妙用幾何，提高直觀解決問題的能力

周志穎

（蘇州市吳中區長橋實驗小學，江蘇蘇州 215128）

在小學數學教學中，學生如何解決實際問題既是教學中的重點，也是教學中的難點。在小學數學課程標準中，也對學生的幾何直觀素養提出了一定的要求。因此，如何巧妙地利用圖形描述和分析問題不僅是學生在學習中需要不斷突破的一個有效方面，也是值得教師不斷去思考研究的一個重要內容。學生在解決問題中，一道題通讀下來文字確實不少，感覺既抽象又復雜，就有種讀不明白的感覺。學生階段，他們的思維模式其實就要學由原理具體形象的思維向抽象的邏輯思維轉變，對一些抽象的問題理解起來還是有不小的困難。如果教師只是讓學生簡簡單單地去看去讀，哪怕老師講得口干舌燥，學生可能也難以理解和掌握，最后就是教學的效果也不理想。時間和精力是花了，但學生的學習效果不佳。即使學生會做了，恐怕也是局限于相同的題目類型。

而借助幾何圖形，就可以利用圖形直觀地描述和分析問題，化繁為簡，化隱為明，有助于學生形成解決問題的思路與方向，把握數學問題的本質。其實，這就是“數形結合”思想的巧妙運用，它在教學學習中發揮著重要的作用。那么，在小學數學學習中，該怎樣培養學生這方面的能力呢？

一、在嘗試中“畫一畫”，引發解題的策略和想法

通過動手操作是可以幫助學生尋找探究問題的最佳方案，為學生提供一定的解題思路與方向。所以，應該讓學生有意識地先進行操作，嘗試去畫一畫，將抽象的文字直觀化、具體化。

例題1：周爺爺去買書，買了8本童話書和3本科技書，共付140元，已知1本科技書的價錢和4本童話書的價錢一樣多，每本童話書和科技書各多少元？

學生先自己審題，讀完題目后讓他們說說自己知道了什么？大家踴躍舉手發言，提到了科技書的數量、童話書的數量，兩種不同類別書的價格關系以及它們的總價格。接著，又向大家提問，你打算怎么解決？不少學生就有點茫然不知所措了。回想了一下他們之前回答的第一個問題，大都其實就是把題目又照讀了一遍，沒有真正弄清楚這些條件所要表達的含義。因此，向學生提出建議，你能用自己的方式把這些信息清晰地表示出來嗎？就有學生立馬表示想要動手去畫一畫，寫一寫，把條件整理出來。有的用文字把題中關系描述出來，有的用圖形一一畫出來。

每個學生都有自己不同的想法和表示方法，通過自我畫圖嘗試，這里選取了其中一種較為簡單明了的表達方式。用三角形代表科技書，圓代表童話書，3本科技書和8本童話書一共140元，1本科技書的價格等于4本童話書的價格。也就是可以畫1個三角形等同于4個圓。3個三角形和8個圓排一排，用大括號括在一起，一共是140元。這樣畫了以后，學生就可以清楚地看出各個數量間的關系，自然而然就找到了解題的思路。

第①種想法：1本科技書可以替換為4本童話書，3本科技書可以替換為12本童話書，3本科技書加8本童話書就變成是20本童話書，一共是140元，可以列出算式：3×4=12（本），12+8=20（本），140÷20=7（元），每本童話書就是5元，而每本科技書就是：7×4=28（元）。

第②種想法：4本童話書可以替換為1本科技書，8本童話書可以替換為2本科技書，3本科技書加8本童話書就變成5本科技書，一共是140元，可以列出算式：8÷4=2（本），2+3=5（本），140÷5=28（元），每本科技書就是28元，而每本童話書就是：28÷4=7（元）。

當條件比較復雜時，通過幾何圖形的繪畫，經過學生們的觀察思考，他們想到了可以將科技書全部轉換成童話書或者將童話書全部轉換成科技書，也就是將兩種數量先變成一種數量來解決，找準其中的數量關系，明確解題的思路與方法。

在這種情況下，我又將題目進行了升華。

例題2：周爺爺去買書，買了3本科技書和2本童話書，一共要支付98元，如果買2本科技書和3本童話書一定要支付77元，每本科技書和童話書各多少元？

同樣讓學生先審題思考，說說題中的已知信息以及自己的打算。有了之前的解題經驗，學生們很快進入了狀態，畫出已知條件并觀察分析，嘗試找出解題的思路與方法。這里依舊采用了畫圖的表達方法。用三角形代表科技書，圓代表童話書，3本科技書的價格加上2本童話書的價格等于98元，2本科技書的價格加上3本童話書的價格等于77元。也就是可以畫3個三角形和2個圓在一起，是98元。2個三角形和3個圓在一排，大括號括在一起是77元。

學生畫完以后，發現這一道題跟之前那一道題又有點區別。不能馬上把其中一個替換成另一個了。接下來怎么辦呢？細心的同學就發現了這兩次購物，兩種類型書的數量之和都是一樣的，兩種類型書的數量差也是一樣的。這樣一想，學生解題就有了方向。

第①種想法：把兩次合起來就發現正好是5本科技書與5本童話書，它們的價格就是：98+77=175（元），所以一本科技書與一本童話書，它們的價格就是：175÷5=35（元），兩本科技書與兩本童話書的價格就是：35×2=70（元），所以一本童話書的價格就是：77-70=7（元），一本科技書的價格就是：35-7=28（元）。

第①種想法：兩次都含有2本科技書和2本童話書，所以兩次相差的價格其實就是科技書比童話書貴的價格，列出算式：98-77=21（元），也就是說一本科技書比一本童話書多付21元。現在將第二次中兩本科技書換成兩本童話書，那么總價就要比原來便宜42元，也就是變成這5本童話書的價格是：21×2=42（元），77-42=35（元），一本童話書的價格：35÷5=7（元），一本科技書的價格就是：7+21=28（元）。

第③種想法：開始與第②種想法一致，通過兩次價格相減知道一本科技書比一本童話書多付21元。現在將第二次三本童話書換成三本科技書，那么總價就要比原來增加63元，也就是變成這5本科技書的價格是：21×3=63（元），77+63=140（元），一本科技書的價格：140÷5=28（元），一本通話書的價格就是：28-21=7（元）。

學生思路受阻時，借助直觀的圖形，通過圖形間的聯系比較，把題中已知信息更加清楚明確地展示出來，輕松解決了問題，讓學生切身體會“畫一畫”的功效，開發妙用幾何的想法與策略。

二、在比較中“想一想”，進一步領悟與感受

學生在了解幾何直觀的方法與用處以后，有了一定的解題策略與意識。但要做到合理并且靈活運用，也不是一蹴而就的，很有可能陷入“為了直觀而直觀”這樣的誤區，有些不需要運用的時候依舊死命套用，而有時候需要使用的時候就忽略了。這時候就需要學生要學會比較、思考，想一想什么時候運用才是最合理的、最有效的，進一步領悟與感受幾何直觀解題的內涵，學會辨別哪種題目更加適合運用。

例題3：動物園有5只孔雀，猴子的數量再多2只就是孔雀的3倍，孔雀和猴子一共有多少只？

例題4：動物園一共有孔雀和猴子18只，猴子的數量再多2只就是孔雀的3倍，孔雀和猴子各有多少只？

例題3與例題4正好是一組對比題，初步看上去好像差不多，仔細閱讀后就會發現是不一樣的。真的是既相似，又不同。例題3是已知其中一種量，求兩種量之和。而例題4，則是已知兩種量之和，要求這兩種量各是多少，盡管數量關系是相同的，但由于已知、未知的不同，求解的方法也是不同的。

這些題目對六年級的同學來說，相對比較簡單，條件比較清晰，并沒有造成多少困擾。對于例題3，大家都能很快找到其中的數量關系，確定解題思路，那就是先求出猴子的數量，再求出總數。因此，像這道題就沒有必要特意通過畫圖分析再解答。通過閱讀題中的信息就能知道，猴子的只數是孔雀的3倍少2只，由此猴子的數量是：5×3-2=13（只），孔雀和猴子一共是：5+13=18（只）。

對于例題4，哪怕是六年級的學生，如果不細心認真對待，也有可能會做錯。所以不少謹慎的學生，在經過比較考慮后會先采用畫線段圖的方法。這也是妙用幾何的解題方法之一，可以更直觀、形象、具體地表示出題目中的數量關系，做到了化抽象為具體，便于自己更好地進行判斷。

第①種想法：此題的關鍵還是兩種量之間的數量關系，通過觀察，就能知道猴子的只數就是孔雀的3倍少2只，如果把孔雀看成是一份的話，那么猴子就該是3份少2，所以孔雀與猴子合起來一共就是4份少2，由于比4份少2只是18只，那么4份的只數就是：18+2=20（只），一份便是：20÷4=5（只），所以孔雀有5只，猴子就有：5×3-2=13（只）。

第（2）種想法：通過圖形的直觀表示，還找到了不少其他的方法，可以將孔雀設為x只，猴子就有3x-2只，根據猴子加上孔雀的數量等于18只這樣的數量關系，可以列出方程：x+3x-2=18，化簡就是4x-2=18，4x=20，求出x=5，3x-2=13。最后得到結果是孔雀有5只，猴子有13只。

題目的類型是多變的，要讓學生學會合理靈活地去運用。平時就可以通過對比題型的訓練，讓學生在不斷練習中提升自己的感悟，在什么情況下使用解決問題會變得更加有效。

在聯想中“改一改”，不斷提高運用能力。聯想是問題轉化的橋梁，它是由當前感知或思考的事物想到另一種事物上，可以將原本抽象的東西轉化成具體形象的東西。但是要做到這種轉化或改變，需要我們有意識、有目的地進行觀察、比較，找出本質的相同點，才能加以改動，變得直觀化，從而提高靈活運用幾何知識，提高自身直觀解決問題的能力。

例題5：計算二分之一、四分之一、八分之一、十六分之一的和是多少？這是蘇教版小學數學五年級下冊第七單元《解決問題的策略》中的一道題目。

開始學生遇到這種題的時候，普遍都想到了運用異分母分數加法的知識，先通分把4個異分母分數轉變成同分母分數再進行計算。我肯定了這種做法，先讓學生動手算出結果并做交流。然后又在原理的算式后面做了小小的改變，若是再添一個加數十六分之一呢？再添一個加數三十二分之一呢？這時候，大家都發現了若是老老實實去計算的話，既費時又費力，這時候就有學生提出了，有沒有更簡便的方法呢？

于是我引導大家仔細觀察這道加法分數的特點，大家發現這些分數的分子都是1，且相鄰的分數中，后面分數的分母是前面分數分母的2倍。再結合分數的意義就可以看出這里相鄰兩個加數之間，前一個是后一個的2倍，或者也可以理解為后一個是前一個的二分之一。這樣一來，通過聯想便能把這些分數轉化成圖形，把它放到圖形中表達。

經過教師的引導分析，學生們積極思考，想到可以把一張正方形紙看做單位“1”，對折后一半就是二分之一，再對折的話，那么二分之一的一半就是四分之一……一共連續對折4次，一直到最后的十六分之一。將圖與題目聯系起來就能得出，這些分數相加的和就是圖形正方形中那些代表各個分數的面積之和，而這些圖形的面積之和也可以看成用正方形的面積減去最后的部分，就能把原來的算式改成計算1減去十六分之一，結果就是十六分之十五，既方便快速又準確。

幾何直觀可以解決問題的范圍很廣，可以把文字描述轉變成圖形，也可以把某種數轉變成圖形，幫助我們搞清楚題中的數量關系，了解問題的本質。在解決問題遇到困難時，條件太多太復雜了，就可以先嘗試用自己喜歡的形式去畫一畫，在畫的過程中想一想這道題是否有必要畫圖，結合題中條件與所展示的圖畫，是否可以幫助我們更加有效正確地解答。我所畫的這種形式是否是最佳的，還可以進行怎樣的聯想，是不是要改一改，轉變成另一種可能更加方便與準確。只要帶著這種意識不斷地練習，不斷地一次一次又使用，妙用幾何，就能提高自己直觀解決問題的能力。