智慧引領 模型破冰
——對“圓周角(第1課時)”教學設計的思考

?湖北省咸寧市教育科學研究院 廖明芳

?湖北省咸寧實驗外國語學校 許麗琴 王 彎

1 問題呈現

九年級開始學習圓周角的概念，通過與已有“圓心角”概念對比得出圓周角概念，而在圓周角定理得出的環節，人教版數學教材九年級上冊第86頁用了下面這段文字：

如圖1,為了證明上面發現的結論(圓周角定理)，在⊙O任取一個圓周角∠BAC，沿AO所在直線將圓對折，由于A的位置不同，折痕會：(1)在圓周角的一條邊上；(2)在圓周角的內部；(3)在圓周角的外部.

圖1

2 問題診斷

根據教材呈現內容，為引出圓周角的概念，很多教師設計了“將圓形紙片動手折一折”的教學環節，這樣圓周角的出現比較容易，進一步測量圓周角和同弧圓心角也不困難，于是順理成章“猜一猜”：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.到了關鍵“證一證”環節，問題來了：(1)教材中的這條折痕在證明過程中意義非凡，如何出現？(2)圓心角和圓周角的位置關系為何直接導致證明過程的差異，以及如何分類？

基于以上兩個問題，教師用“折痕說”很難將問題自然過渡，只能采用強制引入的方式，憑空出現這條“折痕”，進而證明，使得整節課的邏輯鏈條斷裂，干擾、打亂學生思維.

3 問題解決

經過反復實驗，我們工作室的教師最終采用如下途徑來解決本節課的難點.

3.1 情境導入，引出新知

播放神舟十二號發射及其與天和核心艙對接過程的短視頻，抽象出圓周角，引出研究目標，同時增強學生的民族自豪感.

3.2 對比舊知，得出新知

從已知圓心角概念引出新的研究對象圓周角，二者的區別就在于頂點位置的不同，也就是角的基本要素之一(抓住幾何研究對象的基本要素).而對幾何對象研究的基本問題就是元素之間的位置和數量關系[1]，于是引發學生探究二者之間關系的內心需求.

3.3 測量猜想，嘗試總結

通過動手畫角、測量、輔助計算機度量，可快速得出結論，但在此處對結論的表述，教師要潛意識進行引導，將“圓周角”放在前——圓周角等于同弧所對圓心角的一半.這個不顯山露水的操作是為了給學生做出良好導向，表明要證明的核心問題是圓周角與圓心角的大小關系，是把未知的圓周角轉化為學過的圓心角問題來解決.

3.4 觀察探究，智慧思考

教材中直接給出了折痕與圓周角的位置關系，思維跳躍性過大.此處借助《幾何畫板》，讓圓周角頂點在規定弧上連續移動，仔細觀察此時同弧所對應的圓周角和圓心角的變化，學生易得出：圓心角是唯一的，而圓周角是無數的.對于變化的圓周角和確定的圓心角，我們如何來進行研究？(變化之中的不變性)

對幾何對象的研究仍然應該從它的基本元素入手，通過圓周角頂點的位置變換，引發學生思考：圓周角和圓心角的位置關系到底能出現多少種？對變化情況進行分類，并把問題進行分割，使角度減小，讓學生先觀察圓心(圓心角頂點)與圓周角的位置關系.通過《幾何畫板》的操作能夠避免“折痕說”中的局限性，使得圓周角無間斷、連續變化，全面不遺漏地考慮問題.而直觀變化的動態可以幫助學生找到關鍵的三個位置(如圖2)，為下一步證明做好鋪墊.

圖2

3.5 合理分類，模型探路

要證明圓周角定理，很自然地在上面(圖2)三種位置關系中引進同弧所對的圓心角.第一種位置關系最為特殊(如圖3)，其他兩種均涉及到作關鍵輔助線，也就是“折痕”的出現.

圖3

由易到難，第一種位置關系的證明學生很快可以得出.證明過程中用到了等腰三角形頂角的外角等于兩底角之和，是前面學習過的三角形的基本性質定理.教師適時給出引導，對此模型進行剝離：圓周角就是等腰三角形的一個底角，圓心角就是等腰三角形的外角，它們之間的數量關系剛好完全吻合.而要想出現這個定理中具備的條件，過圓周角頂點的直徑很關鍵，是構造出模型中等腰三角形外角的點睛之筆.

3.6 模型破冰，彰顯智慧

第二種位置關系，考慮轉化為第一種位置關系來證明，體會數學中的轉化思想.思考方向：其一要考慮第一種位置關系中的直徑，其二要從圓中剝離出等腰三角形的基本模型.有了方向，學生思考起來相對容易突破.連接圓周角頂點和圓心并延長交圓周于點D，形成教材中的“折痕”，這樣就把要證明的問題變成了兩個“基本模型”.

已知：A，B，C是圓O上的點，∠BAC是弧BC所對的圓周角，∠BOC是弧BC所對的圓心角.

證明：連接圓周角頂點A和圓心O并延長交圓周于點D，如圖4.

圖4

∵∠3+∠4=∠BAC，∠1+∠2=∠BOC，

根據證明過程，可以形象地把第二種位置關系看成是“基本模型+基本模型”，如圖4.

3.7 水到渠成，解決問題

第三種位置關系的證明難度較大，不容易觀察，教師通過位置關系(2)的鋪墊，去找尋基本模型.作出輔助線后，基本模型凸顯，通過隱去部分線段，學生仍然能發現隱藏其中的兩個基本模型，如圖5.

證明：連接圓周角頂點A和圓心O并延長交圓周于點D，如圖5.

圖5

∵∠3-∠4=∠BAC，∠1-∠2=∠BOC，

根據證明過程，可以形象地把第三種位置關系看成是“基本模型-基本模型”，如圖5.

4 結語

至此，整節課的重點很巧妙地彰顯出來，化未知為已知，將問題轉化為基本數學模型[2]，數學的基本思想體現無疑.在難點上也精心鋪設，細化問題，通過多媒體軟件的介入，連續變化達到相對嚴密的閉合系統，通過提煉基本模型引出輔助線、破解難點.可以說，通過這幾個細節的用心處理，順利厘清了整堂課的邏輯線，充分體現了數學學科轉化思想的魅力，彰顯了數學學科的育人價值.