時(shí)滯位置反饋對一類梳齒型微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的控制

尚慧琳， 蔣慧敏， 秦 波

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418)

微陀螺以其尺寸小、精度高等特點(diǎn)，越來越受到人們的關(guān)注，在汽車導(dǎo)航、移動(dòng)應(yīng)用以及航空航天等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1-2]。在應(yīng)用的過程中，發(fā)現(xiàn)其非線性因素的對微陀螺的靈敏度、穩(wěn)定性造成極大的影響，為此，微陀螺的非線性動(dòng)力學(xué)問題引起了國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注[3]。張琪昌等[4]探究了雙極板微諧振器振動(dòng)特性與環(huán)境壓力以及立方非線性靜電剛度的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)三次非線性靜電剛度會使微機(jī)械諧振器表現(xiàn)出或軟或硬的非線性特性。Zegadlo等[5]探究了具有線性增益和非線性吸收的兩個(gè)耦合環(huán)形諧振器系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為。高嶸等[6]考慮微諧振器空氣阻尼力的非線性因素，得到非線性阻尼力的平板振幅非常接近試驗(yàn)值，驗(yàn)證了非線性阻尼力的存在。Mojahedi等[7]數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)非線性參數(shù)對微機(jī)械陀螺系統(tǒng)吸合不穩(wěn)定和偏轉(zhuǎn)的影響。郝燕玲等[8]研究了多自由度微陀螺的結(jié)構(gòu)參數(shù)對其性能的影響，為多自由度陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取指明了方向。Zhang等[9-10]用數(shù)值模擬研究了驅(qū)動(dòng)電壓和檢測電壓對微陀螺周期運(yùn)動(dòng)及其分岔的影響，并考慮了系統(tǒng)的吸合效應(yīng)，結(jié)果表明，在適當(dāng)?shù)臋z測電壓范圍內(nèi)，系統(tǒng)可能具有最大的機(jī)械靈敏度和最小的非線性。尚慧琳等[11]利用分岔理論和數(shù)值模擬揭示系統(tǒng)參數(shù)對一類切向梳齒驅(qū)動(dòng)微陀螺驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)振幅影響，結(jié)果表明，激勵(lì)頻率的變化容易引起微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)解和概周期等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。

為了保障微器件的正常工作，應(yīng)對其振動(dòng)跳躍、吸合不穩(wěn)定和混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為實(shí)施有效控制。對于微機(jī)電系統(tǒng)來說，在其微小結(jié)構(gòu)上直接施加主動(dòng)控制對本身結(jié)構(gòu)易產(chǎn)生極大影響，是不太可行的。因此，大多數(shù)的控制都是在驅(qū)動(dòng)電路上施加。Li等[12]通過在振動(dòng)式微回轉(zhuǎn)儀的矩形束流四個(gè)表面上增加壓電薄膜，提高壓電交流在穩(wěn)定區(qū)域幅值，使振動(dòng)微梁陀螺儀具有較好的靈敏度。郝淑英等[13]運(yùn)用多尺度法和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合方法對微梁幾何非線性設(shè)計(jì)和調(diào)控驅(qū)動(dòng)剛度非線性導(dǎo)致的硬化特性來平衡靜電力帶來的軟化特性，避免了系統(tǒng)頻率失穩(wěn)和振幅跳躍現(xiàn)象。李偉雄[14]探究時(shí)滯速度、位移反饋控制對含剛度非線性的雙驅(qū)動(dòng)雙檢測四自由度微陀螺動(dòng)態(tài)性能的控制作用。李欣業(yè)等[15]提出對敏感質(zhì)量施加時(shí)滯反饋來抑制一類簡諧激勵(lì)兩自由度微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象多數(shù)控制方法。Luo等[16]研究了微機(jī)電系統(tǒng)(micro electro mechanical systems, MEMS)微諧振器的混沌力學(xué)，提出一種自適應(yīng)控制方法抑制系統(tǒng)在主諧振頻率附近混沌振蕩。Zhang等[17]運(yùn)用數(shù)值模擬靜電驅(qū)動(dòng)MEMS諧振器在隨機(jī)擾動(dòng)下的非線性動(dòng)態(tài)和混沌行為，通過Melnikov函數(shù)分析，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)噪聲會影響系統(tǒng)非線性特性，增加噪聲強(qiáng)度會擴(kuò)大系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的區(qū)域。Li等[18]運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性和自適應(yīng)控制技術(shù)，得到了具有不確定性和擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)化同步的充分條件，通過理論分析和數(shù)值仿真提出的網(wǎng)絡(luò)同步策略能在不影響同步性能的前提下有效地減少網(wǎng)絡(luò)帶寬負(fù)擔(dān)。Masri等[19]研究一種延遲反饋速度控制器，采用非線性單自由度模型對諧振器響應(yīng)進(jìn)行模擬，繪制時(shí)滯反饋控制下諧振器振動(dòng)系統(tǒng)安全域，與比較安全域侵蝕程度來直觀地描述電容型微諧振器吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象。這些研究原具有描述微結(jié)構(gòu)吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，但對其發(fā)生控制機(jī)制相關(guān)研究報(bào)道極少，仍有待進(jìn)一步開展。

因此，本文以一類典型的梳齒型微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)為研究對象，針對其非線性因素導(dǎo)致的振動(dòng)跳躍、吸合不穩(wěn)定等機(jī)理提出時(shí)滯位置反饋控制。結(jié)構(gòu)如下：首先，對微陀螺系統(tǒng)進(jìn)行無擾動(dòng)分析；進(jìn)而，利用多尺度研究系統(tǒng)振動(dòng)跳躍現(xiàn)象及機(jī)制；最后，對微陀螺系統(tǒng)施加時(shí)滯位置反饋控制，研究吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象及其控制，并給出結(jié)論與分析。

1 動(dòng)力學(xué)建模

(1)

(2)

式中：n為梳齒數(shù)；l為驅(qū)動(dòng)梳齒重疊長度；a為驅(qū)動(dòng)梳齒厚度；sd為驅(qū)動(dòng)梳齒間隙；η為介電常數(shù)。驅(qū)動(dòng)方向右側(cè)和左側(cè)電壓分別為

Ud1=Ud0+Udacos(ωt),Ud2=Ud0-Udacos(ωt)

(3)

式中：Ud0為驅(qū)動(dòng)直流電壓；Uda為驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值。驅(qū)動(dòng)方向的靜電力為[20]

(4)

式中：ω為激勵(lì)頻率；Ex與驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值和驅(qū)動(dòng)直流電壓成正比，即為驅(qū)動(dòng)電壓相關(guān)參數(shù)。同理，檢測方向兩個(gè)電容表達(dá)式為

(5)

式中：ll和lw分別為檢測電極的長度和寬度；ss為檢測電極間隙；Us為檢測電壓。則檢測方向的靜電力可表示為

(6)

則式(6)中參數(shù)Ey隨檢測電壓Us單調(diào)遞增。在圖2中，設(shè)ad和as分別為驅(qū)動(dòng)方向和檢測方向加速度，則其滿足

(7)

(8)

式中：驅(qū)動(dòng)電壓相關(guān)系數(shù)EX為驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值Uda的正比例函數(shù)；檢測電壓相關(guān)系數(shù)EY為檢測電壓的單調(diào)函數(shù)。則無量綱系統(tǒng)為

(9)

2 振動(dòng)跳躍現(xiàn)象及機(jī)理

本章主要討論系統(tǒng)的周期振動(dòng)，若系統(tǒng)在固定參數(shù)下存在多穩(wěn)態(tài)解，則即便單個(gè)周期解穩(wěn)定，改變初始條件，系統(tǒng)仍會收斂到不同的周期吸引子，特別是初始條件的微小改變即引起系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的定性改變，即振動(dòng)跳躍。

首先，運(yùn)用多尺度方法對式(9)進(jìn)行分析，求解系統(tǒng)周期響應(yīng)以及穩(wěn)定性判斷，得出系統(tǒng)最終的幅頻響應(yīng)分岔方程，通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)研究幅頻曲線圖的特征。引入小參數(shù)變量ε對系統(tǒng)進(jìn)行重新標(biāo)度，在主共振和1∶1內(nèi)共振情況，σ1和σ為驅(qū)動(dòng)方向的調(diào)諧參數(shù)，0<ε?1。具體如下

(10)

將式(9)中常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行平移代換，(Xc,Yc)為非零平衡點(diǎn)，則可設(shè)

(11)

即滿足

(12)

式中，F(xiàn)Y為高階非線性項(xiàng)，且|y|?1，將FY泰勒展開，保留Y的三次方，可得

FY=Y+2Y3

(13)

另外，將系統(tǒng)中檢測電壓相關(guān)參數(shù)EY進(jìn)行重新標(biāo)度，設(shè)

(14)

將式(10)～式(14)代入式(9)中，得到

(15)

在此基礎(chǔ)上，設(shè)方程的解形式為

(16)

式中：T0=T；Ti=εTi,(i=0,1,2,…)。采用多尺度法對系統(tǒng)進(jìn)行攝動(dòng)，為使驅(qū)動(dòng)和檢測模態(tài)位移解不出現(xiàn)久期項(xiàng)，通過對比ε0和ε1系數(shù)，得到

X0=A1(T1,T2)eiT0+CC,Y0=B1(T1,T2)eiT0+CC

(17)

其中，

(18)

得到平均方程

(19)

將式(19)代入原系統(tǒng)參數(shù)還原可得到微陀螺系統(tǒng)關(guān)于振幅a1，b1的分岔方程

(20)

由式(18)和式(20)確定式(15)的近似周期解。根據(jù)式(19)，系統(tǒng)周期解所對應(yīng)特征方程為

(21)

由于系統(tǒng)Hopf分岔的臨界條件為式(21)有純虛根，即

g1-g2(ξX+ξY)=0

(22)

其中，

(23)

以下通過分岔方程式(20)來繪制微機(jī)械陀螺幅頻特性響應(yīng)。其中，系統(tǒng)參數(shù)取值如下

G=0.01,Ad=0.4,As=0,ξX=ξY=0.015,

(24)

激勵(lì)幅值對驅(qū)動(dòng)方向系統(tǒng)振幅的影響，如圖3所示。由圖3可知，系統(tǒng)在共振點(diǎn)附近響應(yīng)幅值較大，相對應(yīng)的輸出信號會比較明顯，有利于檢測；然而，當(dāng)電壓頻率大于固有頻率且偏高時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)多個(gè)解支，對應(yīng)圖中兩條縱向虛線之間的三條解支：明顯地，有雙穩(wěn)態(tài)周期振動(dòng)共存；特別地，激勵(lì)頻率從1.025增大到1.03系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為對初始條件更敏感，如圖4和圖5所示。在圖4中，當(dāng)Ω=1.025時(shí)，存在雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，如實(shí)虛兩種線型對應(yīng)的振動(dòng)解所示，其吸引域的投影如圖5(a)和圖5(b)所示。由于[X(0),X′(0),Y(0),Y′(0)]=(0,0,0,0)這個(gè)初始狀態(tài)更受關(guān)注，為直觀描述：當(dāng)繪制檢測方向吸引域時(shí)，假定驅(qū)動(dòng)方向X(0)=X′(0)=0；當(dāng)繪制驅(qū)動(dòng)方向吸引域時(shí)，假定檢測方向Y(0)=Y′(0)=0。因此，得到圖5在其領(lǐng)域內(nèi)吸引域的投影。在圖5中，不同穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)對應(yīng)的吸引域以黑色或灰色標(biāo)出，系統(tǒng)存在兩種穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，其中振動(dòng)幅值小的穩(wěn)態(tài)吸引域?qū)?yīng)淺灰色，振幅大的穩(wěn)態(tài)吸引域?qū)?yīng)深灰色，并以“+”標(biāo)出相對零平衡點(diǎn)位置。由圖5(a)、圖5(b)可知，零狀態(tài)時(shí)對應(yīng)大振幅周期振動(dòng)，但當(dāng)Ω增大到1.03，如圖5(c)和圖5(d)所示，對應(yīng)的是小振幅落到了淺灰區(qū)域，同時(shí)，由圖5可知，零初始條件附近，初始條件的微小擾動(dòng)極易造成振動(dòng)跳躍。不僅如此，當(dāng)Ω=1.03時(shí)，檢測方向的吸引域出現(xiàn)分形邊界，而在邊界之外對應(yīng)的白色區(qū)域則表示吸合區(qū)域，即檢測方向極板吸合，說明系統(tǒng)容易發(fā)生吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，其行為和機(jī)制將在第3章討論。

3 吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象分析

由于吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象屬于全局分岔行為，而對于同異宿分岔大多是運(yùn)用Melnikov方法[21]分析其必要條件。因此，以下將討論全局分岔機(jī)理。

3.1 無擾動(dòng)分析

系統(tǒng)參數(shù)取值見式(24)，代入式(12)得Yc=0，將式(10)～式(12)代入式(9)中，得

(25)

將式(25)整理成含有擾動(dòng)項(xiàng)的規(guī)范型，得

(26)

(27)

滿足哈密頓系統(tǒng)，其哈密頓量函數(shù)為

(28)

在圖6(a)中，只有繞O點(diǎn)的極限環(huán)，令

(29)

式中，Qc為常數(shù),則

(30)

(31)

因此，有

(32)

從而解得對應(yīng)邊界上Qc，如圖6(a)中加粗曲線所示。在該異宿軌道內(nèi)部，圍繞原點(diǎn)中心，軌線閉合有界；封閉異宿軌道外，軌線溢出，即容易發(fā)生過度振動(dòng)，對應(yīng)微結(jié)構(gòu)靜態(tài)吸合。

考慮到異宿軌道，有

(33)

φ(-∞)=0,φ(0)=φ0,φ(+∞)=π

(34)

小擾動(dòng)下異宿軌道精確解析解可設(shè)為三角函數(shù)表示，根據(jù)圖6，對異宿軌道可以設(shè)為

(35)

并結(jié)合式(32)得到

(36)

(37)

根據(jù)式(34)和式(36)，異宿軌道可解析表達(dá)為

(38)

且根據(jù)式(33)得

(39)

3.2 異宿分岔?xiàng)l件

將異宿軌道及時(shí)間T關(guān)于φ的表達(dá)式代入Melnikov函數(shù)，并還原為式(9)，得到Melnikov函數(shù)為

(40)

(41)

明顯有I1>0。引起原系統(tǒng)異宿分岔的必要條件是Melnikov函數(shù)存在簡單零點(diǎn)，因此，令M2=0，則可將耦合項(xiàng)表達(dá)為

(42)

代入M1，當(dāng)M1當(dāng)存在簡單零點(diǎn)，有

(43)

還原系統(tǒng)參數(shù)引起異宿分岔的參數(shù)EX滿足

(44)

4 時(shí)滯反饋控制機(jī)理

為抑制系統(tǒng)振動(dòng)跳躍和吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，通過在式(1)的驅(qū)動(dòng)電壓上施加線性時(shí)滯位置反饋控制，時(shí)滯位置反饋控制系統(tǒng)表達(dá)為

(45)

(46)

則時(shí)滯控制系統(tǒng)成為

(47)

實(shí)施該控制的前提是線性化系統(tǒng)仍不會因時(shí)滯項(xiàng)的出現(xiàn)發(fā)生平衡點(diǎn)穩(wěn)定性切換。這里由于時(shí)滯項(xiàng)加在激勵(lì)項(xiàng)當(dāng)中，因此，并不會引起線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生切換。

數(shù)值模擬式(47)驅(qū)動(dòng)方向幅頻響應(yīng)特性曲線，如圖8所示，其中，給定增益系數(shù)Gp=0.2。在圖8中，明顯可見，隨著時(shí)滯量的增加，從0.3～0.8，盡管系統(tǒng)振幅有所減小，但幅頻響應(yīng)特性曲線由原來的多穩(wěn)態(tài)解共存變成單支連續(xù)周期解，即全局穩(wěn)定，因此，振動(dòng)跳躍現(xiàn)象可以得到有效抑制。

下面將開展對時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)異宿分岔行為機(jī)制的研究，從而分析時(shí)滯位置反饋對這類復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的控制機(jī)理及效果。由于時(shí)滯反饋項(xiàng)并不帶來系統(tǒng)穩(wěn)定性定性改變，因此，將式(47)中時(shí)滯項(xiàng)進(jìn)行二階泰勒展開，其相應(yīng)Melnikov函數(shù)為

(48)

其中，

(49)

由于本文討論主共振情況，即Ω位于1的領(lǐng)域，因此，I2>0。根據(jù)式(49)，Melnikov函數(shù)存在簡單零點(diǎn)的時(shí)滯位置反饋控制下系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)電壓幅值滿足

(50)

進(jìn)而對該控制效果進(jìn)行數(shù)值模擬，對無量綱控制系統(tǒng)式(47)，由于零時(shí)刻前無反饋信號輸入，即當(dāng)-τ≤T<0時(shí)有初始狀態(tài)[Y(T),Y′(T)]=(0,0)，則其初始狀態(tài)空間同樣可投影到零時(shí)刻初始狀態(tài)平面[Y(T),Y′(T)]上。不同電壓下系統(tǒng)的安全域隨時(shí)滯量和驅(qū)動(dòng)電壓幅值的變化，如圖10所示。圖10(a)～圖10(c)為當(dāng)τ=0時(shí)無控制微陀螺振動(dòng)系統(tǒng)的安全域演變情況，對比可知，隨著EX增大，安全域分形逐漸明顯，當(dāng)EX=0.02時(shí)，見圖10(a)，無控制系統(tǒng)安全域開始出現(xiàn)不光滑邊界。當(dāng)τ從0開始增大，分別對比圖10(a)、圖10(d)、圖10(g)和圖10(b)、圖10(e)、圖10(h)，可見系統(tǒng)安全域邊界變光滑，而且面積逐漸增大，安全域侵蝕得到有效抑制。而當(dāng)EX=0.6，在不施加控制時(shí)，系統(tǒng)安全域被嚴(yán)重侵蝕，對比圖10(c)、圖10(f)、圖10(i)，當(dāng)增大時(shí)滯量，即便邊界未變光滑，但安全域侵蝕狀態(tài)也得到明顯改善；原點(diǎn)鄰域逐漸變得安全，表明時(shí)滯量的增大能抑制吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象。由此可見，時(shí)滯位置反饋對抑制這類微陀螺結(jié)構(gòu)吸合不穩(wěn)定具有良好的控制效果。

5 結(jié) 論

以一類典型的靜電驅(qū)動(dòng)微機(jī)械陀螺動(dòng)力學(xué)模型為研究對象，首先，建立微陀螺結(jié)構(gòu)的二自由度動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用多尺度法和分岔理論，結(jié)合數(shù)值驗(yàn)證，分析系統(tǒng)參數(shù)引起的微陀螺多穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；其次，通過引入獨(dú)立參數(shù)，得到異宿軌道的精確表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上利用Melnikov方法預(yù)測微結(jié)構(gòu)的異宿分岔?xiàng)l件，從而分析引起微結(jié)構(gòu)檢測方向吸合不穩(wěn)定的機(jī)制，并提出在系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)電壓上引入線性時(shí)滯位置反饋，從而抑制該現(xiàn)象，數(shù)值算例與理論算例解析結(jié)果的吻合證明了理論預(yù)測的有效性。主要得到以下結(jié)論：

(1) 在主共振和1∶1內(nèi)共振的情況下，微陀螺系統(tǒng)容易出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)和振幅跳躍現(xiàn)象。

(2) 驅(qū)動(dòng)交流電壓幅值增大容易引起檢測方向極板吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象，該現(xiàn)象可歸因于異宿分岔。

(3) 當(dāng)反饋增益系數(shù)大于零時(shí)，時(shí)滯位置反饋能夠有效地抑制微結(jié)構(gòu)的振動(dòng)跳躍和吸合不穩(wěn)定現(xiàn)象；時(shí)滯量和反饋增益系數(shù)作為獨(dú)立的兩個(gè)控制參數(shù)，具有較大的參數(shù)取值范圍，說明時(shí)滯位置反饋?zhàn)鳛閱瓮ǖ揽刂品椒ǎ强刂七@類靜電驅(qū)動(dòng)微陀螺復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的良好策略。

本文主要從理論上對微陀螺的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析，為微機(jī)械陀螺的設(shè)計(jì)與優(yōu)化控制提供參考依據(jù)。為強(qiáng)化理論研究的實(shí)用性，使現(xiàn)有理論研究更具針對性，在未來的工作中，筆者將從試驗(yàn)角度對相關(guān)的結(jié)論開展進(jìn)一步的關(guān)聯(lián)性分析。