基于XFEM的諧波減速器柔輪裂紋擴(kuò)展行為研究

薛棟文 徐 洋 解國(guó)升 趙言正 劉積昊

（1 東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

（2 上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240）

0 引言

諧波減速器具有傳動(dòng)比大、運(yùn)行穩(wěn)定、傳動(dòng)精度高及負(fù)載能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、航空航天、能源及精密機(jī)床等高精領(lǐng)域[1-2]。通常，諧波減速器是由波發(fā)生器、柔輪、剛輪等基本構(gòu)件組成。諧波齒輪傳動(dòng)的主要失效形式有柔輪疲勞斷裂、柔性軸承損壞、齒面磨損等。其中，柔輪疲勞斷裂占總失效形式的60%以上[3]。局部微裂紋的形成及擴(kuò)展是引發(fā)柔輪斷裂的主要原因[4]。因此，研究柔輪的裂紋形成及裂紋擴(kuò)展特性，有助于掌握柔輪裂紋生長(zhǎng)規(guī)律，預(yù)測(cè)剩余壽命。

目前，關(guān)于諧波減速器柔輪的疲勞裂紋研究主要集中在裂紋形成原因及對(duì)諧波傳動(dòng)性能的影響方面，對(duì)于柔輪的裂紋擴(kuò)展研究，可查閱文獻(xiàn)較少[4-6]。現(xiàn)階段，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)直齒圓柱齒輪等剛性齒輪的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行了研究，分析了裂紋形狀、載荷對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展及疲勞壽命的影響[7-9]，這些研究方法和成果已較為成熟。但是，柔輪裂紋擴(kuò)展分析與剛性齒輪有所不同。剛性齒輪齒形較大，裂紋形貌和擴(kuò)展方向相對(duì)固定；而柔輪是一種撓性部件，齒圈位于薄壁末端，齒形細(xì)密，不易斷齒，其裂紋擴(kuò)展涉及齒圈、筒體及凸緣，受諧波傳動(dòng)、幾何形變等多種因素影響。因此，柔輪的裂紋擴(kuò)展規(guī)律異于剛性齒輪，隨機(jī)性更為顯著。

本文中以某型號(hào)諧波減速器為研究對(duì)象，建立柔輪應(yīng)力分析模型，確定柔輪應(yīng)力集中的參數(shù)；采用有限元仿真軟件分析應(yīng)力最大區(qū)域，在應(yīng)力最大結(jié)點(diǎn)引入微小角裂紋；依據(jù)裂尖應(yīng)力場(chǎng)參量，分析裂紋擴(kuò)展的趨勢(shì)和能力；基于擴(kuò)展有限元方法，對(duì)柔輪的疲勞裂紋擴(kuò)展行為進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)；最后，通過(guò)柔輪加速壽命試驗(yàn)驗(yàn)證了裂紋擴(kuò)展特性。

1 柔輪結(jié)構(gòu)與應(yīng)力計(jì)算

1.1 柔輪結(jié)構(gòu)及材料屬性

如圖1所示，諧波減速器的柔輪為中空翻邊形標(biāo)準(zhǔn)筒式結(jié)構(gòu)。柔輪材料為合金鋼，彈性模量E=2.06×105MPa，泊松比μ=0.28，質(zhì)量密度ρ=7 800 kg/m3，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 柔輪結(jié)構(gòu)Fig.1 Flexspline structure

表1 柔輪結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of flexspline

1.2 柔輪應(yīng)力集中位置確定

如圖2（a）所示，柔輪應(yīng)力可基于圓柱殼體的力矩模型，在一定假設(shè)下求出[10]206，并根據(jù)實(shí)際加載情況對(duì)應(yīng)力計(jì)算進(jìn)行修正。圖2（b）所示為柔輪變形的端面輪廓。其中，筒體中面半徑rm=24.795 mm，長(zhǎng)軸處最大徑向位移w0=0.5 mm，嚙合區(qū)角β=30°。基于殼體中面應(yīng)變?yōu)?的假設(shè)，在殼體微元上的內(nèi)力只有在z和φ方向的彎矩和轉(zhuǎn)矩MZ、Mφ、MZφ。

圖2 柔輪等效模型Fig.2 Equivalent model of flexspline

MZ引起的沿母線方向的修正正應(yīng)力為

Mφ引起的沿周向的修正正應(yīng)力為

MZφ引起的沿z和φ方向的修正剪應(yīng)力為

轉(zhuǎn)矩T所產(chǎn)生的修正剪應(yīng)力為

式中，Kd為動(dòng)載系數(shù)；KM為柔輪應(yīng)力增長(zhǎng)系數(shù)；Ku為剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)；Cσ為正應(yīng)力系數(shù)；Cτ為剪應(yīng)力系數(shù)。

諧波減速器額定壽命較長(zhǎng)，因此，采用3 倍額定負(fù)載進(jìn)行理論計(jì)算、仿真及加速實(shí)驗(yàn)。由文獻(xiàn)[10]213-233查表得該工況下各應(yīng)力系數(shù)，如表2所示。

表2 應(yīng)力模型修正系數(shù)Tab.2 Stress model correction parameters

根據(jù)式（1）、式（2），柔輪正應(yīng)力與z成正比。令z=l時(shí)，柔輪端面處應(yīng)力最大。

2 柔輪三維建模及裂尖應(yīng)力參量獲取

由等效柔輪應(yīng)力模型初步確定應(yīng)力集中位置為柔輪齒端面。通過(guò)有限元仿真，建立柔輪載荷優(yōu)化模型，進(jìn)一步對(duì)應(yīng)力集中位置進(jìn)行分析，確定微裂紋引入結(jié)點(diǎn)，進(jìn)而可獲得表征裂紋擴(kuò)展能力的各項(xiàng)參量。

2.1 載荷模型優(yōu)化

圖3（a）所示為柔輪受載示意圖。柔輪的主要受載有：在柔輪內(nèi)壁由波發(fā)生器迫使柔輪變形而產(chǎn)生的徑向載荷P；在柔輪齒圈由柔輪與剛輪齒嚙合而產(chǎn)生的齒面載荷F。圖3（b）所示為柔輪應(yīng)力分布云圖。

圖3 柔輪載荷模型Fig.3 Load model of flexspline

2.2 裂尖應(yīng)力場(chǎng)參量獲取與分析

通過(guò)仿真獲得柔輪的最大應(yīng)力結(jié)點(diǎn)，在該位置引入微小裂紋。其中，引入的切片半徑為0.5 mm，圓心位于最大應(yīng)力結(jié)點(diǎn)，垂直于柔輪齒端面，如圖4所示。利用M 積分[11]可求得裂尖從點(diǎn)A（內(nèi)表面）到點(diǎn)B（外表面）的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ、KⅡ、KⅢ和J積分。

圖4 微裂紋引入及截面示意圖Fig.4 Schematic of microcrack introduction and section

應(yīng)力強(qiáng)度因子表征了材料外力作用下物體裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度，顯示了裂紋擴(kuò)展的能力。

KⅠ描述了由正應(yīng)力引起的應(yīng)力集中，是表征應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)弱的主要參量。圖5 所示為裂尖由點(diǎn)A到點(diǎn)B的KⅠ分布圖。

圖5 裂尖KⅠ分布Fig.5 KⅠdistribution of crack tip

Ⅱ型裂紋來(lái)源于剪應(yīng)力破壞，裂紋平行于裂紋擴(kuò)展方向。KⅡ用來(lái)預(yù)測(cè)裂紋扭轉(zhuǎn)角度，以確定裂紋前緣的擴(kuò)展方向。圖6 所示為裂尖由點(diǎn)A到點(diǎn)B的KⅡ分布圖。

圖6 裂尖KⅡ分布Fig.6 KⅡdistribution of crack tip

Ⅲ型裂紋來(lái)源于剪應(yīng)力破壞，裂紋垂直于裂紋擴(kuò)展方向。KⅢ可描述剪應(yīng)力集中程度。圖7 所示為裂尖由點(diǎn)A到點(diǎn)B的KⅢ分布圖。

圖7 裂尖KⅢ分布Fig.7 KⅢdistribution of crack tip

圖8 裂尖J積分分布Fig.8 J-integral distribution of crack tip

J 積分是由Rice J R[12]提出的一個(gè)圍繞裂尖并與路徑無(wú)關(guān)的守恒積分，用來(lái)描述裂尖局部集中應(yīng)力、應(yīng)變場(chǎng)強(qiáng)度平均值的參量。KⅠ、KⅡ、KⅢ與J 積分關(guān)系為

J積分在近A端約1/5處最小，該位置附近出現(xiàn)KⅡ峰值，裂紋最先擴(kuò)展。J積分在B端達(dá)到最大，且KⅠ、KⅢ最大，裂紋附近的應(yīng)力集中于柔輪外表面。

3 基于XFEM 的裂紋擴(kuò)展

擴(kuò) 展 有 限 元（Extended finite element method，XFEM）是一種模擬分析斷裂力學(xué)問(wèn)題的有效方法[13-14]，其在保留傳統(tǒng)有限元算法優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，能夠獨(dú)立于網(wǎng)格剖分解決裂紋擴(kuò)展問(wèn)題，不需要對(duì)裂紋形成區(qū)域和擴(kuò)展輪廓進(jìn)行局部網(wǎng)格細(xì)化。

3.1 模型簡(jiǎn)化

由于XFEM 只能采用四邊形或六面體網(wǎng)格，且不支持自適應(yīng)網(wǎng)格。因此，計(jì)算時(shí)將柔輪模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，將齒圈以當(dāng)量圓環(huán)代替，刪除柔輪模型中的倒角、圓角及工藝孔。

3.2 增量步對(duì)裂紋路徑的影響

增量步大小直接使相同工況下同一位置的裂紋擴(kuò)展路徑隨即改變。載荷施加時(shí)，若某一增量步經(jīng)有限次迭代后仍不收斂，則將增量步大小調(diào)整為當(dāng)前的0.25 倍，重新迭代。若初始增量步設(shè)置過(guò)大，易導(dǎo)致結(jié)果不收斂；設(shè)置過(guò)小，則時(shí)間成本過(guò)高。圖9、圖10 所示為初始增量步大小分別為0.01 和0.001時(shí)的裂紋擴(kuò)展路徑仿真結(jié)果。

圖9 初始增量步為0.01的裂紋仿真圖Fig.9 Simulation of cracks with initial increment=0.01

圖10 初始增量步為0.001的裂紋仿真圖Fig.10 Simulation of cracks with initial increment=0.001

圖9、圖10中應(yīng)力分布結(jié)果與第2.2節(jié)裂尖應(yīng)力場(chǎng)分析結(jié)果一致，裂紋附近的應(yīng)力分布明顯集中于外表面。裂紋的總體擴(kuò)展趨勢(shì)相同，增量步大小對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的隨機(jī)差異性的影響顯著。

4 疲勞裂紋實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證柔輪XFEM 仿真裂紋擴(kuò)展路徑與實(shí)際的差異，搭建了諧波減速器加速壽命試驗(yàn)臺(tái)，通過(guò)采用3倍負(fù)載加速破壞的方式得到裂紋的擴(kuò)展路徑。

4.1 諧波減速器加速壽命試驗(yàn)臺(tái)搭建

如圖11所示，試驗(yàn)臺(tái)主要由變頻電機(jī)、聯(lián)軸器、諧波減速器、磁粉制動(dòng)器等4部分組成。變頻電機(jī)型號(hào)為ABB80M2.4.6P-B3，其額定功率為1.1 kW，額定轉(zhuǎn)矩為3.5 N·m，額定轉(zhuǎn)速為2 845 r/min；聯(lián)軸器采用膜片式，型號(hào)為CPDW50-19-19；磁粉制動(dòng)器采用蘭菱FZ1000J/Y，額定轉(zhuǎn)矩為1 000 N·m，許用轉(zhuǎn)速為1 000 r/min。

圖11 諧波減速器加速壽命試驗(yàn)臺(tái)Fig.11 Accelerated life test bench of harmonic reducers

4.2 破壞形態(tài)與裂紋擴(kuò)展

該系列諧波減速器的額定壽命在9 000 h，需利用過(guò)載實(shí)驗(yàn)加速破壞。負(fù)載設(shè)定為3倍額定轉(zhuǎn)矩，轉(zhuǎn)速為2 000 r/min。表3所示為6組加速實(shí)驗(yàn)的測(cè)試時(shí)長(zhǎng)。

表3 6組實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Experimental results of 6 groups

圖12 所示分別為加速壽命測(cè)試后得到的6 組柔輪裂紋擴(kuò)展路徑。

圖12 中，前4 組實(shí)驗(yàn)裂紋均與圖9 中吻合。前3組實(shí)驗(yàn)的裂紋擴(kuò)展路徑與長(zhǎng)度相似；實(shí)驗(yàn)4的柔輪齒根及筒底與凸緣交界面出現(xiàn)了間斷裂紋，兩段裂紋沿同一母線，與圖9結(jié)果一致。

圖12 柔輪的損傷形態(tài)圖集Fig.12 Damage morphology atlas of flexspline

圖12 中，實(shí)驗(yàn)5 的柔輪裂紋較短，其主要損傷表現(xiàn)為筒體內(nèi)壁磨損，磨損區(qū)域與圖10 中的主應(yīng)力區(qū)域重合；實(shí)驗(yàn)6的裂紋擴(kuò)展路徑與圖10吻合。

分析裂紋路徑與仿真結(jié)果可知，柔輪裂紋擴(kuò)展經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段：

（1）沿齒圈母線開(kāi)裂。在齒圈區(qū)域，受柔輪齒形的限制，波發(fā)生器長(zhǎng)軸處對(duì)柔輪的徑向變形作用大于轉(zhuǎn)矩造成的周向變形作用，裂紋沿軸向徑直開(kāi)裂。實(shí)際上，由于輪齒間隙相比于輪齒較薄，裂紋在齒根處開(kāi)裂沿柔輪母線至齒圈結(jié)束位置。

（2）沿筒體周向開(kāi)裂。裂紋擴(kuò)展至無(wú)齒區(qū)域，受輪齒形狀限制減弱，裂紋沿扭轉(zhuǎn)方向開(kāi)裂，擴(kuò)展路徑第一次出現(xiàn)明顯偏折。由應(yīng)力云圖（圖3（b））可知，筒體中段為應(yīng)力較小區(qū)域，相比于齒圈和筒底，裂紋軸向擴(kuò)展趨勢(shì)明顯，擴(kuò)展路徑第二次出現(xiàn)明顯偏折。實(shí)際裂紋在擴(kuò)展至此段時(shí)也都出現(xiàn)了不同程度的偏折。

（3）沿凸緣偏折。裂紋擴(kuò)展至凸緣處時(shí)，再次進(jìn)入應(yīng)力較大區(qū)域，主要裂紋類型逐漸由III 型裂紋變?yōu)镮型裂紋。裂紋向端面的應(yīng)力較大位置偏折。

5 結(jié)論

以某型號(hào)諧波減速器為研究對(duì)象，探究了柔輪裂紋擴(kuò)展行為。基于圓柱殼體的力矩模型，建立柔輪應(yīng)力分析模型，確定了柔輪應(yīng)力集中的參量；采用有限元軟件重點(diǎn)對(duì)應(yīng)力最大區(qū)域進(jìn)行分析，通過(guò)引入裂紋并分析裂尖應(yīng)力場(chǎng)參量，表征了裂紋擴(kuò)展能力；最后，基于XFEM 模擬裂紋擴(kuò)展路徑，對(duì)疲勞裂紋擴(kuò)展行為進(jìn)行了仿真和預(yù)測(cè)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了仿真的正確性。得到以下結(jié)論：

（1）柔輪裂紋最易出現(xiàn)在柔輪齒根部分及筒體與凸緣交界位置，且總是沿應(yīng)力最大路線進(jìn)行擴(kuò)展。

（2）裂紋尖端處應(yīng)力更集中于柔輪外表面，裂紋由近內(nèi)表面5分位點(diǎn)處最先擴(kuò)展。此外，仿真中增量步大小對(duì)裂紋路徑的隨機(jī)差異性影響顯著。

（3）裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，首先沿齒圈母線開(kāi)裂，隨后因細(xì)微載荷差異，主應(yīng)力區(qū)域變化不同，對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑出現(xiàn)多次偏折的位置和程度影響不同。