例析平行四邊形幾個重點性質的應用

?甘肅省平涼市崆峒區崆峒鎮初級中學 蘇天偉

1 引言

平行四邊形及其性質既是初中數學的重點知識，又是歷年中考命題的熱點[1].由此可見，平行四邊形的性質既是基礎又是重點，所以對于初中生而言，了解并掌握其中的幾個重點性質非常有必要.基于此，筆者對平行四邊形性質中的幾個重點進行研究，通過例題分析和方法探究給一線教師教學提供參考意見.

2 平行四邊形的性質

平行四邊形的性質是北師大版教材八年級數學下冊第六章第一節的內容[2].教材在簡要給出平行四邊形的定義后，緊接著安排了平行四邊形的性質，順序和內容如下.

性質1平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點就是它的對稱中心.

例1如圖1，直線BD可以將ABCD分成全等的兩個部分，這樣的直線還有很多.

圖1

(1)多畫幾條這樣的直線，看看它們有什么共同的特征；

(2)嘗試用中心對稱圖形的性質去解釋你的發現.

解析：(1)先畫出幾條這樣的直線，然后觀察這些直線的共同特征，如圖2所示.

圖2

性質2平行四邊形的對邊相等.

例2小明用長50 cm的鐵絲圍成了如圖3所示的平行四邊形.已知一條邊的長為16 cm，求平行四邊形其他三邊的長.

圖3

解析：根據平行四邊形的性質2知，AB=CD，AD=BC，則AB=CD=16(cm)，進而求出其他兩邊長均為9 cm.

性質3平行四邊形的對角相等.

例3如圖4所示，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F分別是AB和DC邊上的點，且AE=CF.

圖4

求證：△ADE≌△CBF.

分析：本題應根據平行四邊形的性質先得到AD=CB和∠A=∠C，然后由AE=CF得到△ADE≌△CBF.

性質4平行四邊形的對角線互相平分.

例4如圖5所示，四邊形ABCD是平行四邊形，AC和BD是它的兩條對角線，且相交于點O.已知OB=3，OA=4，AB=5.試求平行四邊形的其他各邊長，并求出兩條對角線的長.

圖5

分析：本題由OB=3，OA=4，AB=5，根據勾股定理逆定理得到△AOB是直角三角形，且AC⊥BD，再結合平行四邊形的性質得到DC，AD，BC的長度和兩條對角線的長.

3 平行四邊形性質學習的幾個重點

平行四邊形的性質比較多，有些容易搞混淆，一旦混淆，將極不利于“特殊的平行四邊形”的學習.所以，在學習平行四邊形性質時，應注意以下幾個重點：

第一，巧用教材編寫意圖或規律學習.

北師大版初中數學教材在介紹幾何圖形時遵循一定的規律，掌握該規律對學習其他的幾何知識非常有利[3].例如，在介紹平行四邊形時，先介紹定義，然后介紹性質，再介紹判定定理.學生在九年級接觸“特殊的平行四邊形”時，也是按照“定義—性質—判定定理”這一順序進行.如，在介紹平行四邊形的性質時，是根據對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序逐一介紹，那么學生在九年級接觸特殊的平行四邊形的性質時，也是按照中心對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序開展學生.本文將這兩點規律總結為如圖6所示的結構圖.

圖6

把握規律有助于學生理解和掌握后續的知識，同時，也有助于提高學生的思維邏輯能力.學生在描述圖形的性質時會從對稱性、(對)邊、(對)角、對角線的順序逐一進行，這一點筆者在實際教學中請學生回答相關圖形的性質時得到了充分的體現.

第二，準確把握性質與判定定理的區別.

就如平行線的性質和判定定理至今仍有很多學生易搞混淆一樣，平行四邊形的性質和判定定理也極易搞混淆，如例5中的錯解.

例5如圖7所示，E，F是ABCD對角線AC上的兩點，且AE=CF.

圖7

求證：四邊形BFDE是平行四邊形

錯解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，∠DAC=∠BCA(平行四邊形的判定定理).

∵AE=CF，

∴△ADE≌△CBF(SAS).

∴∠DEA=∠BFC.

∴∠DEF=∠BFE.

∴DE∥BF.

同理，BE∥DF.

∴四邊形BFDE是平行四邊形(平行四邊形的性質定理).

很明顯，在通過平行四邊形ABCD得到AD=BC，∠DAC=∠BCA時，應該是利用了平行四邊形的性質定理，而通過DE∥BF，BE∥DF得到四邊形BFDE是平行四邊形，應該是利用了平行四邊形的判定定理.其實，要準確區分利用的是性質還是判定定理，只需觀察上下解題步驟之間的關系.如果平行四邊形的條件寫在前，那么就是利用性質定理；如果平行四邊形寫在后，那么就是利用判定定理.

由此可見，準確把握性質與判定定理之間的區別，是清楚且牢固掌握平行四邊形的性質定理、判定定理的前提.簡單來說，性質是已知了平行四邊形之后才得知，而判定定理是尚未清楚圖形是否為平行四邊形，即性質是已經知道了圖形為平行四邊形，而判定定理是尚不知道圖形為平行四邊形，需解題者加以證明[4].

第三，注意與平行四邊形綜合的知識點.

平行四邊形和三角形一樣是初中幾何非常基礎的知識，在中考題中容易與其他知識點綜合生成難度較大的題目，甚至是壓軸題.

教師在教學中，不僅要注重本章節知識點的教學，還應該將與之有聯系的其他知識點結合起來復習.如平行線、角平分線、垂直平分線等就可以相互結合起來復習.

例6如圖8，AD是△ABC的角平分線，DE∥AB，且BF=AE.求證：EF=BD.

圖8

證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2.

∵DE∥AB，

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.

∴AE=DE.

∵BF=AE，

∴DE=BF.

∵DE∥BF，

∴四邊形BDEF是平行四邊形.

∴EF=BD.

4 結語

總之，教師在講解平行四邊形的性質時，不能僅局限于本節知識點，而應該將視野擴大，這更有利形成知識系統.學生在學習的過程中，既要注意易錯之處，又要借助本節知識點構建數學知識網絡，以更豐富、更完善的知識網絡體系幫助自己提升解決數學問題的能力.