一類階為2p2q的CA-群①

仝巍， 林子靖， 周偉

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶 400715

對特殊子群的研究一直是有限群論中的一個熱門課題． 例如文獻(xiàn)[1-6]通過研究交換子群、 極大交換子群、 循環(huán)子群等， 得到了群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)． 群的交換性是群結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的一個重要體現(xiàn)， 而群中元素的中心化子也與群的交換性有密切聯(lián)系， 并且對群結(jié)構(gòu)有著很大的影響．

如果對于任意x∈G(G)， 都有CG(x)交換， 則群G被稱為CA-群．CA-群在群結(jié)構(gòu)的研究中有著非常重要的作用， 關(guān)于CA-群的研究也是人們一直十分感興趣的問題． 文獻(xiàn)[7]證明了CA-群是單群或者可解群． 文獻(xiàn)[8]構(gòu)造出了偶數(shù)階CA-單群． 文獻(xiàn)[9]證明了偶數(shù)階CA-群是Frobenius-群、 交換群或特殊射影線性群PSL(2， 2m)， 其中m>2． 文獻(xiàn)[10-11]研究了根據(jù)群的階去判定CA-群． 文獻(xiàn)[12-15]研究了根據(jù)中心化子的個數(shù)去確定群的結(jié)構(gòu)．

本文繼續(xù)進(jìn)行這方面的研究， 得出結(jié)論： 若|G|=2p2q， 其中p

為了便于證明本文的結(jié)論， 下面給出幾個相關(guān)的引理：

引理1[14]設(shè)p為有限群G的最小質(zhì)因子， 如果G的Sylowp-子群循環(huán)， 則G有正規(guī)p-補．

引理2[15]設(shè)G是一個群， 如果G/Z(G)是循環(huán)群， 則G是交換群．

引理3[16]對于素數(shù)p

引理4[10]如果|G∶Z(G)|=pqr， 則群G是CA-群， 其中p，q，r是素數(shù)(p，q，r可以相同)．

本文所涉及的群都是有限群， 所用符號都是標(biāo)準(zhǔn)的．

有了前面的預(yù)備知識， 現(xiàn)在可以對本文的主要結(jié)論進(jìn)行證明．

定理1若|G|=2p2q， 其中p

證群G的Sylowp-子群的個數(shù)np=1+ap，np|2q． 由條件q為奇素數(shù)，p|/q-1可知np≠2，q． 下面對np的值分情況討論．

如果np=1， 此時G的Sylowp-子群只有一個， 記為P，P?_G． 設(shè)Q∈Sylq(G)， 則PQ=P×|Q． 考慮Q在P上的作用， 若P為p2階循環(huán)群， 則

|Aut(P)|=p(p-1)

若P為(p，p)型初等交換p-群， 則

|Aut(P)|=(p2-1)(p2-p)

而(|Q|， |Aut(P)|)=1， 故Q在P上作用平凡， 因此PQ=P×Q． 又因|G∶PQ|=2， 從而有QcharPQ?_G， 則Q?_G， 結(jié)論成立．

如果np=1+ap=2q， 考慮G的Sylowq-子群的個數(shù)nq=1+bq，nq|2p2． 由條件p

若nq=1+bq=p2， 則q|p2-1， 即q|(p+1)(p-1)， 與p，q均為奇素數(shù)矛盾．

若nq=1+bq=2p2， 此時G中q階元的個數(shù)為2p2(q-1)=2p2q-2p2，G中只剩下2p2個元． 而此時G有2q個Sylowp-子群， 分別記為Pi(i=1，2，…，2q， 2q>3)， 它們最少需要的元素個數(shù)不小于

矛盾．

若nq=1+bq=2p， 此時np=1+ap=2q， 從而有

(4-ab)q=a+2

其中a，b為正整數(shù)，q≥5為奇素數(shù)． 此等式只有在a=3，b=1，q=5 時才可能成立， 在此種情況下有

|G|=2·32·5=90

由引理1可知G有正規(guī)2-補， 記為H． |H|=32·5，H的Sylow 5-子群的個數(shù)為1+5k|32， 則H只有唯一的Sylow 5-子群， 記為M． 從而有McharH?_G， 則M?_G， 即90階群的Sylow 5-子群正規(guī)， 結(jié)論成立． 若nq=1， 則Q?_G， 結(jié)論成立．

綜上所述， 群G的Sylowq-子群正規(guī)．

定理2設(shè)|G|=2p2q， 其中p

證反證法． 若群G不是CA-群， 則存在x∈G(G)， 有CG(x)不交換． 由x∈G(G)， 可知Z(G)〈x，Z(G)〉． 又根據(jù)CG(x)不交換， 可知Z(CG(x))CG(x)， 從而可以得到一個子群鏈， 即

{1}?Z(G)〈x，Z(G)〉?Z(CG(x))CG(x)G

(1)

當(dāng)|Z(G)|>1時， 由(1)式可知CG(x)/Z(CG(x))的階是一個素數(shù)， 則是循環(huán)群． 根據(jù)引理2知CG(x)交換， 矛盾．

當(dāng)|Z(G)|=1時， 〈x，Z(G)〉=〈x〉， 此時子群鏈變?yōu)?/p>

{1}〈x〉?Z(CG(x))CG(x)G

(2)

接下來考慮x的階． 當(dāng)x的階為合數(shù)時， 由(2)式可知CG(x)/Z(CG(x))的階是一個素數(shù)， 則它必為循環(huán)群， 故CG(x)交換， 矛盾． 當(dāng)x的階為素數(shù)時， 若〈x〉≠Z(CG(x))， 則CG(x)/Z(CG(x))的階是一個素數(shù)， 則為循環(huán)群， 故CG(x)交換， 矛盾． 因此只需考慮x的階為素數(shù)且〈x〉=Z(CG(x))， 即CG(x)/Z(CG(x))的階為兩個素因子的情況．

下面對|x|的值分情況討論．

情形1 |x|=2．

因為|x|||CG(x)|， 則|CG(x)|=2pq，2p2．

若|CG(x)|=2pq， 則有

|CG(x)/Z(CG(x))|=pq

又因p|/q-1， 則根據(jù)引理3可知CG(x)/Z(CG(x)) 為循環(huán)群， 又根據(jù)引理3知CG(x)交換， 矛盾．

若|CG(x)|=2p2， 則有CG(x)=HK， 其中H，K分別為CG(x)的Sylow 2-子群和Sylowp-子群． 又因為H≤Z(CG(x))， 則CG(x)=H×K， 故CG(x)交換， 矛盾．

情形2 |x|=p．

此時|CG(x)|=p2q，2pq，2p2．

若|CG(x)|=p2q， 則有

|CG(x)/Z(CG(x))|=pq

根據(jù)上面的討論可知CG(x)/Z(CG(x))為循環(huán)群， 故由引理2可知CG(x)交換， 矛盾．

若|CG(x)|=2pq， 由|x|=p可知〈x〉包含在某個Sylowp-子群內(nèi)， 記為P， |P|=p2， 因此CG(x)為交換群． 又因〈x〉?P， 則x與P中的元可交換， 則有P?CG(x)， 故|P|||CG(x)|， 即p2|2pq， 矛盾．

若|CG(x)|=2p2， 由定理1可知G有唯一Sylowq-子群， 記為Q，Q?_G， 則Q〈x〉為G的pq階子群， 由引理3知Q〈x〉為pq階循環(huán)群， 則Q中的元與x可交換， 故Q?CG(x)， |Q|||CG(x)|即q|2p2， 矛盾．

情形3 |x|=q．

此時|CG(x)|=p2q，2pq．

若|CG(x)|=p2q， 則有CG(x)=PQ， 其中P，Q分別為CG(x)的Sylowp-子群和Sylowq-子群． 又因為Q≤Z(CG(x))， 則CG(x)=P×Q， 故CG(x)交換， 矛盾．

若|CG(x)|=2pq， 根據(jù)上面的討論可知

〈x〉?〈y〉?CG(x)=〈y〉×|〈a〉

其中〈y〉為CG(x)的pq階正規(guī)子群， |a|=2． 考慮〈a〉在〈x〉和〈y〉上的共軛作用， 因為〈x〉=Z(CG(x))， 則xa=x． 如果ya=y， 則

CG(x)=〈y〉×〈a〉

則CG(x)交換， 矛盾． 如果ya=y-1， 又因為x=yp， 則

xa=(yp)a=(ya)p=(y-1)p=(yp)-1=x-1

與xa=x矛盾．

綜上所述， 群G是CA-群．

由定理2可得到如下群例：

例1因為3|/5-1， 所以， 若|G|=2·32·5=90， 則群G是CA-群．

下面例子說明定理2中的條件p|/q-1不可缺少．

例2構(gòu)造一個群

G=〈a，b，c，d|a2=1，b3=1，c3=1，d7=1， [a，b]=1， [a，d]=1， [b，c]=1， [c，d]=1，ca=c2，db=d2〉

從而

G?((C2×C3)|×C3)|×C7|G|=2·32·7=126

由定義關(guān)系可知d∈G(G)，a，c∈CG(d)． 而a，c不交換， 故CG(d)是非交換群， 則群G不是CA-群．