簡化分數階AEPF的鋰電池SOC估計算法

張宵洋，陳康義，吳新波

(1.九州電子有限公司，山東濰坊 261000；2.哈爾濱工業大學化工與化學學院，黑龍江哈爾濱 150001)

荷電狀態(SOC)是電動汽車鋰電池管理系統的重要指標，準確地估計SOC能夠保證電池組安全性以及提高電動汽車運行可靠性。目前來說，等效模型的精確表達與估計算法的優化設計是提高SOC估計精度的兩大重要技術路線。準確的模型是實現高效、準確估算SOC的前提。流行的模型可主要分為經驗模型、電化學模型和電氣等效電路模型。在經驗模型中，使用數學表達式或多項式來表示鋰電池的內部動力學[1]。然而，經驗模型總是通過增加更多的參數來提高其精度，這增加了系統的穩定性，但計算量大，不適合在線SOC估計。從基本電化學機理出發建立的電化學模型可以用一系列偏微分方程來描述，有助于我們從微觀的角度詳細地把握基本反應[2]。但由于計算復雜度太高，使得在實際應用中的難度較大。電氣等效電路模型用理想的電路元件來描述電池的端電壓，具有復雜度低的優點。比如戴維南模型[3]、雙極化模型[4]，PNGV 模型[5]與考慮遲滯效應模型[6]等。分數階模型(FOM)與整數階模型(DPM)相比，能夠更深入地揭示電池固有的電化學性能[7]。電池內部的電化學反應具有反常擴散、記憶和遲滯等特性，FOM 可以更簡潔地描述這些特性。文獻[8]利用電化學阻抗譜，分別對鋰電池和超級電容進行了分數階建模。文獻[9]證明了存儲長度為N的FOM 等價于具有N個RC 分支的DPM，這意味著FOM 可以用較少的電路元件達到相同的精度。因此，大量的研究將FOM 引入到電池研究中。文獻[10]比較了多種模型，進一步證明了分數階模型相比整數階模型具有更高的建模精度。

文獻[11]在FOM 基礎上采用擴展卡爾曼濾波算法(EKF)估計SOC，結果表明相比于傳統DPM，FOM 具有更高的SOC估計精度。但是EKF 存在對非線性系統線性化處理的截斷誤差問題。并且，卡爾曼濾波類的算法僅適用于高斯噪聲條件下。當處于非高斯白噪聲工況下時，估測效果就不盡人意。粒子濾波算法(PF)更適合應用于非線性非高斯系統。該算法在鋰電池SOC觀測領域中也得到了廣泛的研究與應用[12-13]。但PF 算法存在粒子退化的問題，并且需要通過大量的粒子數來保證SOC的估測精度，粒子數的過多增加對硬件提出了更高的計算需求。另外，FOM 中對歷史記憶時間長度的疊加運算加劇了算法的計算負擔。因此，在不降低SOC估計精度的前提下，對于削減分數階粒子濾波算法計算量的研究具有重要的科學價值。

綜合上述研究現狀，本文提出了一種基于簡化分數階模型的自適應擴展卡爾曼粒子濾波的SOC估計算法，然后在動態應力和補充聯邦電流工況進行了相應的測試驗證。

1 鋰電池等效電路模型

圖1 是整數階等效電路模型，圖2 是分數階等效電路模型。然而，DPM 不能準確反映電池內部的電化學反應。因此，包含Warburg 在內的分數階阻抗元件的引入有效解決了這個問題，由此構成FOM。從電化學阻抗譜的角度來看，分數階阻抗元件構成的電路能夠更好地擬合鋰離子電池的阻抗特性。

圖1 整數階模型

圖2 分數階模型

對于FOM，模型阻抗的傳遞函數為：

式中：Z1=(CPE1sα)-1和Z2=(CPE2sα)-1，分別表示CPE1和CPE2恒相位元件阻抗；ZW=(Wsγ)-1表示Warburg 元件阻抗；R0為歐姆內阻；R1、R2為電化學極化內阻；C1、C2為濃差極化電容；OCV為開路電壓；i為負載電流；ut為端電壓。

系統輸入為u(t)=i(t)，輸出為y(t)=OCV(t)-ut(t)，則系統模型由分數階時域方程表示為：

引入Grünwald-Letnikov(GL)定理：

式中：Dα是微分算子；表示二項式系數；Ts表示步長；[t/Ts]表示[t/Ts]的整數部分；t表示當前時刻；j表示步數。

應用式(3)，在k+1 時刻，式(2)表示為：

式中：h是充放電效率；Cn為電池額定容量；Ts是采樣時間。

通過式(4)發現，隨著累加項目數量的增加，硬件的計算負擔也隨之增加。在實際應用中，考慮到電池模型的精度要求、計算負擔和短時記憶原理，求和項可以適當截斷。本文將求和上限設定為1，式(4)則可以修改為：

2 參數辨識

開路電壓OCV是電池經過長時間靜置得到的，它是能夠間接地準確反映SOC大小的重要參數。根據在不同SOC下OCV的測試數據與經驗公式(6)，可以得到OCV-SOC曲線，如圖3 所示。表1 是OCV-SOC擬合曲線的參數表，表2 是OCVSOC曲線的擬合系數。

圖3 OCV-SOC的非線性曲線

表1 OCV-SOC 擬合曲線的參數表

表2 OCV-SOC 曲線的擬合系數

SOC的準確估計依賴于模型參數的準確性。相比于DPM，FOM 增加了系統的非線性特性，所以難以再使用經典的最小二乘擬合法進行參數辨識。而遺傳算法可通過模擬遺傳生物學的演化過程實現參數尋優，能夠應用于非線性系統的參數辨識。因此本文基于FOM，使用遺傳算法辨識包括階次在內的分數階模型參數，其中選擇了端電壓測量值與估計值的絕對均方根誤差作為遺傳算法的適應度函數。辨識結果如表3 所示。

表3 分數階模型離線辨識參數表

3 基于分數階自適應擴展卡爾曼粒子濾波算法的SOC 估計

粒子濾波算法不會過分受制于噪聲模型的限制，能夠適用于非高斯噪聲的條件。為了進一步提高估測精度和魯棒性，本文將自適應擴展卡爾曼濾波(AEKF)作為PF 算法的建議分布函數，即自適應擴展卡爾曼粒子濾波算法(AEPF)。

根據式(5)，對于鋰電池的狀態方程和測量方程可統一表示為：

式 中：xk=[SOCk u1,k u2,k u3,k]T；f=Akxk＋Bkuk；uk=Ik；yk=Ut,k；h(xk,uk)=Ckxk＋Dkuk；wk為過程噪聲；νk為測量噪聲。

將鋰電池的狀態空間方程和已被辨識的模型參數應用到如下所示AEPF 算法的具體步驟，即可實現鋰電池SOC的實時估計。

步驟(1)：

初始化，k=0，隨機產生n個用于SOC估計初始粒子(i=1,2,…,n)，起始權值w0均為1/N。

步驟(2)：

(a)利用AEKF 更新粒子，在k時刻，對于每一個粒子根據式(7)得到一步預測值

(f)噪聲自適應，

步驟(3)：

用高斯分布近似重要概率函數來產生粒子濾波算法的建議分布，計算重要性權重，

步驟(4)：

步驟(5)：

重采樣，選擇隨機重采樣方式，依據重要性權重對數據進行壓縮和放大。

步驟(6)：

步驟(7)：

令k=k+1，返回步驟(2)循環。

4 測試結果與分析

本文所用電池組型號為A123 三元鋰離子軟包電池，額定容量為24 Ah，充放電截止電壓分別為4.2和2.5 V，標稱電壓為3.6 V。使用MATLAB R2018a 軟件編寫腳本程序。分別采用動態應力(DST)和聯邦(US06)的放電工況對電池進行測試，圖4 和圖5 分別是DST 和US06 兩個測試工況下電流與電壓數據。本文基于此數據驗證所提出方法的有效性和魯棒性。

圖4 DST工況

圖5 US06工況

4.1 不同算法的對比測試

為了突出所提算法在SOC估計上的優越性，用5 種其他算法進行SOC估計，將估計的結果與本文所提出的算法估計的數據進行比較。這6 種算法分別為基于DPM 的EKF 算法(DPM-EKF)，基于FOM 的EKF 算法(FOM-EKF)，基于DPM 的PF 算法(DPM-PF)，基于FOM 的PF 算法(FOM-PF)，基于DPM的AEPF 算法(DPM-AEPF)和基于FOM 的AEPF 算法(FOMAEPF)。

在DST 的測試工況下，圖6 為端電壓，圖7 為端電壓估計誤差，圖8 為SOC估計結果，圖9 為SOC估計誤差。表4 給出了各算法的SOC和端電壓的最大絕對值誤差、絕對平均誤差和絕對均方根誤差。結合下面的圖表，從模型的角度，基于FOM 的各算法要比基于DPM 的端電壓和SOC的估計誤差要小，這體現了模型升級的優點；從算法的角度，AEPF 算法要比EKF、PF 算法的估計誤差要小，估計誤差的波動也更加平滑，這體現了算法融合的優勢。所以本文所提出的FOAEPF方法具有更高的SOC估計精度。表中SOCmax為SOC最大絕對值誤差；SOCMEAN為SOC絕對平均誤差；SOCRMSE為SOC絕對均方根誤差；Ut,max為Ut最大絕對值誤差；Ut,MEAN為Ut絕對平均誤差；Ut,RMSE為Ut絕對均方根誤差。

圖6 端電壓

圖7 端電壓估計誤差

圖8 SOC估計值

圖9 SOC估計誤差

表4 不同算法估計誤差的比較結果

4.2 算法計算量測試

為了進一步測試EPF 的粒子數與估計精度之間的影響，本節分別采用了粒子數為20、50 和200 的條件進行測試。圖10 和圖11 分別是在DST 和US06 工況下不同粒子數SOC的估計結果。由圖可見，電池放電的前期SOC的估計誤差較大，這是因為算法在電池放電前期時需要一定的時間來自適應調整，并淘汰掉不適合的粒子。而到電池放電的中后期時，三種粒子數條件下的估計誤差基本趨于一致。

圖10 DST工況、不同粒子數下SOC的估計結果

圖11 US06工況、不同粒子數下SOC的估計結果

圖12 是不同粒子數下算法的平均誤差與計算時間的比較結果。從圖12 可以看出，增加粒子數并沒有使SOC估計精度得到顯著提高，但增加了較多的運算時間。這說明AEKF算法作為PF 的建議分布函數是有效的，AEKF 算法融合進一步提高了估計器的濾波能力，因此，本文提出的AEPF 算法相比于傳統PF 算法能夠明顯降低計算量。

圖12 不同粒子數下算法的平均誤差與計算時間的比較結果

5 結論

本文建立電池分數階等效模型，對二項式系數的求和項進行了適當截斷，比DPM 具有更高的建模精度，能夠有效降低因歷史記憶數據積累帶來的計算量。采用AEPF 算法，避免過度依賴“增加粒子數來保證粒子濾波算法估計精度”的傳統方式，使用較少粒子即可滿足估計精度需求。AEKF 作為概率密度的建議分布函數，能有效解決PF 算法粒子退化問題。融合算法實現了二次濾波，進一步提高算法估計精度和魯棒性。