淺談線性代數興趣教學

◎肖 霞 田苗青 李永鳳

(鄭州輕工業大學數學與信息科學學院,河南 鄭州 405002)

線性代數是高等院校理工科非數學專業一門重要的公共基礎課,是理工科學生必備的數學工具.該課程主要包括行列式、向量與圖形、矩陣、n維向量與線性方程組、特征值與特征向量、二次型等內容.其基本教學目的是使學生系統地理解、掌握相關的基本概念、基本理論、基本思想、基本方法和基本技能,為后繼課程的學習奠定基礎.該課程具有較強的抽象性與邏輯性,許多初學者認為這是一門枯燥難學的課程.為了提高初學者的學習興趣,提升本門課程的授課質量,本文從以下方面探討興趣教學.

一、問題驅動,吸引學生

以學生經常接觸且比較感興趣的內容為背景設置問題,能讓學生產生共鳴,使學生全身心投入課堂教學.

如矩陣概念的提出比較突然,它有什么應用呢?受山東大學秦靜老師的啟發,為了自然引入矩陣概念,可以以無人機表演為背景,設置如下引例,吸引學生的注意力.

引例:5名學生(小王、小陳、小魯、小沈、小安)參加無人機表演,出發時無人機按序號從左往右排列,無人機機身顏色有黃色、藍色、橙色、綠色、紅色,遙控手柄形狀有正方形、橢圓形、梯形、三角形、馬鞍形,無人機攜帶煙霧顏色有紅色、黃色、白色、綠色、藍色.這5名學生喜歡組團玩王者榮耀游戲,在游戲中他們喜歡使用法師、刺客、坦克、射手、戰士.根據以下信息,回答問題.

1紅色無人機在中間;

2最右邊的無人機使用橢圓形手柄;

3挨著橢圓形手柄無人機的操作者在游戲中喜歡使用法師;

4最左邊無人機的操作者在游戲中喜歡使用戰士,他右邊的操作者在游戲喜歡使用坦克;

5使用三角形手柄的操作者在游戲中喜歡使用射手;

6在游戲中喜歡使用刺客的是小安,與他操控的無人機相鄰的那個無人機攜帶白色煙霧;

7攜帶白色煙霧的無人機機身是橙色,用梯形手柄;

8小沈操控的無人機在小安的左邊;

9在游戲中喜歡使用戰士的操作者操控黃色無人機;

10小陳操控藍色無人機;

11小王使用正方形手柄;

12黃色無人機攜帶藍色煙霧,與它相鄰的無人機攜帶綠色煙霧;

13用三角形手柄操控的無人機機身顏色和攜帶煙霧顏色一樣.

問題:3號無人機攜帶什么顏色的煙霧?小安操控的無人機攜帶什么顏色的煙霧?

這個問題可以用列表法來解決.

第一行從左往右對無人機的順序進行編號,第一列是無人機的相關信息,如表1所示.

由條件1可知3號無人機機身顏色是紅色,則表2為對應表格.

由條件2可知5號無人機使用橢圓形手柄,則對應表格為表3.

由條件3可知4號無人機的操作者在游戲中喜歡使用法師,對應表格為表4.

由條件4可知1號無人機的操作者在游戲中喜歡使用戰士,2號無人機的操作者在游戲中喜歡使用坦克,則對應表格為表5.

由于1號、2號、4號無人機的操作者在游戲中喜歡使用戰士、坦克、法師,而5號無人機的遙控手柄是橢圓形,所以滿足條件5的只能是3號無人機,即3號無人機的遙控手柄是三角形,其操作者在游戲中喜歡使用射手,則對應表格為表6.

由于5名學生在游戲中喜歡使用法師、刺客、坦克、射手、戰士,所以游戲人物“刺客”只能是5號無人機操作者在游戲中喜歡使用的角色,則對應表格為表7.

由條件6可知5號無人機的操作者是小安,4號無人機攜帶白色煙霧,則對應表格為表8.

由條件7可知4號無人機的機身顏色是橙色,用梯形手柄,則對應表格為表9.

由條件8可知4號無人機的操作員是小沈,則對應表格為表10.

由條件9可知1號無人機的機身顏色為黃色,則對應表格為表11.

由條件10可知小陳操控藍色無人機.由于4號、5號無人機的操作者已確定,1號、3號、4號無人機的機身顏色已知,所以2號無人機的機身顏色是藍色,操作者是小陳,則對應表格為表12.

由于無人機的機身顏色有黃色、藍色、橙色、綠色、紅色,由表12可以看出5號無人機的機身顏色只能是綠色,補充表12得到表13.

由條件11可知小王使用正方形手柄.由于3號、4號、5號無人機的遙控手柄形狀已確定,所以1號、2號無人機可能滿足條件.但是2號無人機的操作者是小陳,所以1號無人機的操作者是小王,使用正方形手柄,則對應表格為表14.

由于遙控手柄形狀有正方形、橢圓形、梯形、三角形、馬鞍形,由表14可以看出只有馬鞍形手柄沒有使用,所以2號無人機的遙控手柄是馬鞍形.同理可得3號無人機的操作者是小魯,則對應表格為表15.

由條件12可知1號無人機攜帶藍色煙霧,2號無人機攜帶綠色煙霧,則對應表格為表16.

由條件13可知3號無人機攜帶紅色煙霧,即5號無人機攜帶黃色煙霧,則對應表格為表17.

由表17可知3號無人機攜帶紅色煙霧,小安操控的無人機攜帶黃色煙霧.

為了提高引例的難度,可以將其中的條件打亂順序.

由這個問題可以發現,數表間存在聯系,由彼此之間的關系可以解決較為復雜的問題,從而直接引入矩陣的定義.通過這種方法,學生感到所學知識與現實生活緊密相連,進而激發學習的積極性.

二、復習回顧,已知引新

復習回顧是對已學習內容的復習和回顧.在講解新知識時,先對相關知識進行回顧復習,再恰當設計引出新知識,即為已知引新.復習回顧能讓學生聯系已學的相關知識,進而在熟悉的背景下學習新知識,這不僅能降低學生的為難情緒,也能為學生對后續內容的學習打好基礎.

例如,在講解伴隨矩陣的定義時就可以使用知識回顧法.設A=(aij)是n階方陣,Aij是|A|中元素aij的代數余子式(i,j=1,2,…,n),則稱矩陣

為的伴隨矩陣

先引導學生分析定義中的條件：是||中元素的代數余子式(，=1，2，…，)再提問：行列式與其元素的代數余子式有什么關系呢？進而引出：

||=11+22+…++…+

上面的等式可以用矩陣的乘法來表示，引導學生寫出

(1，2，…，)是矩陣中的第行為了與矩陣聯系起來，只考慮第一個等式

結合以上知識計算：

等式右端的列矩陣中第個分量為||

由上面的等式可以計算：

一直計算，就可以得到：

請學生仔細觀察等式左端的第二個矩陣，它有什么特點？它就是伴隨矩陣回顧伴隨矩陣的定義，再結合上面式子講解伴隨矩陣的特點，學生理解起來會更容易之后講解伴隨矩陣的性質等，這樣就能把知識融會貫通，使學生的學習變得輕松有趣