鉛筆畫出的電阻
——簡(jiǎn)單紙基柔性電子元件的性質(zhì)探究

汪雋琪,周惠君,王寅龍

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

近年來(lái)隨著可穿戴電子設(shè)備發(fā)展，柔性電器件因靈活、輕薄、便攜等優(yōu)點(diǎn)受到廣泛關(guān)注. 目前，柔性電子器件的制作方法有使用復(fù)合材料體系制作[1]和通過(guò)液態(tài)金屬印刷方法構(gòu)建[2]等，這些方法相對(duì)復(fù)雜且成本較高. 而鉛筆作為廣泛使用的書寫工具，具有獲取方式簡(jiǎn)單，成本低的優(yōu)點(diǎn)，鉛筆芯中的主要成分為石墨，其性質(zhì)穩(wěn)定，畫在紙上留下的痕跡能夠?qū)崿F(xiàn)柔性電子器件相關(guān)功能.

由于石墨電導(dǎo)率比金屬低，因此在紙基電子器件中難以起到導(dǎo)線的作用，但因其具有壓阻效應(yīng)等性質(zhì)，可以被制成各類電子器件[3-5]. 鉛筆畫出的痕跡可以作為廉價(jià)的、易于獲取的電阻器. 作為電阻器，需要較為精確地控制畫出的導(dǎo)線的電阻值，本文探究了畫出的電阻與痕跡的幾何參量(長(zhǎng)與寬)、劃線次數(shù)、環(huán)境溫度以及紙張基底對(duì)鉛筆痕跡阻值的影響，測(cè)試了鉛筆導(dǎo)線電阻在反復(fù)彎曲后的變化情況. 并且在考慮紙張粗糙度對(duì)鉛筆磨損的影響下，使用滲流模型在理論上建立了合理的半定量模型，解釋了紙張基底對(duì)鉛筆痕跡阻值的影響.

1 理論解釋

1.1 劃線模型

由于單次劃線鉛筆磨屑量較少，且受施力大小等因素影響較大，所以需要考慮在第1次涂抹所留痕跡上進(jìn)行多次涂抹后阻值的變化，基于此考慮構(gòu)建劃線相關(guān)理論.

劃線模型有2個(gè)基本假設(shè)：1)一次劃線后鉛筆磨屑能夠形成厚度為h的涂層；2)劃過(guò)原有涂層蹭掉的鉛筆磨屑比例為r. 根據(jù)這2個(gè)假設(shè)建立差分關(guān)系：Δt=h-rt，將其連續(xù)化，得到厚度與劃線次數(shù)的關(guān)系為

該曲線圖像如圖1所示，其中h=2 000 nm,r=0.3，隨著劃線次數(shù)的增加，h-1(正比于電阻)迅速減小并趨于穩(wěn)定.

由于各種原因，劃線過(guò)程中r和h不能保證完全不變，而是具有一定的分布，這就導(dǎo)致最終厚度趨于穩(wěn)定時(shí)，在平衡位置附近有小的波動(dòng).取均勻分布，計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果如圖2所示，相關(guān)參量的期望值E(h)=2 000 nm,E(r)=0.3,h分布的半寬度dh=500 nm,r分布的半寬度為dr=0.05，測(cè)得的電阻隨劃線次數(shù)的增加應(yīng)該遵循：

(1)

實(shí)驗(yàn)部分將會(huì)驗(yàn)證該規(guī)律，同時(shí)對(duì)該規(guī)律為后文實(shí)驗(yàn)探究提供了有效的控制變量的手段.

圖1 厚度與劃線次數(shù)關(guān)系

圖2 計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果

1.2 滲流模型

鉛筆粉末由粘土和石墨粉末構(gòu)成，作為基底的紙張具有一定的微觀結(jié)構(gòu)，所以畫在紙張上的鉛筆痕跡并不能當(dāng)作金屬固體，其表現(xiàn)出的電阻率也不是常量.電流流過(guò)鉛筆磨損下來(lái)附著在紙上的石墨顆粒的過(guò)程，類似于水滲透砂石的過(guò)程，石墨顆粒類似砂石中可以被水通過(guò)的縫隙，能夠使得載流子定向遷移，而粘土和紙張上凹凸不平的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的無(wú)法連通的空隙就充當(dāng)了砂石.

在此模型中，本質(zhì)上是未連通區(qū)域、石墨顆粒和粘土顆粒三介質(zhì)問(wèn)題，可以簡(jiǎn)單地使用直接測(cè)量鉛筆芯的電導(dǎo)率，而非石墨的電導(dǎo)率.將石墨顆粒和粘土顆粒合并為1個(gè)對(duì)象即鉛筆磨屑，將問(wèn)題簡(jiǎn)化為基本的二維滲流問(wèn)題,如圖3所示.

對(duì)于一般二元混合物的滲流問(wèn)題，McLachlan給出了混合物電導(dǎo)率和組分的體積分?jǐn)?shù)以及2種組分的電導(dǎo)率之間的關(guān)系[6]：

(a)連通概率較低

對(duì)于本文考慮的問(wèn)題，空隙為電導(dǎo)率較低的組分，其電導(dǎo)率為0，σH為鉛筆芯的電導(dǎo)率.化簡(jiǎn)可以得到

(2)

對(duì)于二維滲流模型，fc=1/2，f為電導(dǎo)率較低的組分體積分?jǐn)?shù)，即空隙數(shù)占總鍵數(shù)的比例，統(tǒng)計(jì)上來(lái)講有

f=1-P,

(3)

其中，P為連通概率.將紙張視為二維格點(diǎn)(圖4)，在每個(gè)格點(diǎn)上賦予紙張高度，當(dāng)該點(diǎn)處覆蓋的鉛筆磨屑厚度超過(guò)相鄰兩格點(diǎn)紙張高度差時(shí)即可連通.

為了計(jì)算出概率P，假設(shè)鉛筆磨屑在每一格點(diǎn)上附著的厚度相同，紙張每一格點(diǎn)的高度遵循高斯分布.該假設(shè)下連通概率為

(4)

其中，t為鉛筆磨屑厚度，sd為紙張高度高斯分布標(biāo)準(zhǔn)差(表征紙張的粗糙度).誤差函數(shù)

圖4 紙張格點(diǎn)化示意圖(導(dǎo)通判據(jù)為t≥|h2-h1|)

在其他條件相同的情況下探究紙張粗糙度對(duì)電阻的影響，紙張粗糙度更大，鉛筆磨損量更大，形成的厚度也更大.絕對(duì)光滑的紙張無(wú)法附著鉛筆磨屑，非常粗糙的紙張對(duì)鉛筆磨損極大，使得紙張粗糙表面完全被鉛筆磨屑覆蓋，從而導(dǎo)致最后鉛筆痕跡厚度與紙張粗糙度無(wú)關(guān)，基于以上分析給出厚度與紙張粗糙度的關(guān)系為

t=t0(1-e-sd/s),

(5)

其中，t0為與紙張粗糙度無(wú)關(guān)的最大磨損厚度，s為引入的常量.

由式(2)～(5)和電阻公式可以給出電阻與紙張粗糙度的關(guān)系為

(6)

代入?yún)⒖紨?shù)值得到電阻隨粗糙度變化曲線如圖5所示.

圖5 鉛筆痕跡電阻隨紙張粗糙度的變化

2 實(shí)驗(yàn)探究

2.1 實(shí)驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)儀器：數(shù)字萬(wàn)用表(UT890C+型)、中華牌101高級(jí)繪圖鉛筆、數(shù)顯恒溫水浴鍋、測(cè)溫溫差電偶、溫度濕度計(jì)、刻度尺以及其他輔助用品.

待測(cè)鉛筆痕跡在確定線長(zhǎng)、線寬條件下反復(fù)涂抹至阻值幾乎不再變化時(shí)，記錄該條件下的阻值，阻值可通過(guò)萬(wàn)用表歐姆檔直接測(cè)量. 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中監(jiān)控溫度濕度計(jì)保證實(shí)驗(yàn)溫度濕度保持不變. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6和表1所示.

(a)2H

表1 式(1)實(shí)驗(yàn)擬合與理論公式結(jié)果

2.2 鉛筆痕跡電阻的固體電阻定律的探究

固體電阻定律為：

(7)

其中，l為長(zhǎng)度，d為寬度，t為厚度.改變鉛筆痕跡的長(zhǎng)度和寬度，痕跡導(dǎo)線仍然滿足固體電阻定律，即電阻與長(zhǎng)度成正比，與寬度成反比，如圖7所示.

(a) 鉛筆痕跡電阻隨長(zhǎng)度變化

2.3 鉛筆痕跡電阻與溫度的關(guān)系

將一定長(zhǎng)度和寬度的紙基鉛筆電阻放在干燥容器中，電極與數(shù)字萬(wàn)用表歐姆檔相連，容器留小孔置于數(shù)顯恒溫水浴鍋中，將溫差電偶與電阻置于容器中同處位置，隨著溫度的升高，每隔一段時(shí)間記錄溫度與阻值. 結(jié)果如圖8所示，電阻隨溫度的上升而下降，這與石墨的導(dǎo)電特性有關(guān)(不同于具有正溫度系數(shù)的金屬，鉛筆粉末的導(dǎo)電部分實(shí)質(zhì)是石墨).

(a) 2B

2.4 鉛筆痕跡電阻與紙張粗糙度的關(guān)系

由于紙張粗糙度難以測(cè)量，選用了4種粗糙度差異明顯的紙張，按光滑到粗糙依次為：銅版紙、國(guó)譽(yù)牌A4拍紙本紙、得力牌A4打印紙以及牛皮紙. 相同環(huán)境條件下，顯微鏡下紙的結(jié)構(gòu)如圖9所示.

(a) 牛皮紙 (b) 得力牌A4打印紙

對(duì)于同一鉛筆，在4種紙上涂抹相同尺寸的痕跡，重復(fù)3次實(shí)驗(yàn)，每個(gè)電阻測(cè)量4次,測(cè)量數(shù)據(jù)如表2所示，可知電阻隨著紙張粗糙度的變化，先下降后上升，符合理論分析. 這意味著存在最佳粗糙度的紙張，在痕跡長(zhǎng)度與寬度相同的條件下，重復(fù)劃線直至穩(wěn)定時(shí)電阻有最小值.

表2 不同鉛筆在粗糙度不同的紙張上穩(wěn)定時(shí)單位寬度的阻值

2.5 重復(fù)彎曲對(duì)于鉛筆畫出導(dǎo)線電阻的影響

對(duì)于柔性電子器件，在多次彎曲后的性能變化是值得關(guān)注的. 通過(guò)將畫有鉛筆導(dǎo)線電阻的紙張包裹在圓柱上實(shí)現(xiàn)控制彎曲程度的方式，使用國(guó)譽(yù)牌牌紙本紙張作為襯底，使用4B，2B，HB，2H型號(hào)的鉛筆. 每張紙上有3個(gè)相同型號(hào)鉛筆繪制的電阻導(dǎo)線，共彎曲200次，前100次中，每反復(fù)彎曲20次測(cè)量一次電阻,后100次中，只記錄結(jié)束時(shí)的電阻，結(jié)果如表3所示.

表3 不同鉛筆在相同條件下反復(fù)彎曲后阻值的變化

從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于重復(fù)彎曲對(duì)鉛筆導(dǎo)線電阻的影響隨機(jī)性較大，在前100次阻值并沒(méi)有表現(xiàn)出隨彎曲次數(shù)的增加有規(guī)律地變化，但在進(jìn)行200次彎曲后相對(duì)初始值均有不同程度的增加，這是由于石墨附著在紙張上的結(jié)構(gòu)反復(fù)彎曲，產(chǎn)生疲勞效應(yīng)最后被破壞的結(jié)果. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)硬度最高的2H型號(hào)鉛筆繪制的導(dǎo)線反復(fù)彎曲后阻值更加穩(wěn)定，這可能與鉛筆的粘土含量有關(guān)，因此推斷適量的粘土含量有助于穩(wěn)定附著在紙張上石墨的結(jié)構(gòu).

3 結(jié) 論

本文利用鉛筆在紙上涂抹痕跡，構(gòu)造了簡(jiǎn)單的紙基柔性電阻器，研究了在第一次產(chǎn)生痕跡上反復(fù)涂抹后阻值隨涂抹次數(shù)的變化，得到了電阻器阻值隨涂抹次數(shù)增加迅速下降并在穩(wěn)定值附近波動(dòng)的結(jié)果. 利用控制變量法進(jìn)一步研究阻值與痕跡的長(zhǎng)度和寬度的關(guān)系，結(jié)果符合固體電阻定律. 本文從理論上分析了鉛筆痕跡阻值隨基底紙張粗糙度的增大而先下降后增大，并從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了這一結(jié)論. 最后，測(cè)試了紙基柔性電阻器在反復(fù)彎曲下的性能，發(fā)現(xiàn)2H型號(hào)鉛筆繪制的電阻在測(cè)試下表現(xiàn)出更好的性能.