正負剛度并聯隔振系統建模與性能分析

朱 亮，周 濤，吳乙萬，白鴻柏，湯 宇

（1.福州大學機械工程及自動化學院金屬橡膠工程研究中心，福州 350116；2.中國人民解放軍92578部隊，北京 100161）

振動是自然界最普遍的現象之一，在許多工程技術領域中，振動是有害的，為了減小工程中的有害振動，需要對減隔振方法進行相關研究[1-3]，常用的方式是在振源和基礎之間安裝隔振器。隔振器一般分為被動隔振器和主動控制隔振器，被動隔振器由于其結構簡單、經濟性好而被廣泛運用。然而傳統的被動線性隔振系統僅對中-高頻帶的振動具有較好的隔振效果，對低頻振動卻難以有效控制[4-6]。由傳統被動線性隔振理論可知，只有當外界干擾的頻率大于隔振系統固有頻率的 2 倍時[7]，隔振器才會起到隔振作用。雖然通過降低隔振系統的剛度能夠降低其固有頻率，拓寬隔振頻帶，但這會導致隔振系統的剛度降低，使隔振系統的承載力和穩定性變差。從而導致傳統的被動隔振器在解決重型裝備的低頻減振問題時無法得到有效的應用。

正負剛度并聯隔振系統是在線性隔振系統的基礎上并聯一個負剛度元件，負剛度元件可以降低隔振系統的剛度，由正剛度彈簧提供承載力。這種隔振系統不僅具有較低的固有頻率，同時還具有較高的承載能力，在重載低頻工況下具有良好的減振能力，彌補了傳統被動隔振系統的不足。

近年來，許多學者對正負剛度并聯機構進行了理論與試驗研究，并研制出了多型實用的隔振器。Meng等[8-9]將單片碟形彈簧與線性彈簧并聯，設計了一種準零剛度（Quasi-Zero Stiffness，QZS）隔振器，并研究了QZS 隔離器的特性以及過載或欠載對其隔離性能的影響；Liu等[10]設計了一種壓縮桿式準零剛度隔振單元，建立了6自由度準零剛度隔振平臺；Wu 等[11]利用三塊方形永磁鐵的相互作用力得到非線性的負剛度結構，并對其負剛度特性進行了分析；王迎春等[12]研制了雙環永磁體型和三磁體型高靜低動隔振器，分析諧波位移激勵下隔振器的隔振性能，并與等效線性隔振系統的傳遞特性進行對比，驗證了隔振系統低頻隔振性能的優越性；汪宏斌等[13]介紹了兩種典型的正負剛度并聯超低頻非線性隔振器，研究了兩種隔振器的非線性剛度參數對隔振器準零剛度特性的影響；時培成等[14]利用連桿彈簧負剛度機構與正剛度彈性元件并聯，設計了一種具有準零剛度的座椅懸架系統，基于NSGA-Ⅱ算法對懸架系統進行結構參數優化，有效減小了振動響應的幅值；鄧澤華等[15]在線性隔振系統中并聯負剛度雙穩定復合材料層合板，使系統在靜平衡位置附近處的剛度降低。文獻調研結果表明，已有隔振系統僅在平衡位置有較低的固有頻率，無法承受重載、大幅度變形，且需與額外的阻尼器配合使用。現有方案無法兼顧大載荷、大變形、低頻、阻尼耗能等性能，因此需要對正負剛度并聯機構進行進一步研究。

本文針對重型裝備的低頻減振問題，考慮到隔振系統的小空間、大行程要求，選用對合碟形彈簧作為負剛度元件，選用伸長比較大的矩形彈簧作為正剛度彈性元件，設計了一種具有低剛度特性的重載低頻隔振器，建立正負剛度并聯隔振系統簡化模型及其動力學微分方程，通過數值計算和仿真分析驗證隔振系統的動態性能，搭建力傳遞率測試平臺，驗證所建動力學模型的正確性與合理性。

1 正負剛度并聯機構剛度匹配

1.1 碟形彈簧靜力學特性

圖1為碟形彈簧的結構示意圖，h為碟簧的自由高度，H為碟簧的總高，t為碟簧的厚度，d、D分別為碟簧的內徑和外徑。碟簧具有理想的非線性特性，其計算方法一般采用美國學者Almen 和Laszlo于1936年提出的近似解法（簡稱A-L 解）[16]，本文選用的為無支撐面的碟簧，則其載荷位移關系式為：

圖1 碟形彈簧示意圖

F為碟簧所承受的載荷，E為彈性模量，μ為泊松比，f表示碟簧的變形大小，通常不超過0.75h～0.8h，C為碟簧外徑與內徑之比，C=D/d，K1與K′1表示兩個系數，通常對于C=1～4，有K1=K′1，因此式（1）可以簡化為：

載荷F對變形f進行求導，求得單片碟簧的剛度為：

令f/t=η，高厚比h/t=?給定系數：，則碟簧的剛度計算公式為：

由式（6）可得，碟簧的載荷變形特性曲線受高厚比?的影響最大，如圖2所示。具體為：

圖2 碟簧特性曲線與高厚比的關系

（1）當?≈時，特性曲線將會出現一段接近水平的區域，在此區域內碟簧的剛度接近于零；

（2）當?＞時，會逐漸出現負剛度區域；

（3）當?＞時，負剛度區域將會變得更大。

1.2 正負剛度并聯機構

如圖3 所示，將對合碟形彈簧與正剛度矩形彈簧并聯，由對合碟簧組和矩形彈簧共同承載。

圖3 正負剛度并聯隔振系統

對合碟簧組各碟簧之間相互串聯，忽略各碟簧之間的摩擦力，故對合碟形彈簧組所承受的載荷Fp,總變形量fp和剛度Kp分別為：

其中：n表示對合碟簧的個數。正負剛度并聯隔振系統的載荷位移關系式為：

正負剛度并聯隔振系統的剛度ksum為：

將式（6）代入式（9）得：

2 隔振系統動力學分析

2.1 等效彈簧力

本文選定碟簧的參數：外徑D=100 mm，內徑d=50 mm，厚度t=1.75 mm，內錐高度：h=3.4 mm，采用A型無支承面彈簧，并且采用5 片碟簧對合串聯，與矩形彈簧并聯。材料彈性模量E=2.06×105，泊松比μ=0.3，根據其內外徑之比C=D/d=2 可以查表得到[16]系數K1=0.694。矩形彈簧的剛度ks=157 N/mm。

將上述選定參數帶入式（8），可以得到正負剛度并聯機構的載荷-位移曲線，為便于對隔振系統進行動力學分析，利用MATLAB擬合工具箱對其進行擬合，可以得到隔振系統的等效彈簧力，設等效彈簧力為Fk，擬合的等效彈簧力參數如表1所示。

表1 等效彈簧力參數

如圖4 所示，參數擬合的等效彈簧力與目標載荷位移曲線具有較好的重合度，可用于正負剛度并聯結構的動力學分析。

圖4 MATLAB擬合工具箱擬合結果

2.2 隔振系統數學模型

正負剛度并聯隔振系統的簡化模型如圖5 所示。質量M表示需要進行隔振的各種振源（如設備、工作機械等），正剛度矩形彈簧k+和負剛度碟形彈簧k-相互并聯，在靜平衡位置處同時起到支撐作用，使得整個系統具有較高的承載力。P（t）表示設備產生的激振力，c為隔振系統的阻尼系數。

圖5 正負剛度并聯隔振系統簡化模型

設正負剛度并聯隔振系統在靜載下的變形為xst，由于隔振系統由碟形彈簧和矩形彈簧共同承載，則靜力平衡方程為：

如圖5 所示，對正負剛度并聯隔振系統進行受力分析，建立隔振系統的運動微分方程：

其中：P（t）為隔振系統受到的簡諧激勵力：

對微分方程式（14）進行簡化計算得：

正負剛度并聯隔振系統在簡諧激振力P（t）的作用下，其響應頻譜中高次諧波位移與基頻諧波位移之比一般小于1%，故設隔振系統的變形為：

由式（16）可以得到變形速度（t）、加速度（t）：

將變形速度（t）、加速度（t）的具體表達式式（17）、式（18）代入系統運動微分方程式（15）。根據諧波平衡法，sin（ωt-φ）、cos（ωt-φ）項前的系數相等（一次諧波平衡，忽略直流項及高次諧波），可得到以下非線性方程組：

根據三角關系式：

可由式（19）、式（20）推出如下高次超越代數方程：

滯后相角φ的表達式為：

用Newton迭代法求解式（22）可得xm，然后根據式（23）計算滯后相角，即可得系統在簡諧力激勵下的穩態周期響應。

2.3 隔振系統力傳遞率

令Pf(x,,t)表示傳遞到基礎的力，其為彈簧力和阻尼力之和：

其中：

式中：

則正負剛度并聯隔振系統簡諧力激勵時對基礎的力傳遞率：

3 模型求解與分析

3.1 數值求解

隔振系統的載荷質量為m=400 kg，正負剛度并聯機構的等效彈簧力參數如表1 所示，臨界阻尼系數：

式中：ksum為并聯機構的剛度（由圖4 可知，在額定載荷時為396 590 N/m）。阻尼比計算公式為：

本文選取低剛度金屬橡膠作為阻尼元件，其阻尼比常介于0.05～0.15 之間，選取阻尼比為0.15，由式（31）可得阻尼系數為c=3778 N·s/m，選取外部掃頻激勵P=100 sin（ ωt）作為外界激勵（0.1 Hz～200 Hz），通過式（29）可求得外部掃頻激勵下力傳遞率的頻響曲線。

如圖6所示，由數值求解的結果可知，該正負剛度并聯隔振系統在5.3 Hz 時產生共振，隔振起始頻率為7.5 Hz，表明該隔振系統具有較優的低頻隔振性能。

圖6 外部正弦掃頻激勵時隔振系統的力傳遞率頻響曲線

3.2 仿真求解

為了驗證正負剛度并聯機構的隔振效果，建立正負剛度并聯結構的動力學仿真模型，對該系統分別采用正弦掃頻信號和隨機信號進行激勵。仿真條件為：正弦掃頻激勵信號，掃頻幅值為100 N，掃頻范圍0.1 Hz～200 Hz，仿真結果如圖7所示；

圖7（a）為外部掃頻激勵的時域信號P0，圖7（b）為外部掃頻激勵傳遞至基礎的載荷的時域信號Pf0，圖7（c）為外部掃頻激勵時力傳遞率的頻域信號。由仿真結果可知，在正弦掃頻激勵輸入下，所設計的正負剛度并聯機構的最大共振峰出現在5.3 Hz 左右，隔振起始頻率小于8 Hz。該仿真結果與理論分析的結果具有較高的重合度，驗證了理論分析的正確性。

圖7 隔振系統正弦掃頻激勵下的時域響應及頻域響應

圖8（a）為外部隨機激勵的時域信號P0，圖8（b）為外部隨機激勵時傳遞至基礎的載荷的時域信號Pf0，圖8（c）為外部隨機激勵時力傳遞率的頻響曲線。由仿真實驗可知，正負剛度并聯機構的固有頻率較低（5 Hz～6 Hz），隔振起始頻率約為7.2 Hz，因而對于外界的寬頻帶的振動具有良好的隔振效果。隨機激勵下系統的共振點、隔振起始頻率與數值計算和正弦掃頻的結果均具有較高的重合度，進一步證明了該剛度并聯機構具有良好的低頻隔振效果。

圖8 隔振系統隨機激勵下的時域響應及頻域響應

4 力傳遞率性能試驗

為驗證所設計的隔振系統的實際隔振效果，對隔振系統進行力傳遞率試驗。力傳遞率試驗臺架如圖9 所示，本次試驗選用杭州億恒科技有限公司生產的EJZK-50型電磁激振器作為振源，激振器通過激振桿與配重塊剛性連接，激振器與激振桿之間安裝有動態力傳感器測量輸入的外部擾動力，在隔振器與基礎之間安裝一個動態力傳感器測量傳遞至基礎的振動水平。

圖9 隔振系統試驗臺架

本文所設計的隔振系統的額定承載質量為400 kg，試驗條件為：由激振器輸出正弦激勵，幅值范圍為70 N～110 N，掃頻范圍5 Hz～200 Hz，掃頻速率1oct/min。

圖10 所示為隔振系統在不同激勵幅值下的力傳遞率曲線，由力傳遞率曲線可知該隔振系統在100 N 的正弦激勵下其1 階共振頻率約為5.4 Hz，這與前文數值解和仿真解的5.3 Hz 基本吻合；出現的誤差是由試驗儀器的誤差以及阻尼元件的實際阻尼系數跟理論給定的阻尼系數有所差異引起的。

圖10 隔振系統力傳遞率響應曲線

由試驗結果可知，隨著外界激勵幅值逐漸增大，隔振系統的1 階共振頻率逐漸降低，峰值力傳遞率逐漸增大，說明該隔振系統在重載工況下（400 kg）具有較好的低頻隔振能力。

5 結語

本文將正剛度矩形彈簧和負剛度碟簧相互并聯，研制了一種重載低頻被動隔振系統，并構建了隔振系統的動力學模型，得到其數值解和仿真解，并搭建其力傳遞率試驗臺架，通過掃頻試驗驗證隔振系統的隔振性能。主要結論如下：

（1）對建立的動力學模型進行簡化數值求解得到隔振系統的力傳遞率曲線，隔振系統的共振頻率約為5.3 Hz，說明該隔振系統具有較低的固有頻率。

（2）對低頻被動隔振系統進行仿真分析，得到其在掃頻激勵和隨機激勵下的力傳遞率曲線，兩種激勵下隔振系統的共振頻率都在5 Hz～6 Hz 之間，跟數值計算結果重合度較高，表明該分析方法的有效性。

（3）不同激勵幅值的掃頻試驗所得到低頻被動隔振系統的1 階共振頻率為5 Hz～6 Hz，在不同激勵幅值下隔振系統均具有較低的固有頻率和較寬的隔振頻帶，進一步驗證了所設計的隔振系統的低頻隔振性能。