鞍點問題解的存在性

蔣源鑫,劉奇鑫

（重慶交通大學 數學與統計學院,重慶 400074）

引言

鞍點問題在數學規劃和博弈論的研究中占有非常重要地位。它為極大極小問題、拉格朗日對偶問題、變分不等式、Nash 均衡問題的研究提供了有效的表述形式和基本工具。目前鞍點問題的理論研究主要是集中在鞍點的存在性[1-9]。其中,Karamardian[11]通過對目標函數的擬凸擬凹假設,得到了定義在緊凸集上的鞍點問題解的存在性。Iusem[12]等人則通過漸進分析與對目標函數的擬凸擬凹假設,得到了定義在閉凸集上的平衡問題解的存在性與解集緊性。受上述研究的啟發,研究了定義在閉凸集上的鞍點問題解的存在性,并在適當的假設條件下,給出了鞍點的存在性條件以及解集的相關性質。

1 預備知識

為了方便起見,我們用S(C,D,f)表示（SPP）所有鞍點組成的集合。下面給出二元函數凸性與凹性的定義[10]。

定義1,假設C?R?和均為非空凸子集。

則稱二元實值函數f:C×D→R 在C 上關于x是凸的,反之亦然。

（2） 若對于 ?x∈C, ?y1,y2∈D, ?t∈［ 0,1］,有

則稱二元實值函數f:C×D→R 在C 上關于y是凹的,反之亦然。

定義2,假設C?Rn和D?R?均為非空凸子集。

則稱二元實值函數f:C×D→R在C 上關于x是擬凸的,反之亦然。

（2） 若對于 ?x∈C,∈D, ?t∈［ 0 ,1］,有

則稱二元實值函數f:C×D→R 在C 上關于y是擬凹的,反之亦然。

注1,所有的凸函數都是擬凸函數,所有的凹函數都是擬凹函數,反之不一定成立。例如,假設C 和D 均為 R 的非空凸子集,則對任意的y∈D,f(x,y) =,x∈C為C 上的擬凸函數,但不是C 的凸函數。

下面給出二元函數上半連續性與下半連續性的定義[10]。

定義3,假設C?Rn和D?Rm均為非空凸子集,f:C×D→R 為二元實值函數。

（1） ?y∈D,若對任意收斂到x 的序列｛｝ ?C,有f(x,y) ≤f(,y),則稱f 在x∈C處是下半連續的,若對任意的x∈C都成立,則稱f 在C 上是下半連續的。

（2） ?x∈C, 若對任意收斂到y 的序列 ｛｝?D,有f(x,y) ≥f(x,),則稱f 在y∈D處是上半連續的,若對任意的y∈D都成立,則稱f 在D 上是上半連續的。

引理1[11],設C?Rn,D?Rm為緊凸集,且f 為定義在C×D 上的實值函數,假設下列條件成立：

（1） 當固定y∈D時,f 為C 上的下半連續擬凸函數；

（2） 當固定x∈C時,f 為D 上的上半連續擬凹函數；

本文主要考慮的是借助函數f 的一致性以及漸進性,將上述的經典結論推廣到非緊的情況下。下面給出關于函數一致性的定義。

定義4[13],假設C?Rn,D?Rm均為非空子集,f:C×D→R 為二元實值函數。任取(y1,y2) ∈D×D,存在x0∈C使得

則稱f 在C 上具有一致性。

定義5[12],假設,D?Rm均為非空子集,f:C×D→R 為二元實值函數。假設u∈Rn:u≠0,v∈Rm:v≠0和 ∈ R := { ∈ R ＞0}。

（1） f 關于x 的漸進函數定義為

（2） f 關于y 的漸進函數定義為

定義6[14],假設C 為中的非空子集,C 的漸進錐C∞定義為

2 主要結果

為了討論鞍點問題解的存在性,需先建立如下的輔助結果。

命題1,如果f:C×D→R 有界,則對于任意的,,有

定理1,設C?R n,D?Rm為閉凸集,且f 為定義在C×D上具有一致性的實值函數,假設下列條件成立：

（1） 當固定y∈D時,f 為C 上的連續擬凸函數；

（2） 當固定x∈C時,f 為D 上的連續擬凹函數；

因為f 在C,D 均具有一致性,所以由式(1)和式(5)可以推出

由假設條件（1）可知,任意固定y∈D,f 為D 上的連續擬凹函數,因此

由假設條件(2)可知,任意固定x∈C時,f 為D 上的連續擬凹函數,因此