非正規(guī)子群階的個數(shù)是2的有限群①

黃碩安， 呂恒

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶400715

本文所涉及的群皆為有限群． 利用非正規(guī)子群去研究群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)是有限群研究的一個重要方向． 例如： 群G的非正規(guī)子群的個數(shù)為0， 則G為Dedekind群， 關(guān)于它結(jié)構(gòu)的研究可參見文獻(xiàn)[1]． 文獻(xiàn)[2]利用有限單群分類定理證明了： 如果有限非可解群G恰有2個非正規(guī)極大子群同階類， 那么

G/S(G)?PSL(2， 7)

其中S(G)表示G的極大可解正規(guī)子群． 文獻(xiàn)[3]研究了U(G)=1時群G的結(jié)構(gòu)， 其中U(G)表示群G的非正規(guī)子群的共軛類數(shù)． 文獻(xiàn)[4]給出了冪零群G的冪零類c(G)和U(G)之間的一個關(guān)系式． 文獻(xiàn)[5]研究了奇階冪零群G的群結(jié)構(gòu)， 并給出了U*(G)和c(G)之間的一個關(guān)系式， 其中U*(G)表示群G的非正規(guī)循環(huán)子群的共軛類數(shù)． 文獻(xiàn)[6]給出了冪零群G的冪零類c(G)和U*(G)之間的一個關(guān)系式． 文獻(xiàn)[7]證明了： 若G是非冪零群，J(G)=1當(dāng)且僅當(dāng)G=[N]P是裂擴(kuò)張， 其中N是G的正規(guī)子群， 且階是素數(shù)q，P是素數(shù)冪階的循環(huán)p-群， 且[N，Φ(P)]=1， 素數(shù)p

記π(G)為群G的階的所有素因子的集合，J(G)為群G的非正規(guī)子群階的個數(shù)． 設(shè)G是可解群，

如果對任意的i，j都滿足

GpiGpj=GpjGpii，j=1，…，s

那么稱S={Gp1， …，Gps}為G的一個Sylow系． 群G是Dedekind群表示它的每個子群都是正規(guī)子群． 非交換的Dedekind群叫做Hamilton群．

引理1設(shè)G是群， 如果J(G)≤4， 則G是可解群．

證若G非可解， 設(shè)M/N是G的非可解主因子，

M/N?S1×S2×…×Skk≥1

其中S1，…，Sk是彼此同構(gòu)的非交換單群， 則

J(G)≥J(G/N)≥J(M/N)≥J(A5)≥5

矛盾， 于是G是可解群．

引理2[8]設(shè)π′-群H作用在交換π-群G上， 則G=CG(H)×[G，H]．

引理3設(shè)G是非冪零群，J(G)=2， 則π(G)≤3．

證若π(G)>3， 設(shè)Pi是G的Sylowpi-子群(i=1，2，…，k，k≥4)． 由G非冪零， 不妨設(shè)G的Sylowp1-子群P1是G的非正規(guī)子群． 若P2?_/G， 由J(G)=2， 有P1P2，P1P3在G中正規(guī)， 從而

P1P2∩P1P3=P1?_G

矛盾． 故G的所有Sylow子群中只有Sylowp1-子群是G的非正規(guī)子群． 由J(G)=2，P1?_/G， 有P1P2，P1P3，P1P4中至少有2個子群在G中正規(guī)， 不妨設(shè)P1P2，P1P3在G中正規(guī)， 于是P1?_G， 矛盾． 因此，π(G)≤3．

定理1設(shè)G是非冪零群，π(G)=3，J(G)=2， 則

G=(〈x〉×|〈y〉)×〈z〉xp=yqm=zr=1

[x，yq]=1 [x，y]=xkq|p-1

其中p，q，r為互異素數(shù)，m，k為正整數(shù)， 且(k，p)=1．

若P1P2，P1P3都在G中正規(guī)， 則

P1P2∩P1P3=P1?_G

矛盾． 由

J(G)=2P1?_/G

有P1P2，P1P3中必有一個子群是G的非正規(guī)子群． 不妨設(shè)P1P2?_/G， 于是P2，P3，P1P3都在G中正規(guī)， 從而

G=(P3×|P1)×P2

若P1有兩個不同的極大子群M1，M2， 由J(G)=2， 有

M1?_GM2?_G

又由P1=〈M1，M2〉得P1?_G， 矛盾于P1?_/G， 于是P1只有一個極大子群， 從而P1為循環(huán)群． 若α2>1， 設(shè)N是P2的極大子群， 則P1N=P1×N， 又由P1N?_G得P1?_G， 矛盾， 于是α2=1， 即P2為p2階循環(huán)群．

設(shè)K1，K2是P3中的兩個不同的p3階子群， 則P1K1?_G，P1K2?_G， 又由P1=P1K1∩P1K2得P1?_G， 矛盾． 于是P3只有唯一的p3階子群， 從而P3為循環(huán)群或者廣義四元數(shù)群． 若P3是廣義四元數(shù)群， 由P3中每一個子群都在P3中正規(guī)， 有P3?Q8， 即P3為8階的四元數(shù)群． 又由[P1，P3]≠1知，P3中存在4階循環(huán)群在G中非正規(guī)， 矛盾于J(G)=2， 故P3為循環(huán)群．

設(shè)H是P3的真子群， 則H?_P3． 考慮P1互素作用在P3上， 有

P3=[P1，P3]×CP3(P1)

于是

P3=[P1，P3]CP3(P1)=1

故

[P1H，P3]=[P1，P3]=P3≤/P1HP1H?_/G

因此

P1H=P1H=1

即P3為p3階循環(huán)群．

綜上所述，

G=(〈x〉 ×|〈y〉)×〈z〉xp=yqm=zr=1

[x，yq]=1 [x，y]=xkq|p-1

其中p，q，r為互異素數(shù)，m，k為正整數(shù)， 且(k，p)=1．

定理2設(shè)G是非冪零群，π(G)=2，J(G)=2， 則下述之一成立：

(a)G=〈x〉|×〈y〉，xpm=yq=1，pm≥p2， [x，yp2]=1， [x，yp]≠1；

(d)G=Q8|×Cq；

(e)G=〈y〉|×〈x〉， [y，x]?〈y〉，ypm=xq2=1， [yp，x]=1；

其中p，q是互異素數(shù)，m，k1，k2為正整數(shù)．

證設(shè)|G|=paqb， 由G非冪零， 不妨設(shè)G的Sylowp-子群P是G的非正規(guī)子群， 即P?_/G． 設(shè)Q為G的Sylowq-子群． 我們分下面幾種情形來討論：

情形1M?_/G， 1

由M的所有真子群都在G中正規(guī)知，M只有一個極大子群， 故M是循環(huán)群． 由J(G)=2得Q?_G， 且對G/Q的任意子群H/Q都滿足H/Q?_G/Q， 于是G/Q為Dedekind群． 同理G/N也是Dedekind群， 其中N是Q的非平凡子群．

下面證明Q是循環(huán)群． 設(shè)

N1≠N2≤Q|N1|=|N2|=q

則PN1?_G，PN2?_G， 于是P?_G， 矛盾． 故Q只有一個q階子群， 因此Q是循環(huán)群或者是廣義四元素群． 若Q是廣義四元素群， 則由Q中每一個子群都在Q中正規(guī)得Q?Q8． 又由[P，Q]≠1知，Q中存在4階循環(huán)群是G的非正規(guī)子群， 矛盾． 故Q是循環(huán)群．

若b>1， 設(shè)N是Q的q階子群， 則N?_G， 于是

G/N=(PN/N)×(Q/N) [〈g〉，Q]≤N

其中g(shù)∈P． 考慮〈g〉互素作用在Q上， 有

Q=[〈g〉，Q]×CQ(〈g〉)

于是[〈g〉，Q]=1，Q． 若[〈g〉，Q]=Q， 則與N是Q的真子群矛盾， 于是

[〈g〉，Q]=1 〈g〉N=〈g〉×N

由J(G)=2， 有〈g〉×N?_G， 于是〈g〉?_G． 又由g的任意性得P?_G， 矛盾， 故Q為q階循環(huán)群． 設(shè)Q=〈y〉，yq=1．

下面探究P的結(jié)構(gòu)． 由P?G/Q得P也是Dedekind群． 我們分為兩種情形：

情形1.1P是交換群， 則P/M為循環(huán)群．

如果P/M不是循環(huán)群， 設(shè)

P/M=〈a1M〉×〈a2M〉×…×〈asM〉s≥2

則P中存在兩個不同的子群M1，M2， 使得

|M1/M|=|M2/M|=p

由

M≤M1∩M2

以及M的極大性得M=M1∩M2． 又由M1?_G，M2?_G得M?_G， 矛盾．

如果M≤Φ(P)， 則P為循環(huán)群， 設(shè)P=〈x〉． 顯然，M為P的極大子群， 否則M?_G． 因此G=〈y〉×| 〈x〉， 其中

yq=1 |x|≥p2p2|q-1 [xp2，y]=1 [xp，y]≠1

即G為(a)型群．

如果M≤/Φ(P)， 取P中子群P1使得M是P1的極大子群， 于是P=M×〈b〉， 其中|b|=p． 若P1≠P， 由P1?_G得[P1，Q]=1， 于是[M，Q]=1， 矛盾于M?_/G， 故P1=P． 若|M|=p， 由M是P的極大子群， 有|P|=p2， 于是P的型不變量為(p2)和(p，p)． 若P的型不變量為(p2)， 與M≤/Φ(P)矛盾， 故P的型不變量為(p，p)， 即G為(b)型群． 若|M|≥p2， 由J(G)=2，M?_/G， 有〈b〉?_G， 故[〈b〉，Q]=1， 即G為(c)型群．

情形1.2P是非交換群．

如果P/M是交換群， 則P/M是循環(huán)群． 若否， 設(shè)

P/M=〈a1M〉×〈a2M〉×…×〈asM〉s≥2

則P中存在兩個不同的子群M1，M2， 使得

|M1/M|=|M2/M|=p

由

M≤M1∩M2

以及M的極大性得M=M1∩M2． 又由M1?_G，M2?_G得M?_G， 矛盾． 因M循環(huán)， 故P=〈x，y〉?Q8， 于是G=Cq×|Q8， 即G為(d)型群．

如果P/M是非交換群， 則P/M是Hamilton群． 令P1=P′×M， 于是

P1?_G[P1，Q]=1

故M?_G， 矛盾． 因此， 這類群不存在．

情形2 設(shè)G的非正規(guī)子群為H， (|H|， |Q|)≠1．

若Q?_/G， 不妨設(shè)p>q， 顯然P，Q都是循環(huán)群， 于是P?_G， 矛盾， 故Q?_G． 由J(G)=2，P?_/G得P只有一個極大子群， 故P為循環(huán)群， 設(shè)P=〈y〉．

情形2.1Q是交換群．

考慮P互素作用在Q上， 有Q=CQ(P)×[P，Q]， 故

G=P|×Q=P|×(CQ(P)×[P，Q])=(P|×[P，Q])×CQ(P)

若|CQ(P)|>q， 由

P?_/G〈P，x〉=P×〈x〉

得〈P，x〉 ?_/G， 其中x∈CQ(P)， 故至少可以構(gòu)造出2個不同階的G的非正規(guī)子群， 與J(G)=2矛盾． 若|CQ(P)|=q， 設(shè)CQ(P)=〈x〉， 其中xq=1． 由P?_/G，P×〈x〉?_/G知，G的其他階子群均正規(guī)于G， 于是存在x1∈[P，Q]且|x1|=q， 使得〈x1〉?_G， 故[P， 〈x1〉]=〈x1〉． 又由

[P， 〈xx1〉]=〈x1〉≠〈xx1〉

有〈xx1〉?_/G， 與J(G)=2矛盾， 于是

|CQ(P)|=1Q=[Q，P]

考慮Ω1(Q)． 若Ω1(Q)≠Q(mào)， 則

[PΩ1(Q)，Q]=Q≤/PΩ1(Q)

于是PΩ1(Q)?_/G， 故對?x∈Ω1(Q)， 有〈x〉?_G． 又由

[P〈x〉，Q]=Q≤/P〈x〉

有P〈x〉?_/G， 故P〈x〉=PΩ1(Q)， 因此Q只能是循環(huán)群， 且|Q|=q2， [〈yp〉，Q]=1． 設(shè)Q=〈x〉，xq2=1， 即G為(e)型群． 若Ω1(Q)=Q， 則Q為初等交換q-群．

若存在x∈Q， 使得〈x〉?_G， 則P〈x〉?_/G， 故Q的子群均正規(guī)于G． 由Q=[Q，P]得|Q|=q2， 于是

又由P的極大子群都是G的正規(guī)子群得[〈yp〉，Q]=1，p|q-1， 即G為(f)型群．

若對?x∈Q有〈x〉?_/G， 則Q中所有階大于1的真子群都是G的非正規(guī)子群， 于是Q是q2階的初等交換q-群， 因此

G=P|×(Cq×Cq) [〈yp〉，Q]=1

即G為(g)型群．

情形2.2Q是非交換群

若存在H≤Q使得H?_/G． 設(shè)N≤Z(Q)， 且N是G的極小正規(guī)子群， 則

PN/N×Q/N=G/N

由

N=CN(P)×[N，P]

得N=CN(P)或N=[N，P]． 若N=CN(P)， 則PN=P×N?_G， 于是P?_G， 矛盾， 故N=[N，P]． 取x∈QN且xq∈N， 則M=〈x，N〉是交換群． 由G/N=PN/N×Q/N得[M，P]≤N． 又由

M=CM(P)×[M，P]N=[N，P]≤[M，P]

得M=CM(P)×N， 故|CM(P)|=q． 考慮PCM(P)， 由

PCM(P)=P×CM(P)?_G

得P?_G， 矛盾． 因此， 這類群不存在．