淺談“三教”助力培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)

洪鶯犁

幾何直觀可以使抽象的數(shù)學(xué)知識以直觀、形象的方式呈現(xiàn)出來，幫助正處于形象思維為主要表現(xiàn)方式的小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，在教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用。呂傳漢教授提出“三教”教學(xué)理念——教思考、教體驗、教表達，其目的是教會學(xué)生積極思考、自主體驗、善于表達，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出，學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一在于能夠建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。筆者對“數(shù)與形”一課的教學(xué)目標定位，是以“三教”教學(xué)理念為引領(lǐng)，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng)。

一、體驗，在實踐操作中積累幾何直觀經(jīng)驗

筆者認為，為實現(xiàn)對學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，首先需要讓他們在用實物或圖表直觀呈現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)信息的過程中積累一定的幾何直觀經(jīng)驗。教師在課堂上要盡可能創(chuàng)造實踐操作的機會，使學(xué)生自主參與，經(jīng)歷實踐、探究的過程，在培養(yǎng)學(xué)生的操作能力與創(chuàng)新意識的同時，引導(dǎo)他們在活動中進行反思、領(lǐng)悟與升華，最終獲得幾何直觀經(jīng)驗，發(fā)展核心素養(yǎng)。

1. 在操作反思中體驗，積累幾何直觀經(jīng)驗。

本節(jié)課，學(xué)生在探討如何快速計算“1+3+5+7+…+999”的結(jié)果時，教師引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡，從1開始。學(xué)生在學(xué)具袋中選取需要的圖形，根據(jù)算式“擺圖形”自主探索用圖形表示算式的方法。在擺的過程中，小組成員不斷嘗試、討論，調(diào)整擺放圖形的位置，探究該如何擺放才能夠快速算出算式的得數(shù)。匯報交流時，學(xué)生通過觀察、對比發(fā)現(xiàn)，擺成大正方形時，能夠快速算出圖形總數(shù)即算式的得數(shù)，從而揭示“正方形數(shù)”。教師在課堂上提供學(xué)生自主探索的時間與空間，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作探究的過程中充分體驗圖形擺放的多樣性;在“操作—反思—調(diào)整”的過程中，充分體驗用圖形表示數(shù)學(xué)算式的過程;學(xué)生在活動中對同伴擺出的圖形是否可行敢于提出質(zhì)疑，在調(diào)整圖形擺放位置的過程中勇于創(chuàng)新，在操作活動中不斷積累幾何直觀經(jīng)驗。

2. 在觀察聯(lián)系中體驗，積累幾何直觀經(jīng)驗。

幾何直觀能夠讓學(xué)生借助圖形直觀理解數(shù)的含義——以形助數(shù);用數(shù)分析圖形——以數(shù)解形，有助于學(xué)生對圖形本質(zhì)的深度挖掘。課中，由算式到圖形，再由圖形到算式，學(xué)生在深入觀察算式與圖形之間的聯(lián)系時，體驗到的不僅僅是圖形能夠表示數(shù)學(xué)算式，更是充分感受到數(shù)與形之間內(nèi)在的緊密聯(lián)系，不斷積累幾何直觀經(jīng)驗，這是學(xué)生體驗的升華。課的最后，筆者通過呈現(xiàn)“62”讓學(xué)生想象圖形的樣子，再用這幅圖形得到不同的算式。同樣一幅圖，能用不同的算式表示。角度在變，圖形不變;算式在變，結(jié)果不變。學(xué)生借助幾何圖形深入思考算式與圖形間隱藏的關(guān)系，在不斷積累幾何直觀經(jīng)驗的同時，感受數(shù)學(xué)知識“變中不變、不變中變”的神奇之處，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

二、思考，運用數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)幾何直觀意識

幾何直觀能夠使抽象的數(shù)學(xué)具體化、簡潔化、直觀化，能夠有效幫助學(xué)生分析理解題意，降低題目難度，但學(xué)生普遍缺乏主動用圖表來分析解決問題的意識與習(xí)慣。本節(jié)課，筆者以數(shù)形結(jié)合為引，拓展學(xué)生思考的深度與廣度，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與能力，培養(yǎng)幾何直觀意識，促進幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)。

1.“由數(shù)到形”深度思考，培養(yǎng)幾何直觀意識。

由數(shù)到形，學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)可以用“正方形數(shù)”表示算式，但正方形越大，奇數(shù)個數(shù)越多，越不容易算出結(jié)果。學(xué)生結(jié)合圖形思考：（1）算式中的每個數(shù)在圖形的什么位置？（2）算式中奇數(shù)的個數(shù)與圖形的什么有關(guān)？（3）如何能夠快速算出小正方形總數(shù)？（4）如何能夠快速算出算式的得數(shù)？以問題為引領(lǐng)，四個問題層層遞進，將算式結(jié)合圖形進行深度思考，在問題解決中提升學(xué)生的思維層次，發(fā)現(xiàn)算式與圖形的緊密聯(lián)系，感受以形解數(shù)的直觀性，培養(yǎng)運用幾何直觀分析與解決問題的意識與能力。

2.“由形到數(shù)”廣度思考，培養(yǎng)幾何直觀意識。

將算式結(jié)合圖形，學(xué)生在探究如何快速計算得數(shù)時，通過“橫著看”圖形的邊得到用平方數(shù)計算小正方形總數(shù)的方法。通過不同角度觀察同一圖形，進而發(fā)現(xiàn)通過“斜著看”圖形，算式“1+2+3+…+n+…+3+2+1”也能用平方數(shù)快速算出結(jié)果。如此，學(xué)生的思維廣度得以拓寬。多角度觀察思考，從同一圖形中能產(chǎn)生不同的數(shù)、不同的算式。學(xué)生不斷感受數(shù)中現(xiàn)形、形能生數(shù)、數(shù)形“形影不離”，進一步深入了解數(shù)與形間的密切聯(lián)系，使學(xué)生深刻感受到數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜的問題變得簡單，使抽象的問題變得直觀，凸顯圖形直觀的好處，強化幾何直觀意識。

三、表達，在問題解決中發(fā)展幾何直觀應(yīng)用能力

表達是思維的外顯，在教學(xué)中教學(xué)生善于表達，有助于強化學(xué)生的交流能力。運用幾何直觀分析描述問題是一種數(shù)學(xué)表達方式，它可以讓學(xué)生的表達有理有據(jù)，促進學(xué)生在表達中深入思考，在提高分析問題與解決問題的能力的同時，發(fā)展幾何直觀應(yīng)用能力。

建構(gòu)自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)環(huán)境，有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力，使學(xué)生在交流中碰撞思維，學(xué)會表達。課的最后，筆者呈現(xiàn)算式? 2+4+6+8+…=？學(xué)生借助圖形在方格紙上探究從2開始n個連續(xù)偶數(shù)的和。學(xué)生根據(jù)算式畫出大長方形，在交流時，學(xué)生介紹算式中的數(shù)在圖形中的位置。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要數(shù)大長方形長與寬邊上的小正方形數(shù)，就能用“長×寬”快速算出結(jié)果，但學(xué)生無法清楚表達如何得出最終結(jié)論。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“正方形數(shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，觀察圖形與加數(shù)個數(shù)的關(guān)系，最終發(fā)現(xiàn)偶數(shù)的個數(shù)就是寬邊小正方形數(shù)，長邊小正方形數(shù)比它多1，因此，2+4+6+8+…=n（n+1）。此時，還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，斜著看圖形可以得到一個新的算式1+2+3+…+n+n+…+3+2+1。有同學(xué)補充道：可以將算式分成兩部分看，將1+2+3+…+n中的數(shù)首尾相加，得到1+2+3+…+n=（n+1）×n÷2，因此，1+2+3+…+n+n+…+3+2+1=n（n+1），結(jié)論相同。

學(xué)生能將算式中的數(shù)在圖形中直觀呈現(xiàn)出來，但在表達如何發(fā)現(xiàn)算式、算法的過程中會遇到困難。此時，教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸圖形，在師生、生生互動中，借助幾何直觀明晰自己的思維路徑，強化表達。教師在引導(dǎo)學(xué)生回歸圖形的同時，學(xué)生的多角度觀察引發(fā)同學(xué)們再次思考，根據(jù)算式推理結(jié)論，表達有理有據(jù)。學(xué)生在結(jié)合圖形討論、交流的過程中，幾何直觀應(yīng)用能力得到了進一步強化。

（作者單位：福建省福州市錢塘小學(xué)屏北分校 ）