MATLAB在高等數學三大運算中的應用

張悅嬌

(北京科技大學天津學院基礎部，天津 301830)

隨著我國高等教育招生規模的不斷擴大，高等教育實現了從精英教育到大眾化教育的過渡。高等數學作為大學一年級的一門十分重要的基礎理論課，其主要研究對象為實變實值函數，尤其是連續的實變實值函數。高等數學作為一門公共基礎課，其所發揮的作用也涉及方方面面，比如在電子、軟件工程、工業生產、運籌學、經濟管理等很多領域都有著重要應用。

計算性是數學最基本、最顯著的特點，因此求函數的極限、導數、積分作為高等數學的三大運算，其重要性不言而喻。函數極限、導數、積分三種運算間的相互作用關系如圖1所示。

圖1 函數極限、導數、積分三種運算間的相互作用關系Fig.1 Interaction relationship among three operations, such as functional limit, differential coefficient and integral

MATLAB軟件是一種科學計算軟件，該軟件將高性能的數值計算和可視化功能集于一個易于開發的環境，已成為高等數學、線性代數、概率論與數理統計、數字處理等課程的基本工具，同時MATLAB也成為大學生必須掌握的基本軟件之一。教師在高等數學教學中引入MATLAB軟件，不僅可以解決計算繁瑣的問題，還可以為學生增加更多自己動手的機會，進而培養學生學習高等數學的興趣與熱情，提升學生對高等數學學習的積極性與主動性。基于上述分析，本文通過列舉實例，對MATLAB軟件在高等數學教學中的應用做出相關探討。

1 MATLAB在極限運算中的應用

極限是高等數學學科的理論基礎，高等數學中涉及的求函數極限的方法主要包括：利用四則運算、利用極限存在準則、利用兩個重要極限、利用等價無窮小替換、利用洛必達法則、利用泰勒公式、利用定積分的定義等求解。下面通過舉例探討MATLAB在求函數極限中的應用。

解：在MATLAB命令窗口中輸入：

syms x

a=limit(x*sin(1/x),x,0)

b=limit(x*sin(1/x),x,0,’right’)

得到所求的結果為：

a=0

b=0

圖2 (a)函數當x→0時的變化趨勢 (b)函數當x→0+時的變化趨勢Fig.2 (a)Variation trend of function when x→0(b)Variation trend of function when x→0+

數形結合是數學學習中很重要的一種方法，從圖2中可以直觀地得到極限的結果。由例1可以看出，在函數極限的教學中引入MATLAB軟件，可以幫助學生更直觀地感受函數極限的“動與靜”，有助于學生更好地掌握函數極限的概念。MATLAB在求函數極限運算中的應用較為簡單，學生只要掌握極限運算命令limit的三種基本用法即可。即：

2 MATLAB在導數運算中的應用

導數是微積分中重要的基礎概念，下面通過舉例探討MATLAB在求一元函數導數、多元函數偏導數中的應用。

例2 已知y=exp(5*x)*cos(1-x＾2)，求y′，y(4)。

解：在MATLAB窗口中輸入：

syms x;

y=exp(5*x)*cos(1-x^2);

dy_dx =diff(y,x)

dy_dx_4=diff(y,x,4)

得到所求的結果為：

dy_dx=5*exp(5*x)*cos(x^2-1)-2*x*exp(5*x)*sin(x^2-1)

dy_dx_4=613*exp(5*x)*cos(x^2-1)-300*exp(5*x)*sin(x^2-1)-600*x^2*exp(5*x)*cos(x^2-1)+16*x^4*exp(5*x)*cos(x^2-1)+48*x^2*exp(5*x)*sin(x^2-1)+160*x^3*exp(5*x)*sin(x^2-1)-240*x*exp(5*x)*cos(x^2-1)-1000*x*exp(5*x)*sin(x^2-1)

解：在MATLAB窗口中輸入：

syms x y z;

z=log(x^3+y^3)*sin((x*y)/(x-y));

z_y=diff(z,y,1)

z_y_x=diff(diff(z,y),x)

得到所求的結果為：

z_y=log(x^3+y^3)*cos((x*y)/(x-y))*(x/(x-y)+(x*y)/(x-y)^2)+(3*y^2*sin((x*y)/(x-y)))/(x^3+y^3)

z_y_x=log(x^3+y^3)*cos((x*y)/(x-y))*(1/(x-y)-x/(x-y)^2+y/(x-y)^2-(2*x*y)/(x-y)^3)+(3*x^2*cos((x*y)/(x-y))*(x/(x-y)+(x*y)/(x-y)^2))/(x^3+y^3)+(3*y^2*cos((x*y)/(x-y))*(y/(x-y)-(x*y)/(x-y)^2))/(x^3+y^3)-(9*x^2*y^2*sin((x*y)/(x-y)))/(x^3+y^3)^2-log(x^3+y^3)*sin((x*y)/(x-y))*(x/(x-y)+(x*y)/(x-y)^2)*(y/(x-y)-(x*y)/(x-y)^2)

在MATLAB中用來求函數導數的命令為diff。diff不僅可以求一元函數的一階導數、高階導數，還可以求多元函數的偏導數以及高階混合偏導數，由例3可以看出diff在求多元函數的混合偏導數時，diff命令是可以嵌套使用的。從上述例題可以看出，在高等數學教學中引入MATLAB，不僅可以提高做題效率，還可以拓展學生的知識面。如果再通過MATLAB繪圖功能作出導數幾何意義的動畫演示，更可以激發學生學習高等數學的積極性與熱情，加深學生對基礎概念的認識與理解，提升學生解決相關實際應用問題的能力。應用MATLAB中diff命令求函數的導數，應掌握以下調用格式：

(1)diff(f(x),n)返回函數f(x)的n階導數f(n)(x)。

3 MATLAB在積分運算中的應用

MATLAB軟件豐富的功能既可以求函數的符號積分，也可以計算函數的數值積分，對于MATLAB軟件求函數符號積分只需要熟練掌握命令int及其調用格式：

(1)int(f) 求函數f關于syms定義的符號變量的不定積分。

(2)int(f,v) 求函數f關于變量v的不定積分。

(3)int(f,a,b) 求函數f關于syms定義的符號變量從a到b的定積分。

(4)int(f,v,a,b) 求函數f關于變量v從a到b的定積分。

注：用MATLAB軟件求不定積分時，不自動添加積分常數C。

解：在MATLAB窗口中輸入：

syms x

fhjf=int(x^2,x,0,1)

x=linspace(0,1,21);y=x.^2;

subplot(1,3,1),plot(x,y),hold on

fill([x,1],[y,0],′b′);

gtext(′1/3′),title(′精確值′)

jx_z=sum(y(1:20))/20

subplot(1,3,2),plot(x,y),hold on

for i=1:20;

fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],′y′)

end

gtext(′0.3087′),title(′左矩形公式′)

jx_y=sum(y(2:21))/20

subplot(1,3,3), plot(x,y,′r′),hold on

for i=1:20;

fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],′g′)

end

gtext(′0.3587′)，title(′右矩形公式′)

tx=trapz(x,y)

xps=quad(′x.^2′,0,1)

運行結果如下所示：

fhjf =1/3

jx_z =0.308750000000000

jx_y =0.358750000000000

tx =0.333750000000000

xps =0.333333333333333

為了便于直觀觀察例4中定積分的精確值與數值方法計算結果的誤差，繪制了左、右矩形公式與定積分精確值之間的關系，如圖3所示。

不難看出，數值積分的解題過程也體現了定積分定義中“分割—近似求和—取極限”的方法。

圖3 左、右矩形公式與定積分精確值之間的關系Fig.3 Relationship of left and right matrix formula, and exact value of definite integral

4 結語

應用MATLAB軟件中計算函數極限的命令limit、計算函數導數的命令diff、計算函數符號積分的命令int時，均需要提前對符號變量進行說明，建立符號變量的調用格式如下：(1)x=sym(‘x’)建立符號變量x。(2)syms x y z建立多個符號變量x，y，z。需要注意各符號變量之間必須用空格隔開。

MATLAB軟件具有高效直觀、操作簡單的特點，在高等數學教學中引入MATLAB軟件，可以將高等數學中抽象理論知識的計算過程及結果形象化、具體化、動態化，從而調動學生的學習積極性和學習興趣，活躍課堂氣氛，為學生后續在數學基礎課、專業課、數學建模等的學習中提供一種解決計算問題的新方法。