫離豎直導軌后的自由下滑階段，桿不受水平外力，質心在水平方向做勻速直線運動，質心的水平分速度不變為vC1x.桿始終受到水平導軌豎直向上的支持力作用，不會脫離水平導軌.［1］當桿與豎直導軌成夾角θ時（圖3所示），質心的豎直坐標為

圖3

（3）求桿下滑到與豎直導軌成60°角時桿兩端的感應電動勢.

桿在恒磁場橫截面內的運動，可視為桿以其質心C的速度平動與以角速度ω繞其質心C的轉動，后者對感應電動勢的貢獻相互抵消.因此僅考慮桿的平動即可.如圖4所示，當桿下滑到與豎直導軌成60°角時，質心速度在垂直于桿方向的分速度為

圖4

3 結語

基于物理情境求解問題時，需要對研究對象的運動過程和狀態進行詳盡地分析.對于有變化或轉折的運動過程和狀態，要先找出“從量的漸變到質的突變”的臨界狀態及其臨界值.［2］在臨界狀態前后研究對象往往會以不同的規律運動或變化，因此，要先判定待求值與臨界值的關系再求解問題.試題解析沒有分析金屬桿剛好脫離豎直導軌的臨界狀態，也沒有判定試題要求解桿的運動狀態與臨界狀態的關系，最終導致了原解析的不完善.