線性離散系統狀態和未知干擾的遞歸濾波算法研究

徐迎菊，王娜，b，花玉

(青島大學 a. 自動化學院； b. 山東省工業控制技術重點實驗室，山東 青島 266071)

0 引言

在工業和機械制造業的控制系統中，動態系統的狀態是否可以被精準估計，將會影響系統運行的準確性、快速性與穩定性，如故障檢測與診斷[1]、機動目標跟蹤[2]、機器人技術[3]和鋰離子電池荷電狀態估計[4]等。與此同時，由于環境影響、模型參數選取不當、設備故障等原因，實際控制系統往往存在一些先驗知識未知的干擾。針對隨機系統未知干擾和狀態估計問題，文獻[5]提出遞歸狀態濾波器，在沒有先驗知識未知干擾的條件下進行狀態估計。基于濾波器存在的充要條件，文獻[6]將遞歸濾波器設計擴展到一般的線性組合當中，得到一般線性最小方差無偏估計，并證明其與線性遞歸濾波器都具有最優解，保證了全局最優性。文獻[4-6]僅考慮系統狀態方程中含有未知干擾時對系統狀態估計的影響，并且要求未知干擾的系數矩陣滿足列滿秩的條件。而文獻[7]則提出一種新的三步迭代濾波器，可以解決系統方程中未知干擾系數矩陣不滿秩時，經典濾波器無法使用的問題，然后將未知觀測干擾考慮到系統量測方程中，形成新的帶直通項的系統模型。文獻[8]考慮了未知干擾和線性離散系統狀態的同時估計問題，提出一種穩定性濾波算法，并對算法的穩定性條件及有效性進行了相應的分析。

上述研究均未考慮系統發生量測數據丟失和噪聲相關的情況。在無線傳感網絡中，由于傳感器故障、網絡擁塞等現象的存在會導致測量數據的丟失。文獻[9]提出用服從伯努利分布的隨機序列來描述量測缺失的現象，并基于該描述對各種狀態估計(濾波)和控制問題進行了有效的研究。特別是在實際工程應用中，還應將系統過程噪聲和量測噪聲相互關聯的問題[10]考慮到系統狀態估計中。因此，文獻[11]提出了一種基于矩陣理論運算的理想濾波器。但是推導這種濾波算法的前提條件是量測方程中未知干擾的系數矩陣列滿秩，所得結論仍具有一定的局限性。在實際應用中，系數矩陣可能不滿足列滿秩條件。

針對量測方程中未知干擾系數矩陣不滿秩的線性離散系統，考慮其量測缺失和噪聲相關的情況，本文構造了能同時估計未知干擾和系統狀態的遞歸濾波器，通過拉格朗日乘子法將待定增益矩陣的求取轉換成帶約束條件的優化問題，同時運用矩陣對角理論知識直接推導計算濾波器中待定的增益矩陣，使估計誤差協方差最小，滿足了線性最小方差無偏估計的要求，并用數值仿真驗證了該濾波算法的有效性。

1 問題描述

考慮具有未知干擾和量測缺失的一般線性離散系統：

xk+1=Akxk+Bkuk+wk
yk=δkCkxk+Dkuk+νk

(1)

式中：xk∈Rnx是系統狀態向量；uk∈Rnu是未知干擾；yk∈Rny是測量輸出；wk∈Rnx是過程噪聲；vk∈Rny是量測噪聲；δk為隨機變量；Ak∈Rnx×nx、Bk∈Rnx×nu、Ck∈Rny×nx和Dk∈Rny×nu表示具有適當維數的已知矩陣。

當量測方程中出現未知干擾時，往往假定其系數矩陣是滿秩的。此時假設未知干擾前的系數矩陣不滿秩，rank(Dk)=rk≤nu，Dk∈Rny×nu，對Dk進行滿秩分解

(2)

(3)

用隨機變量δk來模擬量測缺失現象，并服從以下概率分布

(4)

式中π∈[0,1]是給定的標量，代表量測缺失的概率是1-π，假設所有的隨機變量δk(0≤k≤N)在k中獨立。

假設噪聲信號wk和vk與初始向量x0是不相關的，并且噪聲信號wk和vk具有以下統計特性：

(5)

式中：Rw>0、Rv>0，分別表示過程噪聲協方差和量測噪聲協方差；Rwv表示過程和量測噪聲的協方差矩陣。上述的協方差矩陣都是已知的，δ(·,·)表示以下定義的克羅內克函數

(6)

由式(5)-式(6)可以看出過程噪聲wk和量測噪聲vk是相關的。本文對具有相關噪聲的系統，提出一種直接估計算法，簡化估計值的分析過程。

2 遞歸濾波器的設計與研究

本文設計最小方差無偏遞歸濾波器，該濾波器適用于具有未知干擾、量測缺失、過程噪聲和量測噪聲相關的系統。與以往的設計方法不同，假設量測方程中未知干擾前系數矩陣不滿秩。

為了同時估計未知干擾和狀態，設計以下形式的濾波器：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

證明：由于隨機變量δk與其他向量不相關，wk和vk統計特性已知，對方程(11)和方程(12)的兩側分別求期望

(13)

(14)

虛擬未知干擾估計誤差的協方差矩陣

(15)

(16)

狀態估計誤差協方差矩陣如下

(17)

其中虛擬未知干擾和狀態的估計誤差協方差矩陣

(18)

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

由矩陣行列式性質得

(28)

(29)

(30)

Mk=[Irk0]Uk

(31)

(32)

(33)

(34)

3 數值仿真分析

圖1和圖2分別是應用遞歸濾波器得到的線性系統狀態xk和未知干擾uk的估計結果圖。圖1反映了系統狀態的估計值跟隨著真實值的變化，表現出良好的濾波性能，實現對系統狀態的無偏估計。從圖2可以看出，本文提出的遞歸濾波算法對未知干擾u2能夠實現良好的估計，但是對未知輸入u1沒有產生估計效果，原因是對系數矩陣Dk進行滿秩分解后的矩陣Tk的第一列系數全為0，導致量測值輸出中沒有u1的信息。

圖1 狀態xk真實值和估計值

圖2 未知干擾uk的真實值和估計值

4 結語

本文研究了一類含有量測缺失和相關噪聲的線性離散系統狀態和未知干擾同時估計問題，其中表示量測缺失的隨機序列滿足伯努利分布，系統內噪聲相關和量測方程中未知干擾系數矩陣不滿秩。提出了一種基于直接代數運算的濾波算法，該算法在滿足未知干擾和線性系統狀態估計無偏的條件基礎上，以估計誤差協方差矩陣最小化為目的，運用相關的數學理論知識獲得濾波器中待定的增益矩陣，并通過數值仿真驗證了該濾波算法有效性。