隨機波動格點方程的后向緊隨機吸引子①

張子怡， 李揚榮

西南大學 數學與統計學院， 重慶 400715

文獻[1-7]研究了吸引子的存在性以及吸引子的后向緊性并建立了相對完善的理論體系． 文獻[8-10]研究了二階格點方程的吸引子的存在性． 文獻[11]以及文獻[12]研究了帶有非線性噪音的弱吸引子的存在性． 本文將在文獻[11]的基礎上， 研究帶有乘法噪音的非自治隨機波動格點方程的后向緊吸引子的存在性．

1 非自治隨機動力系統的生成

(1)

(A1)

hi(0)=0，α1≤h′i(s)≤α2

fi(s)s≥η1Fi(s)≥η2|s|2p+2

(2)

|fi(s)|≤η3(|s|2p+1+|s|)

(3)

(4)

(5)

(Bu)i=ui+1-ui， (B*u)i=ui-1-ui， (Au)i=-ui+1+2ui-ui-1， ?u∈2

則有

(B*u，v)=(u，Bv)， (Au，v)=(Bu，Bv)， (Au，u)=(Bu，Bu)=‖Bu‖2≤4‖u‖2， ?u∈2

(6)

(7)

(8)

則方程(1)可轉化為一階隨機微分方程

(9)

Φ(t，τ，ω，φ0)=φ(t+τ，τ，θ-τω，φ0)

可以驗證Φ是一個非自治的隨機動力系統， 即滿足：

Φ(0，τ，ω， ·)=id，Φ(t+s，τ，ω， ·)=Φ(t，τ+s，θsω， ·)°Φ(s，τ，ω， ·)

在下文中， 設D是X中所有后向緩增集構成的集族． 集合D∈D當且僅當

(10)

2 解的估計

引理1若假設(A1)，(A2)，(A3)成立， 則對任意后向緩增集D∈D， 任意的τ∈R，ω∈Ω， 存在T=T(D，τ，ω)≥1， 使得當φs-t∈D(s-t，θ-tω)時， 有

(11)

其中

證方程(9)可以等價地寫為

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

又令

將(17)-(19)式代入(16)式可得

(20)

對(20)式利用Gronwall不等式， 計算可得

(21)

由(2)，(3)式易證f(0)=0， ‖f(u)‖≤maxs∈[-‖u‖， ‖u‖]|f′(s)|‖u‖， 則有

(22)

(23)

對(21)式關于s∈(-∞，τ]取上確界， 結合(10)式可知， 存在T(D，s，ω)≥1使得當t≥T時， 有

(24)

因此(11)式得證， 即

(25)

推論1若假設(A1)，(A2)，(A3)成立， 由引理1， 方程(9)生成的非自治隨機動力系統滿足文獻[3]， [13]中拉回后向一致吸收集存在的條件， 即協循環{Φ(t)}t≥0存在D-拉回后向一致吸收集K∈D， 其中

(26)

引理2若假設(A1)，(A2)，(A3)成立， 則對?ε>0， (τ，ω， D)∈(R×Ω×D)，φs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω， D)>0，k(ε，τ，ω， D)≥1， 使得

(27)

(28)

易證

則有

其中C1，C2為常數， 將(29)-(31)式代入(28)式可知，

(32)

對(32)式運用Gronwall引理可得

(33)

由于φs-t∈D(s-t，θ-tω)(s≤τ)， 結合(10)式可得

(34)

(35)

(36)

(37)

因此， 結合(23)式和(34)-(37)式可得， 對任意的ε>0， (τ，ω， D)∈(R×Ω×D)，φs-t∈D(s-t，θ-tω)， 存在T(ε，τ，ω， D)>0，k(ε，τ，ω， D)≥1， 使得

引理3若假設(A1)，(A2)，(A3)成立， 則協循環{Φ(t)}t≥0在吸收集K∈D上是后向漸近緊的．

(38)

由引理1，φk在E中有界， 從而{(φk，i)|i|≤Nε}k在R2Nε+1中有界， 故{(φk，i)|i|≤Nε}k在R2Nε+1中有一個有限的ε-網， 結合(38)式可知{φk}在E中有一個有限的2ε-網， 從而{φk}在E中是預緊的， 即證得協循環{Φ(t)}t≥0在吸收集K上是后向漸近緊的．

3 后向緊隨機吸引子

定義1一個非自治的隨機緊集A∈D稱為關于非自治協循環Φ的D-隨機吸引子， 若

(i) A是不變的， 即Φ(t，τ，ω)A(τ，ω)=A(t+τ，θtω)，t>0；

(ii) A在hausdorff半距離意義下是吸收的， 即對任意D∈D，

定義2集合A={A(τ，ω)}稱為后向緊的當A是緊的且∪s≤τA(s，ω)(τ∈R，ω∈Ω)是預緊的．

定理1若假設(A1)，(A2)，(A3)成立， 則方程(1)生成的動力系統存在后向緊隨機吸引子．

證由文獻[13](定理3.9)可知方程(9)生成的非自治隨機動力系統Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回吸引子A∈D和唯一的可測D0-拉回吸引子A0∈D0． 再由文獻[13](定理6.1)知A=A0， 故吸引子A也是隨機的， 即Φ(t)存在唯一的后向緊D-拉回隨機吸引子A∈D． 由文獻[6， 15]可知方程(1)與方程(9)生成的隨機動力系統共軛， 從而方程(1)存在后向緊隨機吸引子．