小學數學解決問題中幾何直觀的培養策略

藍作坤

【編者按】當前，小學階段的數學教學強化了對學生幾何直觀的培養，要求學生具備主動借助圖表描述與分析問題的意識與習慣。在教學中，教師如何優化教學過程，創設契合學生認知發展規律的學習活動，探究培養路徑，逐步發展學生的幾何直觀？本期話題一起來探討。

形缺數時難入微，數缺形時少直觀。在小學數學教學中，幾何直觀能讓抽象的問題描述直觀化，使學生能迅速、簡捷、合理地解決問題，發展良好的思維能力。因此，在小學數學解決問題教學中，教師應注重對學生幾何直觀的培養。

一、小學階段幾何直觀的內涵與教學現狀

1. 幾何直觀的內涵。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。它的應用主要包含兩個方面：一是通過幾何直觀，幫助學生感知、認識、學習幾何圖形（能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類;根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質）。二是將幾何直觀當成解決問題的路徑，打通數與形的關聯（建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型;利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路）。本文所要闡述的主要是幾何直觀在小學數學解決問題中的應用及培養策略。

小學數學解決問題的核心是思維建模，幾何直觀有助于學生把握問題的本質，明晰思維的路徑。借助幾何直觀可以使數學問題變得直觀、簡明、形象，借助幾何直觀可以建立起文本與算式的可視聯系，借助幾何直觀可以建立起一類問題的思維模型。

近些年來，我國學者對幾何直觀也進行了深入研究，如史寧中先生將幾何圖形與實際生活中的物象進行聯系，以實現對空間與數量的感知，為解決問題提供依據。徐利治先生則是將幾何直觀定義為通過問題聯系生活，以生活中的幾何圖形為載體，將幾何直觀的形象與數學問題進行對比分析，以此實現對問題中所包含數量關系的有效感知。

筆者認為，幾何直觀是一種基于空間能力的進階能力，具體表現為利用圖表對數學問題進行描述和分析、思考和想象，探索解決問題的路徑，讀出問題的結果，論證問題的結論，揭示數學的本質，發展思維能力。對于小學生而言，幾何直觀可以幫助其對解決問題進行簡單的空間描述、想象和文本轉化。

2. 與幾何直觀有關的教學現狀。

一是在日常教學中，教師往往將幾何直觀當成解決問題的橋梁，僅將其視作解決問題的工具，通過直接呈現各類圖表，為得出算式服務。這樣便會讓學生誤以為解決問題就是列出算式求出結果，忽視了幾何直觀的重要性。

二是在現行教材中，缺少必要的畫圖方法教學。因此，在學生解決問題時，缺少運用幾何直觀輔助解決問題的能力，對學生幾何直觀的培養出現缺位。

三是教師忽視了幾何直觀作為學生核心素養的重要作用，以及對學生終身發展的重要意義。由于缺乏必要的引導，很多學生在解決問題時，偏向于套用現成的概念或公式，不能“賦數于形”，缺乏使用幾何直觀解決問題的意識。

在小學數學解決問題中，幾何直觀的培養，需要在“文”“圖”“式”三種表達方式的轉化上下功夫，有序建立“文—圖—式”三者之間的聯結，最終實現三者之間的無障礙自譯和互譯。

二、解決問題背景下幾何直觀的培養策略

（一）讀圖

在學習畫圖之前，要教會學生讀圖。一是讓學生明白今后要畫的圖是什么樣的，二是建立圖與文本信息的對應關系。學生只有先看懂、識別出圖背后所隱藏的信息，在解決問題時，他們才會把題目中的信息以幾何直觀的方式加以呈現。讀圖讀什么？

1. 從圖中讀出文本，建立圖與文的聯結。

理解題意是解決問題的基礎，小學階段多數的數學問題都是以文本信息的方式呈現的，小學生受思維能力水平的影響，無法理解比較抽象的題意。我們就可以借助幾何直觀把抽象的題意與形象的圖結合起來，給抽象的數賦予直觀的形，既理解題意，又培養學生的幾何直觀。因此，教師要教會學生讀出圖中的文本信息，使學生建立文本與圖的強聯結，當題目以文本信息的形式呈現時，學生大腦中能自然映射出相對應的圖。

（1）從圖中讀出量與量的關系。

圖1是小學階段最常見的形容兩個量倍數關系的線段圖。與它相聯結的文本信息為：“男生人數是女生的3倍”或“女生人數是男生的”。三年級學習了“倍的認識”之后，我們就要經常呈現這樣的線段圖（改變量與倍數關系），讓學生直接從線段圖中讀出文本信息，建立線段圖與文本信息間的強聯結，為今后根據文本信息畫線段圖做準備。

（2）從圖中讀出問題。

在利用線段圖分析數量關系時，我們指向的往往是對具體某一個問題的解決方案。其實一幅線段圖表征的是一類題目，它可以同時解決多個問題。

如圖1，基于該線段圖可以解決4個問題：①男生有多少人？②女生有多少人？③男生（女生）比女生（男生）多（少）多少人？④男生和女生一共有多少人？這4個問題對應的就是4道題目。在以文本信息形式呈現的題目中，學生認為這4道題目是獨立的、不同的。從讀圖入手，通過教師的引導，學生就會發現這4道題目的數量關系是一樣的，因此線段圖也是一樣的。通過幾何直觀幫助學生建立一類問題間的聯結，從而建構起解決一類問題的思維模型。

2. 從圖中讀出關系，建立圖與式的聯結。

（1）從圖中讀出等量關系式。

列算式是小學階段學生解決數學問題最常用的方式，但純算式的呈現方式使得多數學生無法明白運算符號與文本信息的內在聯系。示意圖中既包含了對量的描述，也包含了對量與量之間關系的呈現。借助幾何直觀既能明晰文本信息中的隱含題意，又能讓學生清楚地看到運算符號的產生過程。因此，在讀圖時，我們除了關注量，更為重要的是提煉出圖中量與量的關系。建立圖與式的聯結，最后利用關系式使題目順利得解。從圖1中，我們就可以得出“女生人數×3=男生人數”這樣的等量關系式。在后續解題中，無論題目求哪個量（男生人數、女生人數、和或差），我們都可以利用這條等量關系式列出算式使題目得解。

（2）從圖中讀出結果。

幾何直觀不單單是解題的策略與橋梁，更為重要的是它能直接呈現問題的結果。將抽象的文本（或算式）轉化成直觀的圖呈現時，我們可以直接從圖中讀出問題的結果。

在學生剛剛接觸植樹問題時，教師不適合直接進行列算式教學，而是要讓他們先學會識別植樹問題中的各種數據。我們可以在課堂上出示示意圖（圖2），并創設不同的情境。①圖2表示在一條路上植樹。從圖中我們可以讀出：兩棵樹之間的距離是（ ）米，這條路上一共種了（ ）棵樹，這條路的全長是（ ）米。②圖2表示把一根木條鋸開。從圖中我們可以讀出：這根木條被鋸了（ ）次，被鋸成了（ ）段，鋸開后的木條每段長（ ）米，這根木條原來長（ ）米。

通過不同的情境，讓學生明白不同數據存在于示意圖中的不同位置，根據數據所處位置的不同，確定出植樹問題中的數據有兩種身份：點（數在點上）和段（數在段上）。為今后深入學習植樹問題做鋪墊。像此類問題的解決，圖畫好了，結果也就隨之呈現了，學生無需再進行繁雜的列式計算。

（二）畫圖

畫圖，是將抽象的文本、語言、算式，具體、形象、直觀化的過程。畫圖，怎么畫？

1. 抓關系句子，將文本信息轉化成圖。

我們先來看這樣一個例子。①小明獲得10朵小紅花，小紅比小明多得4朵。他們兩人一共獲得多少朵小紅花？②小紅獲得14朵小紅花，比小明多得4朵。他們兩人一共獲得多少朵小紅花？

學生畫圖時，往往會從已知量入手畫出兩種不同的線段圖。實際上這兩道題目的數量關系都是“小紅比小明多得4朵”。因此，在畫線段圖時（見圖3），我們要先抓住形容兩個量關系的句子畫出關系圖a，再將題目中的其他信息添加到線段圖中，題①添上小明的紅花朵數與問題，得到圖b，題②添加小紅的紅花朵數與問題，得到圖c。

可見，要將文本信息轉化成線段圖，并不是按題目的描述將每個句子進行逐一轉化，而是要先找出文本信息中描述兩個量關系的句子，先將關系句子轉化成關系圖，再將題目中的其他信息填充上。

2. 抓運算意義，將算式轉化成圖。

在小學階段，算式用運算符號聯結數字，是對數量關系的高度概括，通過數的運算來推演量與量之間的關系。在算式中，數的運算是表象，隱藏著的是數量關系。只關注數的運算，忽視數量關系，這樣的運算就少了意義的支撐，使運算變成了技能技法的操練。將算式轉化成圖，學生不僅可以很好地理解運算順序，同時也可以知道算式的產生過程。

學習“混合運算”時，除了通過具體情境讓學生理解運算順序外，還可以利用圖幫助學生直觀理解運算順序。在計算5+3×4時，學生受“同級運算順序”和“乘加運算順序”的影響，會出現從左往右計算的情況。將算式先轉化成圖（圖4），在圖中，我們就可以清楚地看出3×4是一個整體，因此，我們就不能將5與3直接相加。從圖中我們不僅讓學生直觀地看出了這道題的運算順序，同時還讓學生直觀地感受到5和3不能相加的原因。在后續學習運算定律時，通過畫圖，使學生更好地理解使用交換律時算式中數據如何正確交換位置。

3. 從圖到圖，將圖還原。

以文字表述的數學問題，我們都會有意識地借助圖的支架作用理解題意，但對于“圖形與幾何”領域的數學問題，卻往往忽略了對現成圖形的深挖。在學習“長方形的周長”（人教版，下同）時，我們要從現成的圖形中描出要度量的線，隨后將這一圈線通過移動的方式有序地直觀呈現在一把尺子上。接著讓學生明白周長就是這一條線段的長度，建立起周長與線段的聯系，理解周長的本質是“線”。在學習長方體的表面積時，表面積的本質是“面”，我們可以與第二單元的“觀察物體（三）”相聯結，先從立體圖形中找出它六個方向面的形狀，接著通過分組建立起求由小正方體拼成的立體圖形表面積的基本模型（圖5）。

（三）借圖

有了讀圖與畫圖的訓練，學生能將“文”“圖”或“式”轉化成對應的“圖”，以“圖”為紐帶，我們就可以幫助學生建立起“文—圖—式”三者之間的聯系。在學生能熟練轉化之后，“圖”就可以在大腦里完成，進而實現“文”與“式”的直接互化。借助“圖”，我們還可以進一步實現“文—文”“式—式”之間不同表述形式的轉化。最終讓學生具備看到任何形式的信息時，頭腦中自然呈現出對此信息其他形式的表征能力，從而真正實現“文—圖—式”三種形式之間無障礙的互譯與自譯。

六年級分數解決問題教學的核心是對含有分數的關系句進行轉化（圖6）。在解讀關系句中，教師要先讓學生從意義入手理解分數的具體含義，利用份數關系畫出線段圖;接著利用線段圖，引導學生運用已有知識對其進行多角度表征，不斷豐富學生的思維角度，通過線段圖打通不同表述方式的內在聯系，促使學生將分數乘法、分數除法、比、百分數等內容融合成一個整體。當學生能夠獨立、熟練地完成各種轉化后，他們在解決問題時就可以根據自己的喜好和當前水平選擇合適的解題方法進行解題，這時，多種方法解題也就水到渠成了。借助這樣的方式，幫助學生建立解決分數問題的思維模型。

總之，幾何直觀不單單是解決數學問題的一種手段，更是一種十分重要的數學思想。在小學數學解決問題中，通過對學生幾何直觀的培養，提升學生對各種信息的“翻譯”本領。讓學生形成利用幾何直觀解題的意識與習慣，進而通過問題的解決促進學生思維能力的發展。可見，幾何直觀為思維的升華提供了很好的路徑。

（作者單位：浙江省溫州市實驗小學）