構(gòu)造直角三角形解答幾何問題的題型分析

?福建省泉州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 莊菊詠

1 求角度

求解圖形中某一個(gè)角的大小是幾何問題中的常見問題之一.這類型問題可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，利用直角三角形的特點(diǎn)和性質(zhì)，結(jié)合其他圖形，計(jì)算待求角的大小.解答這類問題的具體思路：①分析題意，添加輔助線構(gòu)造直角三角形；②利用直角三角形的特點(diǎn)(例如直角等于90°)、性質(zhì)，結(jié)合幾何知識(shí)求解；③經(jīng)過邏輯推理計(jì)算角的大小.

例1△ABC的BC邊上存在一點(diǎn)P，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.

分析:本題存在特殊角∠APC=60°，經(jīng)過點(diǎn)C作AP的垂線，構(gòu)造直角三角形CDP，將∠ACB分為兩部分，再根據(jù)點(diǎn)P的位置和∠APC的大小進(jìn)行分析.

解：如圖1,過點(diǎn)C作CD⊥AP，垂足為D，連接BD.

圖1

在Rt△CDP中，

∵∠APC=60°，

∴∠DCP=30°.

∴PC=2PD.

∵PC=2PB，

∴PB=PD.

∴∠PBD=∠PDB=30°.

又∵∠ABC=45°，

∴∠DAB=∠DBA=15°.

∴BD=AD=CD，∠ACD=45°.

∴∠ACB=45°+30°=75°.

2 求線段的長(zhǎng)

求解圖形中某一線段的長(zhǎng)是幾何圖形中的常見問題，有時(shí)可以通過構(gòu)造直角三角形求解，利用直角三角形的特殊角和對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，并結(jié)合相關(guān)定理(勾股定理、射影定理等)求解線段長(zhǎng)度.解答這類問題的具體思路為：①根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，并確定其內(nèi)角的大小；②利用特殊的三角函數(shù)值或?qū)?yīng)的定理列式求解，計(jì)算所求線段的長(zhǎng)度.

例2在△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，若BD⊥AB，∠ABC=120°，AB=CD=1，求AD的長(zhǎng).

分析:如圖2所示，本題需要從點(diǎn)B入手再構(gòu)造一個(gè)直角三角形，通過比例關(guān)系和勾股定理解得線段AD的長(zhǎng)度.

圖2

解：過點(diǎn)C作CE⊥AB，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

又DB⊥AB，所以BD∥CE.

等價(jià)于：(x+2)(x3-2)=0.

3 求面積

求解某個(gè)圖形的面積大小是幾何中的常考問題.這類型問題有時(shí)可以構(gòu)造直角三角形求解，一般將原問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的面積問題，利用直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.解答的具體思路為：①分析圖形特點(diǎn)，通過輔助線等手段構(gòu)造直角三角形；②根據(jù)題意分析直接或間接計(jì)算面積，并確定相關(guān)線段的長(zhǎng)度；③利用幾何圖形的面積公式計(jì)算求解.

分析:由題意可知，四邊形ABCD是不規(guī)則圖形，其面積需要利用添補(bǔ)法求解.如圖3所示，將其添補(bǔ)為一個(gè)直角三角形，并利用直角三角形的面積公式間接求解.

圖3

解：設(shè)DA,CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,由題意可得，四邊形補(bǔ)為Rt△EDC，如圖3所示，且△EAB和△EDC都是等腰直角三角形.

在Rt△EDC中，

4 求最值

最值問題是幾何中的一類常考問題，一般為求線段的最值或角度的最值，有時(shí)可以利構(gòu)造直角三角形求解.解答的具體思路為：①根據(jù)題目特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形；②將待求角或待求線段與直角三角形建立聯(lián)系；③利用直角三角形的知識(shí)分析待求最值.

例4在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使線段DE將△ABC分為面積相等的兩個(gè)部分，試求這個(gè)線段的最短長(zhǎng)度.

分析:利用勾股定理的逆定理可知△ABC為直角三角形.過點(diǎn)D作△DEA的高DF，將原問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的問題.

解：由BC=5，AB=12，AB=13,結(jié)合勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且AC⊥BC.

又因?yàn)榫€段DE將△ABC分為面積相等的兩個(gè)部分，所以S△DEA=15.

過點(diǎn)D作△DEA的高DF，交AC于點(diǎn)F，如圖4,則DF∥BC.

圖4

在Rt△DEF中，由DE2=EF2+DF2，得

又由S△DEA=15，得xy=78.

所以DE2=(x-y)2+12.

5 作證明

證明題是幾何中必不可少的一類問題，證明形式包括求證角度的大小或關(guān)系，求證線段的長(zhǎng)度或關(guān)系等，構(gòu)造直角三角形是解答幾何證明題常用的有效手段.具體思路為：①根據(jù)題意分析題目特點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形；②利用直角三角形的角度關(guān)系或邊長(zhǎng)關(guān)系，將待證明的線段或角與直角三角形建立聯(lián)系；③最后利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)求證即可.

例5已知點(diǎn)M是Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AC上，且PM⊥QM.

求證：PQ2=PB2+QC2.

分析:本題中QC與PQ，PB沒有直接關(guān)系，要想證明PQ2=PB2+QC2成立，就需要構(gòu)造直角三角形，將這三條邊之間建立聯(lián)系，且PQ為斜邊，如圖5所示.

圖5

證明:延長(zhǎng)QM至點(diǎn)N，使MN=QM，連結(jié)PN，BN，如圖5所示.

∵PM⊥QM，

∴PQ=PN.

又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，

∴△BMN≌△CMQ.

∴BN=QC，∠MBN=∠C.

∴BN∥AC.

∴∠PBN=∠A=90°.

∴PN2=PB2+BN2.

故PQ2=PB2+QC2成立.

本文中介紹的幾種題型都是常見的利用直角三角形求解的幾何問題.直角三角形對(duì)求解幾何問題有重要作用，能有效降低題目難度，化繁為簡(jiǎn).解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活構(gòu)造直角三角形,除此之外，還要熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，確保萬無一失.