數(shù)軸與有理數(shù)相關(guān)概念的聯(lián)系

文／姜國(guó)生

數(shù)軸是一種重要的工具，盡顯數(shù)形結(jié)合的魅力。數(shù)軸與有理數(shù)的相關(guān)概念有著廣泛聯(lián)系，有的同學(xué)可能還不清楚，下面我們來(lái)做一些簡(jiǎn)單梳理。

聯(lián)系之一：任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到唯一的一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)

例1 （1）畫(huà)出數(shù)軸并標(biāo)出表示下列各數(shù)的點(diǎn)：-1，-3.5，2，0.5。

（2）如圖1所示，根據(jù)數(shù)軸上各點(diǎn)的位置，寫(xiě)出它們所表示的數(shù)。

圖1

【解析】（1）依據(jù)題意，我們可建立如圖2 所示的數(shù)軸。在數(shù)軸上分別標(biāo)出表示-3.5，-1，0.5，2的點(diǎn)。

圖2

任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，但是，數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)則不一定表示一個(gè)有理數(shù)。這個(gè)問(wèn)題我們以后會(huì)接觸到。

聯(lián)系之二：利用數(shù)軸可以更充分地理解相反數(shù)

例2 若A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是相反數(shù)，且這兩點(diǎn)相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)，并指出A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)。

【解析】因?yàn)锳、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是相反數(shù)，且這兩點(diǎn)相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，而表示相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等、符號(hào)相反，所以點(diǎn)A和點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離相等且距離都等于4 個(gè)單位長(zhǎng)度，由此我們就可以在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)了。如圖3 所示，A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是-4和4，或4和-4。

圖3

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩旁，并且這兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等。可見(jiàn)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)總是成對(duì)出現(xiàn)的。

聯(lián)系之三：利用數(shù)軸可以說(shuō)明絕對(duì)值的幾何意義

例3 有兩個(gè)點(diǎn)，它們到原點(diǎn)的距離分別是2 和3，請(qǐng)問(wèn)，這兩點(diǎn)之間的距離是多少？并說(shuō)明理由。

【解析】設(shè)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為3。若這兩點(diǎn)在原點(diǎn)同側(cè)，如圖4、圖5，則|OA|=2，|OB|=3，所以|AB|=1；若這兩點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)，如圖6、圖7，則|OA|=2，|OB|=3，所以|AB|=5。

圖4

圖5

圖6

圖7

所以，這兩點(diǎn)之間的距離是1或5。

絕對(duì)值的幾何意義可以由數(shù)軸直接知道：數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，記作 |a|。

聯(lián)系之四：借助數(shù)軸可以比較有理數(shù)的大小

圖8

在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。