雙列圓錐滾子軸承滾道表面波紋度對(duì)軸承振動(dòng)特性的影響研究

呂潤(rùn)楠， 郝 旭， 于長(zhǎng)鑫， 矯文聰， 于澤洋

(瓦房店軸承集團(tuán)國(guó)家軸承工程技術(shù)研究中心有限公司，遼寧 瓦房店 116300)

雙列圓錐滾子軸承因其結(jié)構(gòu)緊湊、摩擦力矩小、承載能力強(qiáng)而被廣泛應(yīng)用于鐵路機(jī)車、汽車輪轂、機(jī)床主軸、飛機(jī)起落架等機(jī)械設(shè)備。滾動(dòng)軸承在生產(chǎn)加工過(guò)程中，由于機(jī)床精度、夾具定位誤差以及振動(dòng)等因素的影響，使得滾道表面不可避免的存在波紋度等形狀誤差[1]。而軸承表面波紋度是影響其振動(dòng)特性、噪聲、疲勞壽命的主要因素，研究帶有表面波紋度軸承系統(tǒng)的振動(dòng)特性具有重要的意義。

在考慮表面波紋度的軸承系統(tǒng)研究中，Aktürk等[2]將鋼球簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的非線性彈簧，研究了表面波紋度對(duì)球軸承振動(dòng)特性的影響。Yhland[3]通過(guò)試驗(yàn)得出了波紋度波數(shù)對(duì)軸承軸向和徑向振動(dòng)頻率的影響規(guī)律。Wardle等[4]研究了鋼球數(shù)目和波紋度波數(shù)對(duì)軸承振動(dòng)特性的影響。Harsha等[5]基于Lagrange方程研究了軸承-非平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng)規(guī)律，并指出滾動(dòng)體數(shù)目和波紋度波數(shù)是影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的兩個(gè)重要因素。鄧四二等[6]利用能量守恒定律，研究了角接觸球軸承零件工作表面的波紋度對(duì)軸承摩擦力矩波動(dòng)性的影響。杜秋華等[7]在考慮彈流潤(rùn)滑的基礎(chǔ)上建立了波紋度球軸承非線性振動(dòng)模型，分析表明波紋度會(huì)使球軸承剛度發(fā)生周期性變化；充分潤(rùn)滑時(shí)，油膜會(huì)使軸承剛度略微增加。侯磊等[8]針對(duì)雙轉(zhuǎn)子-中介軸承系統(tǒng)建立了考慮中介軸承波紋度雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，并討論了波紋度幅值、波數(shù)等對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。邵建敏等[9]應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解了二自由度球軸承振動(dòng)方程，分析了表面波紋度球軸承的振動(dòng)特性，結(jié)果表明只有特定的波紋度波數(shù)才能引起系統(tǒng)特定頻率的振動(dòng)；滾動(dòng)體波紋度較滾道波紋度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)影響大。劉靜等[10]以三自由度圓錐滾子軸承為研究對(duì)象，考慮潤(rùn)滑油膜影響，提出時(shí)變激勵(lì)的擋邊波紋度動(dòng)力學(xué)模型，研究了波紋度對(duì)軸承振動(dòng)響應(yīng)特征的影響規(guī)律，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證模型的有效性。顧曉輝等[11]利用分岔圖、功率譜圖和龐加萊截面圖研究了軸承表面波紋度幅值和轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)的非線性振動(dòng)的影響，并將關(guān)聯(lián)維數(shù)應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障診斷。張耀強(qiáng)等[12]對(duì)考慮軸承滾道表面波紋度的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)進(jìn)行了相關(guān)分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)外圈波紋度波數(shù)與滾動(dòng)體數(shù)目相等時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈振動(dòng)；內(nèi)圈波紋度引起振動(dòng)的峰值頻率與波數(shù)有關(guān)。仿真分析方面，劉國(guó)云等[13]將滾子等效為力元，利用SIMPACK動(dòng)力學(xué)軟件建立了波紋度軸承動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型，并研究了波紋度幅值和波數(shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響。

現(xiàn)有的滾動(dòng)軸承表面波紋度分析模型，多是基于Lagrange方程，提出不同自由度波紋度軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，并用Runge-Kutta數(shù)值算法對(duì)方程進(jìn)行求解。然而該方法是將滾動(dòng)體等效為彈簧，忽略了滾動(dòng)體的質(zhì)量，而軸承在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中滾動(dòng)體和套圈、保持架的接觸碰撞十分復(fù)雜，從而難以準(zhǔn)確模擬軸承實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。

本文在考慮彈流潤(rùn)滑以及時(shí)變接觸剛度的基礎(chǔ)上，應(yīng)用ADAMS建立了雙列圓錐滾子軸承波紋度動(dòng)力學(xué)模型，分析了波紋度狀態(tài)下雙列圓錐滾子軸承的徑向振動(dòng)位移頻譜和峰峰均值曲線，研究了波紋度波數(shù)和幅值對(duì)軸承振動(dòng)的影響規(guī)律，為軸承的設(shè)計(jì)與制造提供了指導(dǎo)意義。

1 波紋度軸承建模

當(dāng)滾動(dòng)軸承表面存在波紋度時(shí)，滾動(dòng)軸承表面由光滑曲面變?yōu)椴y曲面。假定軸承波紋曲面為正弦波形，在圖1所示的波紋度示意圖中，波紋度A可以表示為

A=Ansin(Nwθnj+β),j=1,2,…,Z

(1)

式中：n=i，o分別為內(nèi)、外套圈的角標(biāo)，下同；An為波紋度幅值；Nw為波紋度階次，即波數(shù)；θnj為第j個(gè)滾動(dòng)體與滾道接觸點(diǎn)的角位置；β為初始相位角。若軸承外圈固定，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，則有

(2)

式中：Z為滾動(dòng)體數(shù)目；ωc和ωi分別為保持架和內(nèi)圈角速度，且有

(3)

式中，Ri和Ro分別為內(nèi)、外套圈滾道半徑。

本文采用的雙列圓錐滾子軸承型號(hào)為353132B，主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。為能準(zhǔn)確描述軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中滾子和套圈滾道及擋邊不同的接觸狀態(tài)，在建模時(shí)將波紋度內(nèi)圈滾道和大擋邊分別建模，裝配后的模型如圖2所示。

2 動(dòng)力學(xué)模型建立

軸承內(nèi)、外套圈和滾子材料均為GCr15軸承鋼，保持架材料為玻璃纖維材料，材料參數(shù)如表2所示。計(jì)算所用的潤(rùn)滑油主要參數(shù)如表3所示。

表2 材料參數(shù)Tab.2 Material parameters

表3 潤(rùn)滑油主要參數(shù)Tab.3 Main parameters of lubricating oil

2.1 impact函數(shù)

滾子和內(nèi)外圈、保持架之間采用沖擊函數(shù)法即impact函數(shù)來(lái)計(jì)算接觸碰撞力，impact函數(shù)的一般表達(dá)式為

(4)

式中：x為兩碰撞物體的實(shí)際距離；x1為觸發(fā)距離； dx/dt為兩物體間距離隨時(shí)間的變化率，即速度；Kζ為接觸剛度系數(shù)；e為彈性力指數(shù)，點(diǎn)接觸取1.5，線接觸取10/9；Cmax為阻尼系數(shù)最大值，取10 N·s/mm；d為切入深度，取0.1 mm。

2.2 接觸剛度系數(shù)計(jì)算

工程應(yīng)用中常用的Palmgren線接觸彈性變形公式與彈性體曲率半徑無(wú)關(guān)，從而無(wú)法描述滾道表面波紋度對(duì)接觸面曲率的影響。丁長(zhǎng)安等[14]基于一般彈性體接觸理論，給出了線接觸彈性變形δ的計(jì)算方法，即

(5)

式中：E為等效彈性模量，由兩接觸物體材料的泊松比和彈性模量共同決定；l為線接觸有效長(zhǎng)度；Q為接觸載荷；Σρ為曲率和函數(shù)，曲率面的選取和曲率和函數(shù)的表達(dá)式仍參照丁長(zhǎng)安等的研究。當(dāng)套圈滾道表面存在波紋度時(shí)，Σρ不再為定值，此時(shí)求解上式即可得到滾子和波紋度套圈滾道間的接觸剛度系數(shù)Kn。根據(jù)文獻(xiàn)[15]中給出的計(jì)算方法，滾子大端面和大擋邊間的點(diǎn)接觸剛度系數(shù)可由式(6)給出

(6)

式中：k為橢圓曲率；Γ和Σ分別為第一類和第二類全橢圓積分。

Dowson等[16]提出的等溫條件下彈流潤(rùn)滑接觸最小油膜厚度hmin的計(jì)算公式為

(7)

式中：U=η0u；ε為黏度的壓力指數(shù)；η0為常壓下動(dòng)力黏度；u為接觸表面平均速度；R為當(dāng)量曲率半徑；q為單位接觸長(zhǎng)度上的負(fù)荷。

進(jìn)一步，油膜剛度系數(shù)Kφ可表達(dá)為

(8)

綜合上述推導(dǎo)，彈流潤(rùn)滑條件下滾子與擋邊間的等效接觸剛度系數(shù)Kdψ、滾子與波紋度套圈滾道間的等效接觸剛度系數(shù)Knψ的表達(dá)式為

(9)

受套圈滾道表面波紋度的影響，滾子和滾道接觸表面的曲率不再為定值，油膜剛度系數(shù)Kφ、線接觸剛度系數(shù)Kn和等效接觸剛度系數(shù)Knψ均是時(shí)變的。為能準(zhǔn)確描述滾子和波紋度套圈滾道間的接觸剛度系數(shù)，采用ADAMS提供的位置函數(shù)[17-18]來(lái)定義時(shí)刻變化的等效接觸剛度系數(shù)Knψ，并將其值賦給impact函數(shù)中的接觸剛度系數(shù)Kζ。

2.3 邊界條件

為模擬軸承運(yùn)行過(guò)程中內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)、外圈“固定”的實(shí)際工況，將內(nèi)圈滾道與擋邊間添加固定副，將內(nèi)圈與大地間添加轉(zhuǎn)動(dòng)副。為“固定”外圈，但不至于使其失去振動(dòng)，將外圈與大地間添加扭簧，設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)分別為為1×1010N·mm·deg-1和1×108N·mm·s·deg-1，轉(zhuǎn)速通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副內(nèi)置函數(shù)[19]添加。

軸承載荷邊界為：徑向力100 kN，軸向力50 kN，內(nèi)圈和隔圈轉(zhuǎn)速900 r/min，重力方向豎直向下。設(shè)定仿真時(shí)間1 s，初始積分步長(zhǎng)0.001。

3 模型驗(yàn)證

當(dāng)軸承內(nèi)外圈轉(zhuǎn)速一定時(shí)，保持架理論轉(zhuǎn)速為

(10)

式中：nc和ni和分別為保持架和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速；no為外圈轉(zhuǎn)速；Dpw為滾子節(jié)圓組直徑；α為接觸角； 計(jì)算得nc=390 r/min。

仿真環(huán)境下得到的無(wú)波紋度軸承保持架轉(zhuǎn)速，如圖3所示。由圖3可知，仿真環(huán)境下保持架轉(zhuǎn)速RMS值為2 341.85 deg/s，即390.31 r/min，與理論轉(zhuǎn)速誤差僅為0.08%。該誤差處于合理范圍，同時(shí)也驗(yàn)證了本研究在動(dòng)力學(xué)方面的合理性。

4 結(jié)果分析

由軸承幾何參數(shù)和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速計(jì)算可得：圓錐滾子軸承軸轉(zhuǎn)頻fs為15 Hz，保持架轉(zhuǎn)頻fc為6.5 Hz，單個(gè)滾動(dòng)體在內(nèi)圈滾道的通過(guò)頻率fi為8.5 Hz。

4.1 內(nèi)圈波紋度對(duì)軸承振動(dòng)的影響

為研究?jī)?nèi)圈波紋度波數(shù)對(duì)軸承振動(dòng)的影響，設(shè)定內(nèi)圈波紋度幅值A(chǔ)i為4 μm，初始相位角β為0，內(nèi)圈波紋度波數(shù)Nw分別為18、20、21、22、23、34、32、40、42、43、44、45，不同內(nèi)圈波紋度波數(shù)下圓錐滾子軸承徑向振動(dòng)位移頻譜，如圖4所示。由圖4可知，在選取的九種波數(shù)下，軸承徑向振動(dòng)位移響應(yīng)的頻譜中均出現(xiàn)Zfc及其倍頻，這與滾子通過(guò)外滾道頻率的理論值接近；當(dāng)Nw=λZ時(shí)，軸承徑向振動(dòng)位移響應(yīng)的頻譜圖出現(xiàn)pZfi(λ,p均為正整數(shù))及其倍頻成分；當(dāng)Nw≠λZ時(shí)，軸承徑向振動(dòng)位移響應(yīng)的頻譜圖出現(xiàn)pZfi±qfs(q為正整數(shù))及其倍頻成分。此外，當(dāng)Nw=λZ時(shí)，軸承徑向振動(dòng)位移響應(yīng)的頻譜圖在頻率λZfi處取得峰值，此時(shí)軸承振動(dòng)水平較高。表4給出不同內(nèi)圈波紋度波數(shù)時(shí)，軸承徑向振動(dòng)位移響應(yīng)的頻譜圖峰值處對(duì)應(yīng)的頻率。結(jié)合表4和圖4可得：若波數(shù)Nw和滾子個(gè)數(shù)Z滿足關(guān)系Nw=κZ+τ(κ為非負(fù)整數(shù)，τ為整數(shù)，且-11≤τ<11)，則振動(dòng)位移頻譜圖峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率ff可由式(11)給出

表4 不同內(nèi)圈波數(shù)下的峰值頻率Tab.4 Frequencies of peak values with inner race of various wave numbers

(11)

當(dāng)滾動(dòng)體每次通過(guò)內(nèi)圈波紋度波峰時(shí)，系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生一次振動(dòng)，這即為波通過(guò)振動(dòng)WPV(wave passage vibration)，波通過(guò)振動(dòng)頻率fwpv可表達(dá)為

fwpv=Z(fs-fc)

(12)

于是，式(11)可改寫為

(13)

式(13)所示位移頻譜圖峰值點(diǎn)頻率和波數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系與張耀強(qiáng)等給出的內(nèi)圈波紋度軸承振動(dòng)規(guī)律基本一致，即當(dāng)內(nèi)圈波紋度波數(shù)接近滾動(dòng)體個(gè)數(shù)或其整數(shù)倍時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生特定的峰值頻率。

4.2 外圈波紋度對(duì)軸承振動(dòng)的影響

為研究外圈波紋度波數(shù)對(duì)軸承振動(dòng)的影響，設(shè)定外圈波紋度幅值A(chǔ)o為4 μm，初始相位角β為0，外圈波紋度波數(shù)Nw分別為18、21、22、23、34、32、43、44、45，不同外圈波紋度波數(shù)下圓錐滾子軸承徑向振動(dòng)位移頻譜，如圖5所示。由圖5可知，當(dāng)外圈滾道表面存在波紋度時(shí)，軸承振動(dòng)位移頻譜的基頻及倍頻成分和峰值點(diǎn)頻率主要為Zfc及其倍頻，該振動(dòng)規(guī)律與劉國(guó)云等的研究基本一致；當(dāng)外圈波紋度波數(shù)為滾子數(shù)目整數(shù)倍時(shí)，軸承徑向振動(dòng)位移響應(yīng)的頻譜取得峰值。

4.3 波紋度幅值對(duì)軸承振動(dòng)影響

為研究滾道波紋度幅值對(duì)圓錐滾子軸承振動(dòng)的影響，設(shè)定圓錐滾子軸承滾道波紋度波數(shù)Nw為22，套圈波紋度幅值A(chǔ)n分別為2 μm，4 μm，6 μm，8 μm，10 μm，不同套圈波紋度幅值下軸承徑向振動(dòng)位移的峰峰均值如圖6所示(峰峰均值：等間隔步長(zhǎng)峰峰值的平均值)。由圖6可知，當(dāng)圓錐滾子軸承表面波紋度波數(shù)一定時(shí)，軸承在徑向方向振動(dòng)位移響應(yīng)的峰峰均值隨波紋度幅值的增大而增大，軸承振動(dòng)越來(lái)越劇烈；相比于內(nèi)圈波紋度，外圈波紋度對(duì)軸承振動(dòng)影響較大。因此，在生產(chǎn)實(shí)際中，應(yīng)合理控制套圈滾道波紋度波數(shù)并降低滾道波紋度幅值以減弱軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的振動(dòng)與噪聲水平。

5 結(jié) 論

本文在考慮彈流潤(rùn)滑理論以及時(shí)變接觸剛度的基礎(chǔ)上，提出一種利用位置函數(shù)代替時(shí)變剛度系數(shù)的計(jì)算方法，建立了雙列圓錐滾子軸承滾道波紋度動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型。通過(guò)分析軸承徑向振動(dòng)位移響應(yīng)的頻譜圖和峰峰均值曲線可得如下結(jié)論：

(1) 滾道波紋度波數(shù)與滾子個(gè)數(shù)相等或是其整數(shù)倍時(shí)，振動(dòng)位移頻譜取得峰值，此時(shí)軸承發(fā)生強(qiáng)烈振動(dòng)。

(2) 當(dāng)內(nèi)圈滾道存在波紋度時(shí)，振動(dòng)位移頻譜出現(xiàn)Zfc及其倍頻、單個(gè)滾子通過(guò)內(nèi)滾道頻率和軸轉(zhuǎn)頻的組合頻率成分(pZfi±qfs)，且峰值點(diǎn)頻率與波紋度波數(shù)有關(guān)。當(dāng)外圈滾道存在波紋度時(shí)，振動(dòng)頻譜峰值點(diǎn)頻率為Zfc及其倍頻。

(3)振動(dòng)位移的峰峰均值隨套圈滾道波紋度幅值的增大而增大；波紋度幅值一定時(shí)，外圈滾道波紋度對(duì)軸承振動(dòng)影響較大。因此，為提高軸承工作性能并減小軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的振動(dòng)與噪聲，在生產(chǎn)加工時(shí)應(yīng)合理控制滾道波紋度波數(shù)并降低滾道波紋度幅值。