把握研究規律 促進智慧生長
——“探究新函數圖像與性質”教學及反思

■蔣飛

一、教學目標

通過實例歸納出研究函數的一般方法，運用總結的方法探究新函數的圖像和性質；經歷對新函數圖像和性質的探究過程，掌握探究新函數圖像和性質的一般方法；通過對新函數圖像和性質的探究，體會數學研究方法的一致性和可遷移性，發展學生思維，形成科學的思維習慣，培養學生核心素養。

二、教學重難點

歸納總結研究新函數圖像和性質的方法；感悟探究新函數圖像的一般方法。

三、教學流程

1.先行體驗，方法提煉。

例1畫出下列三個函數的圖像，并盡可能多地寫出它的性質：①y=x+1（x+1）2+1。歸納并總結研究函數的一般思路與方法。

師：同學們，你們是如何快速地畫出這些函數圖像的呢？

生1：通過列表、描點、連線。

師：那么我們又是根據什么來畫出函數圖像的呢？

生2：根據函數表達式。

師：的確如此。事實上，我們需要根據函數表達式，通過列表、描點、連線，畫出函數的圖像，進而研究函數的性質。我們又是從哪幾方面來描述函數圖像與性質的呢？

生3：我們通過增減性、最值來描述函數圖像與性質。

生4：還有與坐標軸的交點。

生5：我覺得對稱性以及它們在哪幾個象限也可以用來描述函數的圖像與性質。

師：同學們回答得都非常好。但是還有一點值得同學們關注，請同學們觀察的圖像，你會發現它的圖像并不是連續的。這是因為自變量x的取值范圍是x≠0，導致它的圖像被分成了兩條曲線，故我們稱之為“雙曲線”，所以圖像的連續性與間斷情況也是描述函數圖像與性質的一個方面。

2.簡單應用，感悟內化。

（1）提出新問題，引入課題。

師：同學們，根據剛才的討論我們知道，研究函數的方法是有規律可循的，描述函數的性質也是有基本思路的。那么對于函數你還能快速地畫出它的圖像，描述它的性質嗎？

生6：我們可以通過列表、描點、連線畫出圖像，然后再讀取其性質。

師：你知道它圖像的“長相”嗎？如果不確定“長相”的話，怎么能用有限個點畫出它的圖像呢？

生6：因為這個函數和我們先前學的都不一樣，所以它的圖像長什么樣我們并不清楚。

師：的確如此，當我們已有的知識儲備不能解決此問題時，我們就要尋求新的辦法來解決。

（2）例題示范，感悟方法。

師：同學們，我們根據之前總結描述函數圖像與性質的幾個角度，分析函數圖像的一些性質。請問該圖像的連續性和間斷性如何？

生7：因為自變量x≠-1，所以函數圖像不與直線x=-1相交，即位于直線x=-1的兩側，故圖像是不連續的。

師：該函數圖像與坐標軸的交點如何？

生8：當x=0時，y=4，所以它與y軸的交點坐標為（0，4）；而y≠0，所以它與x軸沒有交點。

師：該函數圖像的位置分布情況如何？

生9：當x＞-1時，y＞0，此時函數圖像在x軸上方；當x＜-1時，y＜0，此時函數圖像在x軸下方。

師：該函數的最值情況如何？

生10：該函數既沒有最大值也沒有最小值。

師：該函數的增減情況如何？

生11：y隨x的增大而減小。

師：從左到右一直是這樣嗎？

生11：噢，要分兩段看。當x＜-1時，y隨x的增大而減小；當x＞-1時，y也隨x的增大而減小。

［同學們根據列表、描點、連線，再結合剛才的分析畫出圖像（圖略）。完成后，教師投影正確的函數圖像并讓學生相互交流，說一說該函數還有哪些性質。］

師：非常好！同學們，通過這個例題的分析，你有哪些收獲？

生13：對于一個新的函數，我們不能一上來就通過列表、描點、連線畫出函數圖像，因為畫出來的圖像往往不準確，不能正確地描述其函數性質。

生14：我們要掌握研究函數的一般方法，先根據新的函數表達式從幾個方面分析函數性質，然后在此基礎上進行準確畫圖，最后再精準地描述其性質。

［學生獨立思考2～3分鐘后，再小組討論，根據例題的討論方式，逐步得到該函數的圖像（圖略）。］

3.知識升華，遷移應用。

師：同學們基本掌握了研究新函數的方法。下面，我們一起來解決例2。

例2為了探究函數的圖像與性質，小李根據學習函數的經驗，對函數的圖像與性質進行研究。下面是小李探究的過程，請補充完整：

（2）下表是y與x的幾組對應值：

?

則m的值為 ；

（3）如圖1，在平面直角坐標系中，根據描出的點，補全函數的圖像；

圖1

（5）若函數y=x的圖像在函數的圖像上方，直接寫出x的取值范圍

學生獨立完成后，小組交流，學生代表上臺展示講解答案，形成共識。

師：同學們，如果這個函數的圖像可以看作是由某個函數圖像平移得到的，那么它是由哪個函數圖像經過什么樣的圖形變換得到的呢？

生15：我發現這個函數的圖像是雙曲線，對稱中心是（1，1），那么我把它和我們學過的反比例函數產生聯系，然后觀察圖像，可以發現它是由函數的圖像向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的。

師（追問）：的確是這樣的。我們可以用類比反比例函數圖像的方法，觀察圖像得出答案。那么你還有其他方法嗎？

師：非常好！同學們不僅會由圖像觀察得出圖形變換的過程，還能從數的角度，根據對函數表達式的分析進行歸納總結，得出變換過程。

4.課堂總結，交流體會。

師：同學們，通過本節課的學習，你有哪些收獲？

生17：我知道了可以從以下幾個方面研究新函數的圖像與性質：圖像的連續性、分布情況、與坐標軸的交點情況、最值情況、增減性、對稱性等。

生18：我還學到了面對新的問題、新的背景，我們可以從已有經驗出發，采用類比、知識遷移等方法解決新的問題。

師：同學們講得非常好。今天這節課我們一起探究了新函數的圖像和性質，并掌握了其研究的基本規律和一般方法，相信大家都有所感悟。同學們，知識是相互聯系的，又是相互作用的，而研究問題的方法是有規律可循的。希望同學們在今后的數學學習中，積極思考，把握問題的研究規律，以促成智慧生長。

四、教學反思

本節課是在學生學習完一次函數、反比例函數、二次函數等內容后的一節總結拓展課。探究新函數的圖像和性質對初中學生來說頗具難度，教師需要以智慧的教促進學生智慧的學，引導學生不斷進行總結提煉，形成更高層次的結構體系，發展學生的數學思維，培育學生的核心素養。

1.聚焦函數本質，提升教學智慧。

初中教材內容的安排往往以章為單元，但有些章與章之間研究內容及路徑是相通的，是一種螺旋式上升。如函數分別研究了一次函數、反比例函數、二次函數等。進入九年級復習時，教師對這些內容進行有效整合，聚焦函數本質，不僅能幫助學生提高復習效率，更主要的是能夠使學生以聯系、共性的思維來思考，讓學生從中總結出一般規律，積累經驗并解決新的函數問題，進一步升華相關思想，這就是智慧教學生長的過程。有了這樣的探究經歷后，學生進入高中學習新的函數，就會得心應手，自然就有一種水到渠成的感覺。

2.問題驅動探究，發展學生智慧。

問題驅動的教學由數學教育家張奠宙教授提出，從問題出發，為解決問題或者發展問題結論而不斷設計新問題，在一系列問題鏈的解決過程中逐步加深對原始問題的理解，從而發展學生智慧。本節課上，筆者從如何探究所給的新函數引入課題，基于學生的困難點，圍繞研究函數圖像與性質的幾個方面設置了多個問題串，創設符合學生認知規律的問題情境，以問題來驅動學生探究，充分調動學生思維，激發學生智慧。通過實踐，筆者認為基于問題驅動的探究活動，易于發展學生智慧，提升學生核心素養。

3.把握知識建構，促進智慧生長。

著名數學家華羅庚將讀書的過程歸納為“由薄到厚”與“由厚到薄”兩個階段，初中階段函數的學習過程亦是如此。如果將初中教材中三大函數的內容看成是“由薄到厚”階段，則本節課新函數圖像和性質的探究可看成是“由厚到薄”階段。將原來彼此分散、彼此分割開來的知識聯系成一個統一的整體，即學生在對知識進行內化的基礎上，通過順應和同化，構成新的認知結構，實現知識與方法的第二次整體建構。這一過程不僅僅是知識層面的整理及建構，更主要是能從整體把握處理問題的多種視角和方法，真正促進了教與學的智慧生長，指向學生核心素養的培育。