不確定剛度和邊界約束條件下的軸力識別

李東升， 陳琪舟， 魏 達， 郭 鑫， 姜 濤

(1.汕頭大學 土木與環境工程系, 廣東 汕頭 515063;2.汕頭大學 廣東省結構安全與監測工程技術研究中心, 廣東 汕頭 515063;3.大連理工大學 海岸及近海工程國家重點實驗室, 遼寧 大連 116024)

橋梁和大跨空間結構中，拉索或者吊桿作為重要的受力構件，其安全性能將決定整個結構的安全。例如，2011年4月12日5時30分，服役12年的新疆庫爾勒市孔雀河大橋由于主跨第二根吊桿斷裂，致使橋面垮塌；2019年10月1日9時許，中國臺灣宜蘭縣南方澳跨港大橋在一輛油罐車行駛過跨中后不久，多根吊桿斷裂，發生垮塌事故，油罐車隨橋掉落水中，事故共造成12人受傷、6人死亡。因此，索力或吊桿軸力的準確測量或者識別對于結構的安全至關重要[1]。目前以弦理論[2]和Bernoulli-Euler梁理論[3-5]為基礎的頻率法對長吊桿或者拉索的軸力識別精度尚可，但對于較短的吊索或者吊桿的識別精度則較差，誤差可達30%以上，嚴重影響真實受力狀態評估的準確性，對服役中的結構帶來較大安全隱患。

造成短吊桿或者短粗索軸力識別精度差的原因在于結構動力學中傳統的長細桿假定不再合理。相對較大的橫截面，在動力作用下有明顯的轉動慣量效應，同時由于制造誤差和銹蝕等因素的影響，通常認為的兩端鉸接也不再成立，而是處于固定和鉸支的中間狀態，在端部承受一定的彎矩，致使傳統假定的單純受拉或者受壓二力桿假定失效。

很多學者注意到這個問題，劉文峰[6]在索力測試中分析對比了考慮和不考慮索剛度影響、假設索為簡支邊界和固支、簡支耦合的情況，發現不考慮拉索彎曲剛度影響時，短粗索索力誤差明顯增大，當索長為8.21 m時，索力測試誤差達到5.6%。 秦杰等[7]總結大量索力研究成果，認為對于長徑比大于100，或直徑小于44 mm的拉索，軸力識別結果均不精確。事實上，建筑結構中有超過80%的索屬于短粗索[8]。對此，李素貞等[9]利用經典Euler梁理論[10]，提出了同時利用頻率和振型的軸力識別方法，該方法可以同時對邊界約束條件的待定參數和桿件軸力進行識別。袁永強等[11-12]通過對不同截面桿件的數值模擬及試驗研究，證實了該方法的適用性并進行了相應的改進。Chen等[13]對索的模態振型進行了參數化研究，系統地研究了雙曲分量在邊界附近的干涉效應，開發了對邊界約束更復雜軸力識別方法。

除了動力學方法外，目前也有利用靜力、電磁感應以及圖像處理等原理的軸力識別方法。張戌社等[14]通過桿件表面光纖光柵的受力變形，由應變的大小推算出桿件所受軸力的大小。該方法有安裝簡單，成本低的優點。波動法[15]通過波速及桿件曲線對距離和時間的導數得到桿件軸力和波速的關系。張海東等[16]通過小型電磁傳感器測試磁通量變化，根據索力、溫度與磁通量變化的關系推算索力。Yan等[17]應用數字圖像相關技術計算拉索的模態和頻率，進而計算索力。

由于靜力法或者磁通量法需要對待測目標進行提前標定或者需要在結構建成前進行儀器安裝，同時需要考慮環境因素變化對識別結果的復雜影響，因此其局限較大，且對既有結構并不適用[18]。而基于圖像處理的方法需要在天氣狀況以及光線條件較為適宜的情況下才能較為有效。因此實際工程中仍以簡單的頻率法為主要的索力測量方法。然而在應用頻率法識別吊桿軸力時需要事先給定其抗彎剛度值，而吊桿越短其抗彎剛度越難以準確計算。事實上，若吊桿內鋼絲間完全分離，其抗彎剛度最小，為各鋼絲抗彎剛度之和EImin；若鋼絲間完全黏結形成整體，其抗彎剛度最大，為按照實心桿件整體截面換算的抗彎剛度EImax。實際桿件的抗彎剛度值通常介于EImin與EImax之間。對此學者們做了大量研究，Geier等[19]認為實際抗彎剛度值是EImax的2/3；Mehrabi等[20]經過研究指出拉索抗彎剛度值應為EImax的60%～80%。Chen等[21-22]對不同規格鋼絞線(GalfanΦ38，Φ48)、半平行鋼絲束(19、37、109、163Φ5；37、55、61Φ7)和鋼絞線束(27、31、37Φ15.24)進行試驗，采用拉索兩端簡支方案，將拉索作為圓柱鋼梁試件在跨中施加集中荷載，通過位移計算抗彎剛度，發現Papailiou[23]的拉索彎曲理論可以有效地擬合Φ7半平行鋼絲束的有效剛度計算公式。蘇成等[24]通過分析崖門大橋斜拉索索力實測數據，研究了斜拉索抗彎剛度、支座條件、斜度等對索力識別的影響，結果表明橋索實際抗彎剛度應為鋼絲束完全黏結時抗彎剛度的0.37倍，但該結果只為經驗值，并不適用于所有橋索。謝曉峰[25]通過最小化索的自振頻率實測值與計算值之間的誤差來識別抗彎剛度，以鄭州黃河公鐵橋和廣東崖門大橋拉索為例進行抗彎剛度識別，所得拉索的抗彎剛度值為(0.3～0.4)EImax。Zhang等[26]經過理論推導得到了索的等效抗彎剛度表達式，表明等效抗彎剛度介于最小與最大抗彎剛度之間；除此之外還得出索的頻率受抗彎剛度的影響，且索長越短，影響越大的結論。孟少平等[27]通過兩階低階頻率的線性組合給出吊桿軸力的表達式，間接地回避了抗彎剛度和邊界條件的不確定性影響，通過馬鞍山采東橋76根吊桿的實測數據驗證了所提出的方法，但同時也指出短吊桿的軸力測量在實踐中仍然是個難題。由此可見，桿件抗彎剛度的不確定性對于桿件軸力識別精度影響較大。

本文在袁永強等和李東升等的研究基礎之上，通過對經典Tiomoshenko梁動力學方程進行進一步理論推導，發現在已知模態信息情況下，桿件軸力與抗彎剛度間存在近似的線性關系。提出了利用此線性關系同時識別桿件軸力和抗彎剛度的方法。對一簡支梁進行了數值模擬并開展了三種不同截面桿件在復雜邊界約束條件下的軸力試驗。模擬和試驗結果都反映出本文方法具有較高的軸力識別精度，驗證了此方法的有效性。

這種改進方法的優點在于可以不必事先給定原Tiomoshenko梁理論軸力識別方法中的理論桿件抗彎剛度值，而通過實際測量數據獲得真實的軸力和抗彎剛度。這樣，由于識別的抗彎剛度比理論設計值更接近于真實情況，使識別的軸力也更準確；另一方面，實際結構中很多拉索會在端部安裝減震阻尼器，或者端部連接部分存在銹蝕，使真實剛度值很難準確給定。因此，上述方法具有非常重要的實用價值。

1 理論推導

1.1 利用經典Timoshenko梁理論的軸力識別方法

為了下文推導方便，首先簡要介紹基于經典Timoshenko梁理論的軸力識別方法，然后在此基礎上推導桿件軸力和抗彎剛度的關系。

經典Timoshenko梁理論在考慮剪切變形、轉動慣量，軸力共同作用下的動力方程為

(1)

式中：w為t時刻桿件坐標為x時的橫向位移；T為桿件軸力，受拉時為正，受壓時為負；ρ為材料的密度；E，G分別為材料的彈性模量和剪切模量；A為截面面積；I為幾何慣性矩；Ky為截面剪切形狀系數，矩形截面時為2/3；圓形截面時為3/4；空心圓桿時為1/2；空心方管時為總截面積與腹板面積之比。

采用分離變量法求解式(1)，假定橫向位移方程為

w(x,t)=φ(x)sin(wt)

(2)

將式(2)代入式(1)可得

(3)

其中，

φ(x)=C1sin(px)+C2cos(px)+
C3sinh(qx)+C4cosh(qx)

(4)

其中，

式(4)即為Timoshenko梁在一定軸力下的振型表達式。在該式中有4個待定參數C1，C2，C3，C4尚需要4個獨立的等式方能確定。事實上，對于某一振型，可以通過沿梁5點(例如：x1,x2,x3,x4,x5)處的位移得到4個獨立的位移比值λij(i=2，…，5,j=1)如下

(5)

對式(5)變換后可得到關于4個待定參數C1，C2，C3，C4的聯立方程

(6)

式中，[S]的具體表達式如下

式(6)中，C1，C2，C3，C4作為邊界約束條件必有非零解，故方程組系數矩陣的行列式為0，即|S|=0，從而可以確定軸力T的數值。

1.2 桿件軸力和抗彎剛度的關系

1.1節中，軸力識別時需要構件的抗彎剛度EI為已知參數，而事實上如引言中所論述的，吊桿或者拉索由于受力或者制造工藝等原因其內部鋼絲的分離和粘接程度多有不同，致使其實際抗彎剛度與理論值有很大的出入，實際抗彎剛度一般為理論抗彎剛度EImax的 30%～70%。

因此，在軸力識別過程中如果給定的理論抗彎剛度值與實際抗彎剛度值偏差較大，則會造成識別軸力值偏離真實值。事實上，如第2章數值模擬軸力識別結果所示，如果給定抗彎剛度在理論抗彎剛度EImax的30%～70%變動，則軸力識別結果誤差將高達20%。因此希望通過式(3)將軸力T和抗彎剛度EI同時作為未知量進行識別，提高軸力識別的精度。

為此，對式(3)進行變換后可以得到

(7)

式中：將軸力T和抗彎剛度EI作為未知量，材料的密度ρ、截面面積A、截面剪切形狀系數Ky、截面幾何慣性矩I、材料泊松比μ以及模態信息(φ,ω)作為已知量，可以看出軸力T和抗彎剛度EI存在一定的線性關系。

關于式(7)的討論：

(2)分母中截面慣性矩I使式(7)中軸力與抗彎剛度EI在表現形式上不是單純的線性關系。然而，后續的研究發現，當截面慣性矩I取不同數值時，對最終軸力和抗彎剛度識別結果的影響有限。因此，該式并不會因為在實際工程中最初給定值是Imax，Imin或是I的最初設計值的不同而大幅增加軸力T和抗彎剛度EI。

(3)實際工程應用中，可以將式(7)看成軸力T和抗彎剛度EI是關于其振型等信息的近似一次函數。

因此根據式(7)，通過測量前幾階振型，可以構造多個抗彎剛度-軸力的線性關系。多個線性關系必然交于一點，該點即為該桿件在當前工作狀態下的實際軸力T和抗彎剛度EI。

通過這種方式，可以不必事先給定原Tiomoshenko梁理論軸力識別方法中的理論桿件抗彎剛度值，而是通過實際測量數據獲得真實的抗彎剛度和軸力。這樣，由于識別的抗彎剛度比理論設計值更接近于真實情況，使識別的軸力也更準確。

2 數值模擬

本章通過一個簡支梁的數值模擬實例驗證1.2節推導的理論式(7)。利用ANSYS軟件建立一個實心圓桿簡支梁模型，具體參數如下：簡支梁長600 mm，直徑14 mm，密度7 930 kg/m3，截面慣性矩1.886×10-9m4，彈性模量為1.93×1011N/m2，泊松比為0.3。實心圓桿的理論抗彎剛度為363.95 N·m2。

2.1 桿件軸力和抗彎剛度的關系

桿件動力測試模擬圖如圖1所示。圖1中：C1～C4為邊界約束條件未知參數；S1～S5為提取振型值的位置。模擬該圓形桿件在軸向拉力為20 kN時的橫向振動，通過模態分析提取該桿件的前三階振型和自振頻率，并提取梁上S1～S5共5個點的振型值。結果見表1。依據式(5)將其中一個振型值作為基準值，可以得到4個與基準振型值相比的比值。

表1 各階模態下不同位置位移值

依據文中1.2節所述方法在抗彎剛度300～440 N·m2區間中選取多個不同的抗彎剛度值，根據表1的數據和式(6)可以得到前三階模態下各階模態在預設不同抗彎剛度值時所對應的軸力。由表2可以看出，隨著抗彎剛度等量增加，軸力近似等量減少，且模態階數越高軸力減少的幅度越大。

表2 前三階模態軸力-抗彎剛度值

應用MATLAB對每階模態下的8組抗彎剛度-軸力值進行擬合，擬合方法為polynomial，可以得到各階模態下軸力與抗彎剛度的線性關系。通過圖像和擬合結果可以看出線性關系符合得很好。驗證了1.2節中的式(7)。

將3個線性關系圖像繪制在一起(見圖2)。圖2中：實線為一階模態下擬合結果；虛線為二階模態下擬合結果；點線為三階模態下擬合結果。3個線性關系圖像幾乎交于一點Q，任取其中兩階模態下的線性關系可以求解Q的坐標值，即可同時識別該桿件的軸力和抗彎剛度。

2.2 利用不同模態信息對桿件軸力和抗彎剛度的同時識別

下面取不同的模態組合進行軸力和抗彎剛度的同時識別。首先取一階、二階模態時的函數進行計算，所識別得到的軸力和抗彎剛度分別為20 103 N和363.50 N·m2，識別誤差分別0.52%和0.43%。若取一階、三階模態，則所識別得到的軸力和抗彎剛度分別為20 118 N和364.98 N· m2，識別誤差分別0.59%和0.28%。若取二階、三階模態，則所識別得到的軸力和抗彎剛度分別為20 195 N和364.66 N· m2，識別誤差分別0.97%和0.20%。可以看出，不論取哪兩階模態信息，所識別的軸力和抗彎剛度誤差都較小，均在1%以下，說明式(7)識別精度很高。

2.3 不同參數下的軸力和抗彎剛度識別結果比較

本節通過數值模擬，研究不同長度、不同軸力和不同截面慣性矩對軸力和抗彎剛度識別結果的影響。研究內容分為三種工況：①圓桿軸力和慣性矩為固定值，分別為20 kN和1.886×10-9m4，長度分別為1.2 m，2.4 m，3.6 m；②圓桿長度和慣性矩為固定值，分別為0.6 m和1.886×10-9m4，軸力分別為10 kN，15 kN，30 kN；③圓桿長度和軸力為固定值，分別為0.6 m，20 kN，慣性矩分別為1.600×10-9m4，1.800×10-9m4，2.000×10-9m4。

三種工況下，選取一階、二階模態識別軸力與抗彎剛度。通過模擬識別結果(見表3)可以看出：桿件長度越長，軸力和抗彎剛度識別精度越高。桿件承受軸力不同，初始慣性矩若不為理論慣性矩，會改變最終軸力識別結果，但變化很小。三種工況下，本文方法對軸力和抗彎剛度都有很好的識別精度，識別誤差均小于1%。

表3 不同工況下軸力和抗彎剛度識別

3 試驗驗證

3.1 試驗設計

選取三種不同截面桿件進行模態試驗，沿桿件均勻布置5個壓電加速度傳感器(靈敏度100 mV/g，質量為1.5 g)，見圖3。試驗時預設拉應力從0～30 kN逐級控制加載。動態激勵采用單點錘擊的方式，測試采樣頻率為2 500 Hz。數采和模態分析軟件采用的是LMS Test.Lab，模態分析方法為Polymax法。三種截面桿件參數如下：①實心圓桿，長為600 mm，直徑14 mm，密度 7 939 kg/m3，彈性模量1.500×1011N/m2；②空心圓桿，長度600 mm，直徑19 mm，壁厚4 mm，密度8 037 kg/m3；彈性模量1.795×1011N/m2；③空心方桿，長為600 mm，截面為40 mm×15 mm，壁厚1.5 mm，密度8 071 kg/m3；彈性模量1.455×1011N/m2；泊松比取0.3。

3.2 軸力及抗彎剛度的識別

3.2.1 抗彎剛度與軸力初值選擇

利用式(7)進行軸力識別時，需要預先設置抗彎剛度的選取范圍。同時，利用式(6) 計算每一個抗彎剛度對應的軸力是一個試算的過程，需要設置試算的軸力范圍，范圍越小識別效率越高。而實際邊界約束條件往往介于固支和鉸支之間，可以將鉸支、固支條件下的軸力和抗彎剛度作為預設的識別范圍，以提高計算效率和識別精度。

3.2.2 抗彎剛度與軸力初值選擇

以三種不同截面桿件在15 kN的軸向拉力下識別軸力和抗彎剛度為例。首先通過3.2.1節公式選取每個桿件的抗彎剛度和軸力的范圍值。其次在抗彎剛度范圍值中任取多個抗彎剛度，通過式(6)得到一階、二階模態下每個抗彎剛度對應的軸力(見表4)。通過表中選取范圍值可以看出，桿件試驗時邊界約束條件介于固鉸之間且十分接近于兩端固支。通過式(7)的關系分別得到前二階模態下兩個僅含有軸力和抗彎剛度的線性關系。最后通過求解兩個線性關系的交點識別三種不同截面桿件的真實軸力和抗彎剛度，識別結果見圖4。圖4中：實線為一階模態下軸力與抗彎剛度線性關系；虛線為二階模態下軸力與抗彎剛度線性關系；兩個線性關系交于一點，該點即為識別的軸力和抗彎剛度。

表4 前二階模態下不同截面桿件軸力-抗彎剛度值

3.2.3 不同軸力下不同截面桿件識別

本節對三種截面桿件分別在軸力10 kN，20 kN，30 kN的作用下進行軸力和抗彎剛度識別，識別結果見表5。可以看出實心圓桿整體軸力識別誤差小于4%，抗彎剛度識別誤差小于3%。空心圓桿整體軸力識別誤差小于2%，抗彎剛度識別誤差小于1%。空心方桿整體軸力識別誤差小于4%，抗彎剛度識別誤差小于2%。綜合分析，本文方法對三種截面桿件都有很好的識別精度。空心桿件整體識別精度略高于實心桿件，且空心圓桿在三種截面桿件中識別精度最高。該試驗結果驗證了本文提出的軸力和抗彎剛度識別方法在未知邊界約束條件下具有良好的適用性。

表5 不同軸力下不同截面桿件軸力和抗彎剛度識別

4 方法對比

第3章對桿件進行軸力識別時，三種桿件試驗時的邊界條件介于兩端鉸支和兩端固支之間，并且十分接近于兩端固支。為了研究本文方法的計算效果，對三種不同截面桿件在軸向拉力為15 kN時，分別用本文方法以及其余三種常用方法進行軸力識別，并對識別結果進行對比。具體方法為：

方法一頻率法。需要已知兩端固支邊界約束條件，桿件一階頻率，抗彎剛度。具體識別公式為

(8)

式中：f為桿件的一階頻率；m為桿件質量；l為桿件長度；T為桿件桿件軸力；EI為桿件抗彎剛度。

方法二能量法。需要已知兩端固支邊界約束條件，桿件一階、二階自振頻率。具體識別公式為

(9)

方法三改進動力法。需要已知桿件一階頻率，一階振型5個位置位移值，抗彎剛度。具體見式(6)。

方法四本文所述方法。需要已知桿件一階、二階頻率；一階、二階振型下每階振型5個位置位移值。具體為式(7)。

通過對比結果(見表6)可以看出，邊界約束條件的不確定使頻率法和能量法的軸力識別精度較低，而頻率法對于空心圓桿和空心方桿軸力識別不再適用。與頻率法與能量法相比，本文所述方法對三種不同截面桿件軸力識別都有很高的精度。與改進動力法相比，本文方法可以在未知抗彎剛度條件下進行軸力識別且精度不會降低。

表6 不同方法軸力識別對比結果

5 結 論

(1)本文利用經典Timoshenko梁理論的動力方程，通過理論推導發現桿件的軸力與剛度關于其模態信息存在線性關系。利用此線性關系提出了一種利用多階模態信息的桿件剛度和軸力識別方法。

(2)通過簡支梁的數值模擬和三種不同截面桿件在不同工況下的軸力試驗表明，本文提出的方法都有較高的識別精度，驗證了本文方法的有效性。

傳統的Euler梁未能考慮復雜邊界中的剪切效應和轉動慣量的動力影響，本文方法采用Timoshenko梁理論計及這些影響，能夠提高短吊桿或短索在未知抗彎剛度條件下的軸力識別精度，對于短吊桿/拉索等剪切效應影響較大的構件，具有較高的工程應用價值。