帶類p(x)-拉普拉斯算子的問(wèn)題在全空間上的多重解①

唐映， 儲(chǔ)昌木

貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院， 貴陽(yáng) 550025

考慮如下帶類p(x)-拉普拉斯算子的橢圓方程：

(1)

近年來(lái)， 包含p(x)-拉普拉斯算子的橢圓方程及變分方法的研究， 受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注(見文獻(xiàn)[1-14])． 涉及變指數(shù)的數(shù)學(xué)模型可用于描述彈性力學(xué)和電流變液等物理現(xiàn)象． 文獻(xiàn)[6]研究了如下橢圓方程的特征值問(wèn)題：

(2)

(AR) 存在M>0，θ>p+， 使得

0<θF(x，t)≤tf(x，t) |t|≥M，x∈Ω

當(dāng)f(x，u)滿足(AR)條件和一些附加條件時(shí)， 文獻(xiàn)[6]證明了： 任意的λ>0均為方程(2)的一個(gè)特征值．

最近， 文獻(xiàn)[15]在λ=1的情形下考慮了方程(2)解的存在性和多重性， 當(dāng)f(x，u)滿足超線性增長(zhǎng)條件但不滿足(AR)條件時(shí)， 利用山路引理獲得了方程(2)非平凡解的存在性． 然而， 當(dāng)Ω=RN時(shí)， 對(duì)該類橢圓方程的研究不多． 本文將研究f(x，u)滿足超線性增長(zhǎng)條件但不滿足(AR)條件(見文獻(xiàn)[16])時(shí)， 方程(1)非平凡解的存在性．

我們給出如下假設(shè)條件：

|F(x，t)|k(x)≤c0|t|k(x)p(x)F(x，t)

(F6)f(x， -t)=-f(x，t)對(duì)所有x∈RN和t∈R成立．

本文的主要結(jié)果如下：

定理1假設(shè)條件(V)，(H)和(F1)-(F6)成立， 則方程(1)有無(wú)窮多解．

記ζ(RN)是由所有可測(cè)實(shí)函數(shù)組成的集合． 變指數(shù)Lebesgue空間

對(duì)應(yīng)的范數(shù)為

變指數(shù)Sobolev空間

W1，p(·)(RN)={u∈Lp(·)(RN)： |u|∈p(x)(RN)}

對(duì)應(yīng)的范數(shù)為

‖u‖W1，p(·)(RN)=‖u‖Lp(·)(RN)+‖u‖Lp(·)(RN)

定義

其對(duì)應(yīng)的范數(shù)為

當(dāng)V滿足條件(V)時(shí)， 容易驗(yàn)證范數(shù)‖u‖X與‖u‖1，p(x)等價(jià)[16]．

命題1[2]對(duì)所有的u∈Lp(·)(RN)，v∈Lp′(·)(RN)， 有

(i)ρ(u)>1(=1； <1)?‖u‖X>1(=1； <1)；

定義泛函

則φ(u)∈C1(X，R)且

定義

則ψ(u)∈C1(X， R)， 且

類似文獻(xiàn)[6，16]的證明， 有如下命題成立：

(i) 若條件(V)成立， 則XLp(·)(RN)是緊嵌入；

定義1若對(duì)所有的v∈X， 有

則稱u∈X是方程(1)的弱解．

方程(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

眾所周知， 方程(1)的弱解與泛函I的臨界點(diǎn)等價(jià)．

引理1[17]設(shè)E是無(wú)限維Banach空間，E=Y?Z， 其中Y為有限維空間． 若對(duì)于任意c都有J∈C1(E， R)滿足(Ce)c條件，J(0)=0，J(-u)=J(u)， 且

(i) 存在常數(shù)ρ0，α>0， 使得J|?Bρ0∩Z≥α；

則J有一列臨界值趨于∞的序列．

令{ei}為X上的標(biāo)準(zhǔn)正交基， 且定義Ei=span{ei}． 記

則

E=span{ei：i∈N}=Yk?Zk

由引理2， 我們可以選擇一個(gè)正整數(shù)m≥1， 使得

(3)

設(shè)

E=XY=YmZ=Zm

則X=Y?Z．

引理3如果條件(V)，(H)，(F1)-(F5)成立， 則泛函I滿足(Ce)c條件．

證設(shè){un}是I在X中的(Ce)c序列， 即

(4)

若ω≠0， 設(shè)

Ω1={x∈RN：ω(x)≠0}

(5)

因此， 由(4)，(5)式及Fatou引理， 有

(6)

矛盾．

p(x)≤s(x)

當(dāng)n充分大時(shí)， 有

(7)

設(shè)

Ωn(a，b)={x∈RN：a≤|un(x)|

(8)

由(8)式可知

(9)

(10)

(11)

與(9)式矛盾．

因此

(12)

則

結(jié)合(12)式， 有

(13)

由文獻(xiàn)[1]可知存在著名的Simon不等式， 即對(duì)所有的ξ，η∈RN，C是只依賴p-，p+的常數(shù)，

Δ1={x∈RN：p(x)≥2}Δ2={x∈RN： 1

滿足

(14)

(15)

(16)

(17)

存在L>0， 有

(18)

引理4假設(shè)定理1中的條件都成立， 則存在常數(shù)ρ0，α>0， 使得I|?Bρ0∩Z≥α．

證由命題5可知存在常數(shù)C3>0， 使得

|u|Lq(x)(RN)≤C3‖u‖X

(19)

由條件(F2)，(F4)， 存在C1>0，C4>0， 有

|F(x，t)|≤C1|t|p++C4|t|q(x)?(x，t)∈(RN， R)

(20)

對(duì)于u∈Zm， 由(3)，(19)和(20)式可得

取‖u‖X=ρ0， 由p+

定理1的證明由引理3可知， 泛函I滿足(Ce)c條件． 由引理4和引理5可知， 泛函I滿足引理1的所有假設(shè)． 故定理1得證．