含趨旋微生物納米流體在拉伸缸表面上的邊界層流動分析

許曉勤，黃惠

(1.福建船政交通職業學院汽車學院，福建 福州 350007； 2.福州大學機械工程及自動化學院，福建 福州 350108)

0 引言

眾所周知，水、 油、 乙二醇等傳統傳熱流體的低導熱系數是限制其傳熱性能的重要因素之一，在這些液體中添加固體納米顆?？商岣邔嵯禂?Choi和Eastman首次提出“納米流體”的概念，它由尺寸小于100 nm的金屬或金屬氧化物顆粒分散在基液中制成[1].納米流體在醫療、 化工、 交通、 電子、 制造及食品等領域得到廣泛應用，是學者和工程師們研究的熱點問題之一.Sumanth等[2]研究納米流體羧基石墨烯對散熱器性能的影響，結果表明, 當納米顆粒體積分數為0.02%，流量為5 L·min-1，進口溫度分別為40和50 ℃時，散熱器的效率分別提高27.38%和23.41%.Siricharoenpanich等[3]將納米流體用于電子元器件的冷卻系統，實驗表明, Ag/Fe3O4納米流體作為冷卻劑的散熱效率高于Ag納米流體或去離子水作為冷卻劑的散熱效率.Salari等[4]將納米流體用于食品工業的熱處理，發現與傳統流體相比，在極低固體顆粒濃度下使用納米流體可以顯著提高導熱系數和總傳熱系數，顯著縮短熱處理時間，且使用納米流體后，食品的顏色和pH值幾乎不變.值得一提的是，基液中的納米顆粒是不穩定的，可能導致納米顆粒聚集，使導熱系數降低.

微生物是一切肉眼看不見或看不清的微小生物的統稱(如病毒、 細菌、 酵母菌、 單細胞藻類及原生動物等)，在自然界中廣泛存在[5].微生物體積小、 結構簡單、 代謝能力強、 生長繁殖快、 容易培養、 容易變異、 有極強的環境適應性，在環境保護、 農業生產、 食品工業、 新能源開發、 醫療和制藥等方面均有廣泛的應用[6].微生物具有的趨光或趨氧特性，使其自主向液體上層運動且聚集，形成上重下輕的不穩定密度分層.當這種密度分層達到一定程度時會引起流體宏觀上的流動，即生物對流[7].微生物在流體中同時受到重力矩和粘滯力矩的共同作用會產生一種回旋運動，這種現象稱為微生物的“趨旋性”.將趨旋微生物與納米流體混合，可以防止納米流體中的納米顆粒聚集，從而提高納米流體的穩定性[8].納米流體中的生物對流還可以提高質量傳遞和熱傳遞，為新型微流控制設備的設計開拓新思路[9].Chakraborty等[10]探討磁場和對流邊界條件對含趨旋微生物的納米流體在擴張板上流動的影響，結果表明，磁場的增強使擴張板表面的流體速度和Nusselt數減小，表面對流參數增大了微生物自遷移通量，而Peclet數的影響卻相反.Khan[11]研究含有納米顆粒和趨旋微生物的穩態二階納米流體在薄膜中的生物對流現象，圖解分析各參數的影響.Kanta等[8]研究在非線性熱輻射、 化學反應、 內熱源和抽吸/注射效應下，含有趨旋微生物的可變粘度納米流體在非線性拉伸板上的生物對流現象.

拉伸成型是把材料加工成平板、 空心柱體或特定形狀的一種工藝，材料在拉伸過程中往往需要嚴格的冷卻才能保證成品質量.由于在金屬和工程領域的廣泛應用，如金屬絲、 晶體生長、 紙張生產、 玻璃纖維、 聚合物擠出和食品制造等，流體通過拉伸表面的傳熱與流動現象成為學者們研究的熱點問題之一.Khan和Makinde[12]數值研究含趨旋微生物的水基納米流體在對流加熱拉伸板上的邊界層流動現象，結果表明，無量綱速度隨著浮力比和生物對流Rayleigh數的增大而減小，壁面無量綱溫度隨著對流參數的增大而增大，隨著浮力比的增大而減小.Akbar等[13]研究含趨旋微生物的納米流體通過延伸板的自然對流現象，探討磁場參數、 Brown運動參數和熱泳的影響.Hayat等[14]探討含趨旋微生物的磁性納米流體在拉伸缸上的流動現象，結果表明，缸體曲率參數越大，缸體附近溫度越低.

為解決納米顆粒聚集導致納米流體傳熱特性下降問題，本研究在納米流體中引入趨旋微生物，探討穩態二維納米流體在拉伸缸表面上的邊界層流動現象，建立控制方程，采用打靶法和Runge-Kutta法進行數值求解，對不同物理參數下的速度場、 溫度場、 濃度場和微生物密度場的變化趨勢進行圖形化分析，并給出各物理參數的作用機制.研究結果有助于分析納米流體加入趨旋微生物后對其流動及傳熱傳質特性的影響規律，為類似物理模型邊界層控制或實驗配置適合不同應用場合的穩定納米流體提供參考.

1 數學模型

考慮趨旋微生物的影響，研究納米流體在拉伸缸表面上的穩態二維不可壓縮流動.物理模型和坐標系如圖1所示.缸體半徑為a，缸體以Vw(z)的速度向右拉伸，由于摩擦力作用，附著在拉伸缸表面的納米流體速度與拉伸缸表面一致(不考慮滑移效應)，無窮遠處納米流體速度為0(即靜止狀態)，拉伸缸浸泡在納米流體中，納米流體中加入趨旋微生物，趨旋微生物自主運動阻止納米顆粒聚集，使納米流體處于穩定狀態.

圖1所示的流動模型屬于軸對稱流動，假設缸體軸向為z軸，徑向為r軸.為了使大多數微生物存活并保持活性，選擇水基納米流體，納米顆粒為球形氧化鋁，假設納米流體穩定且懸浮液稀釋，考慮納米流體在流動過程中遵守質量守恒、 動量守恒、 能量守恒、 納米顆粒濃度守恒及微生物密度守恒等定律，在Buongiorno模型[15]基礎上建立控制方程[14]如下，

連續性方程：

(1)

r方向的動量方程：

(2)

z方向的動量方程：

(3)

能量方程：

(4)

濃度方程：

(5)

微生物密度方程：

(6)

邊界條件為：

1) 當r=a時，

(7)

2) 當r→∞時，

Vz→0，T→T∞，C→C∞，N→N∞

(8)

式中：r、z分別表示坐標系的徑向和軸向坐標；Vr、Vz分別表示沿r軸和z軸方向的速度分量(m·s-1)；T、C、N分別表示納米流體的溫度(K)、 納米顆粒體積分數及微生物密度(kg·m-3)；Tw、Cw、Nw分別表示缸體表面納米流體的溫度(K)、 納米顆粒體積分數及微生物密度(kg·m-3)；T∞、C∞、N∞分別表示無窮遠處納米流體的溫度(K)、 納米顆粒體積分數及微生物密度(kg·m-3)； ν為運動粘度(m2·s-1)；α為納米流體的熱擴散系數(m2·s-1)；τ=(ρpcp)/(ρfcf)為納米顆粒熱容與基液熱容之比；ρ為流體密度(kg·m-3)；c為比熱容(J·(kg·K)-1)；DB為Brown擴散系數(m2·s-1)；DT為熱泳擴散系數(m2·s-1)；Dn為微生物擴散率(m2·s-1)；b為趨化常數； ΔC=Cw-C∞；Wc為細胞游動的最大速度(m·s-1)；a為缸體半徑(m)；U0為參考速度(m·s-1)；Vw為缸體拉伸速度(m·s-1)；l為特征長度(m).

引入如下無量綱變量：

(9)

式中：ψ為流函數.

則：

(10)

將式(9)、 (10)代入式(1)～(6)得：

(1+2ηγ)f?+2γf″+ff″-f′2=0

(11)

(1+2ηγ)θ″+2γθ′+Pr(1+2ηγ)(NTθ′2+NBθ′φ′)+Prfθ′=0

(12)

(13)

(1+2ηγ)φ″+2γφ′-Pe[(1+2ηγ)(φ′φ′+φφ″+σ1φ″)+2γ(φφ′+σ1φ′)]+Scfφ′=0

(14)

式中： 曲率參數γ=[νl/(U0a2)]1/2，與缸體半徑a成反比； Prandtl數Pr=ν/α，表示動量傳遞及熱量傳遞效果之比； 熱泳參數NT=τDT(Tw-T∞)/(νT∞)，用于描述在溫度梯度不為0的流體中，納米顆粒向較冷區域運動的現象； Brown運動參數NB=τDB(Cw-C∞)/ν，用于描述液體分子不停做無規則運動，不斷隨機撞擊懸浮微粒的現象； Lewis數Le=ν/DB，定義為納米流體粘度與布朗擴散系數之比； 生物對流Peclet數Pe=bWc/Dn，指在受迫運動傳質時對流傳遞與擴散傳遞之比； 生物對流常數σ1=N∞/(Nw-N∞)； 生物對流Schmidt數Sc=ν/Dn，定義為動量擴散率和微生物擴散率之比.

邊界條件(7)、 (8)變為：

1) 當η=0時，

f(0)=0，f′(0)=θ(0)=φ(0)=φ(0)=1

(15)

2) 當η→∞時，

f′(∞)=θ(∞)=φ(∞)=φ(∞)=0

(16)

局部表面摩擦系數Cfz、 局部Nusselt數Nuz、 局部Sherwood數Shz和微生物的局部密度數Nnz分別定義如下：

(17)

由相似變量(9)得：

(18)

式中：Rez=zVw/ν是局部Reynolds數.

2 數值方法

控制方程(11)～(14)和邊界條件(15)、 (16)構成兩點邊值問題，由于是高階非線性微分方程，解析法求解困難，可采用數值方法求解.先通過打靶法將其轉化為非線性微分方程的初值問題，其基本思想是將邊值問題中未知的初始值設為未知參數，從而將此問題看作是帶有未知參數的初值問題，通過對參數賦值后，使邊值問題轉化為初值問題.采用Runge-Kutta法求解初值問題，由于一次賦值通常不能得到滿足精度要求的解，通過牛頓迭代法可逐步調整初值參數，直到初值問題的解滿足邊值約束，即類似一個不斷調整射中靶心的打靶過程.Runge-Kutta法是一種在工程上應用廣泛的高精度單步算法，它來源于泰勒公式，采用斜率近似表達微分，在積分區間多預算出幾個點的斜率，然后進行加權平均，用做下一點的依據，從而構造出精度更高的數值積分計算方法.為了驗證打靶法和Runge-Kutta法的有效性，將Pr取不同值時-θ′(0)的計算結果與文獻[13, 16-17]的結果進行對比，結果吻合，如表1所示.

表1 Pr取不同值時的-θ′(0)(當γ=NT=NB=0時)

3 實驗結果與討論

圖2給出曲率參數γ對速度f′(η)、 溫度θ(η)、 體積分數φ(η)和微生物密度φ(η)的影響.由圖2可知，在靠近缸體表面處(η值較小時)，速度、 溫度、 體積分數和微生物密度均隨曲率參數的增大而減小； 而在離缸體較遠處(η值較大時)，速度、 溫度、 體積分數和微生物密度均隨著曲率參數的增大而增大.因為在缸體表面附近的粘性力所產生的阻力比遠離缸體的粘性力所產生的阻力大得多，因此隨著曲率參數γ的增大，缸體半徑減小，對流體運動的阻力減小，在遠離缸體時流體速度增大.另外，缸體半徑減小，附著在缸體表面上的納米顆粒和微生物數量亦減小，而這些顆粒通過熱傳導進行傳熱，因此缸體表面附近的體積分數、 溫度和微生物密度均減小.

圖3給出Brown運動參數NB和熱泳參數NT對溫度θ(η)的影響.由圖3可知，Brown運動參數NB和熱泳參數NT對溫度的影響類似，NB越大，納米流體Brown運動越劇烈，使對流換熱強度增強，因此溫度越高； 從物理上講，對于較高的熱泳參數值NT，熱泳力增大，促進納米顆粒從較熱區域向較冷區域移動，導致熱邊界層厚度和溫度增加.納米流體的Brown運動和熱泳現象大大提高了傳統流體的傳熱特性.另外，溫度升高還會進一步降低納米流體粘度，改善納米流體流動特性，納米流體良好的散熱效果可保證最終產品質量.

圖4揭示Brown運動參數NB和熱泳參數NT對納米顆粒體積分數φ(η)的影響.由圖4(a)可知，NB越大，體積分數越小.Brown運動參數NB是描述納米顆粒在基液中隨機運動劇烈程度的物理量，NB越大，顆粒無規則運動速度越快，濃度越低.NT的影響恰好相反，如圖4(b)所示.從物理上講，熱泳力是溫度梯度產生的，當熱泳力增加時，納米顆粒從熱表面向外移動，使納米顆粒體積分數上升.

圖5給出Brown運動參數NB和熱泳參數NT對微生物密度φ(η)的影響.由圖5可知，Brown運動參數NB和熱泳參數NT對微生物密度的影響趨勢與對濃度的影響類似.從物理角度來看，NB越大，納米顆粒在基液中隨機運動越劇烈，納米顆粒之間、 納米顆粒與水分子之間相互碰撞，微生物運動時所受阻力增大，導致微生物密度下降.NT越大，熱泳力越大，促進微生物生長，因此微生物密度上升.

圖6給出生物對流Peclet數(Pe)、 Schmidt數(Sc)和生物對流常數(σ1)對微生物密度φ(η)的影響.由圖6(a)可知，Pe對φ(η)影響較大，Pe越大，φ(η)越小.從Pe的表達式(Pe=bWc/Dn)可以看出，Pe與細胞游動最大速度Wc和趨化常數b成正比，與微生物擴散率Dn成反比，Pe越大，微生物平均游動速度越快，使微生物密度及其邊界層厚度降低.隨著Sc(Sc=ν/Dn)的增加，動量擴散率與微生物擴散率比值越大，微生物的生長速度受到抑制，微生物密度下降，見圖6(b).由圖6(c)可知，生物對流常數σ1(σ1=N∞/(Nw-N∞))越大，無量綱微生物密度φ(η)(φ(η)=(N-N∞)/(Nw-N∞))越小.

圖7給出了曲率參數γ對局部表面摩擦系數f″(0)、 局部Nusselt數-θ′(0)、 局部Sherwood數-φ′(0)和運動微生物的局部密度數-φ′(0)的影響，其他物理參數的影響見表2.由圖7可知，|f″(0)|、 -θ′(0)、 -φ′(0)和-φ′(0)均隨著γ的增大而增大.意味著曲率參數越大，靠近壁面納米流體流動速度越慢，而熱擴散率、 濃度擴散率、 運動微生物遷移率均越大.由表2可知，當Pe=Sc=1，γ由0增大到1時，|f″(0)|、 -θ′(0)、 -φ′(0)、 -φ′(0)分別增大35.3%、 57.9%、 48.0%、 33.3%；Pe和Sc對f″(0)、 -θ′(0)和-φ′(0)的影響可以忽略不計，但對-φ′(0)的影響較大，當γ=Sc=1，Pe由1增大到3時，-φ′(0)增大156%；當γ=Pe=1，Sc由1增大到3時，-φ′(0)增大15.2%.

表2 其他物理參數下的流動及傳熱傳質特性

4 結語

由于趨旋微生物對流能避免納米顆粒團聚，解決納米流體不穩定問題，可進一步促進高導熱納米流體在工程中的應用，因此研究含趨旋微生物的穩態二維納米流體在可拉伸缸表面上的邊界層流動現象，探討各物理參數對速度場、 溫度場、 濃度場和微生物密度場的影響，得出以下3個主要結論.

1) 在靠近缸體表面處，納米流體速度、 溫度、 體積分數和微生物密度均隨著曲率參數的增大而減小，而在遠離缸體表面時變化情況卻相反；

2)Brown運動參數和熱泳參數對納米流體溫度的影響類似，而對體積分數的影響卻相反；

3) 微生物密度隨著Brown運動參數、 Peclet數、 Schmidt 數和生物對流常數的增大而減小，而隨著熱泳參數的增大而增大.

以上結論可為類似物理模型邊界層控制或實驗配置適合不同應用場合的穩定納米流體提供參考，進一步推進納米流體在工程中的應用.