假定旋轉坐標系下的永磁同步電機無位置傳感器算法研究

儲劍波， 陶楷文， 朱葉

(1.南京航空航天大學 自動化學院， 江蘇 南京 211106； 2.航空工業金城南京機電液壓工程研究中心，江蘇 南京 211106)

0 引 言

在多電飛機電動環境控制系統中，高速永磁同步電機(high speed permanent magnet synchronous motor,HSPMSM)是驅動壓氣機進行環控的核心部件[1]，出于可靠性考慮，控制系統往往會配備一套無位置傳感器算法以應對位置傳感器故障情況。由于電動環控HSPMSM系統具有寬調速范圍、重載、大慣量特點，因此無位置傳感器算法參數的調節十分關鍵，不理想的參數極易導致系統發生振蕩,無位置傳感器算法的參數設計研究至關重要。

高速無傳感器算法一般通過計算永磁同步電機中含有位置信息的磁通或反電勢電氣量間接實現角度與轉速觀測，常用的觀測器包括擴展卡爾曼濾波法[2]、滑模觀測器[3-4]、模型參考自適應觀測器等。具有參數自適應的擴展卡爾曼濾波法近年來被廣泛研究[5-6]，在迭代運算中計算測量值與預測值波動情況，實時修正誤差協方差矩陣。該類算法復雜度高，且參數初值設置仍然具有難度，難以在高控制頻率，大功率工況下應用。滑模觀測器法具備參數整定方案基礎，高頻開關函數設計簡單、容易實現。然而，高速工況下滑模觀測器的抖振現象使得系統控制穩定性變差，一般需要在觀測器中加入濾波器去除噪聲，減少抖振。文獻[7]將Sigmoid函數引進滑模觀測器來抑制抖振，省去了濾波環節和相位補償環節，與傳統滑模觀測器相比抖振有所減少，但是犧牲了算法的滑動特性。此外，近年來還有學者提出超扭滑模算法[8-9]，高頻開關變量保證了觀測所得擴展反電勢(extended back EMF,EEMF)能夠收斂至實際EEMF，且新的積分部分降低了抖振現象，該類算法主要缺點在于待設計參數多，系統建模困難，復雜度較高，且帶有濾波特性的開關函數會導致觀測信號相位延遲，造成位置信息觀測誤差。

文獻[10]提出了一種假定旋轉坐標系下的無位置傳感器算法，并在額定功率與轉速分別為75 kW、27 000 r/min的高速永磁同步電機上進行了實驗驗證。該方法通過構造假定旋轉坐標系，建立與實際d-q軸電壓方程關系獲取角度誤差量，再通過鎖相環進行位置信息重構，提取角度與轉速信息。該方法結構簡單，位置信息誤差量直接輸入至鎖相環，無需進行任何濾波處理，不會帶來抖振與觀測量相移問題。針對該方法，本文提出一種基于觀測器傳遞函數分析與基于系統小信號模型的穩定性分析[11]相結合的參數設計方案，并利用模糊控制器對算法進行改進，得到具有參數自適應功能的假定坐標系下的無傳感器控制方法。所提改進方法復雜度低，整定方案簡單，且動穩態性能得到提升。在實際電動環控用HSPMSM系統中得到了驗證。

1 基于假定坐標的控制方法

d-q軸旋轉坐標系中永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor, PMSM)的電壓方程為

(1)

式中：vd、vq分別為d、q軸電壓；id、iq分別為d、q軸電流；Ld、Lq分別為d、q軸電感；Rs為定子電阻；ψf為永磁體磁鏈；ωe為轉子電角速度。

圖1 永磁同步電機模型

將式(1)[12]重寫為

(2)

經過上述數學處理后，將電壓方程變換到γ-δ估計旋轉軸坐標系下，得到

(3)

(4)

(5)

位置觀測器正常運行過程中，Δθe項為無窮小量，因此式(4)存在以下近似關系：

(6)

并且忽略反電勢中的微分項，γ軸反電勢可以進而表示為

eγ=vγ-Rsiγ+ωeLiδ。

(7)

γ軸反電勢含有角度誤差信息，利用角度誤差通過鎖相環進行位置信息重構。最終位置觀測器方案框圖如圖2所示。

圖2 假定坐標下的位置觀測器

2 位置觀測器參數整定

2.1 傳遞函數參數分析

由圖2可得，位置觀測器的開環傳遞函數為

(8)

由開環傳遞函數可知位置觀測器為典型的Ⅱ型系統[13]。將傳遞函數寫為關于阻尼比ξ與自然頻率ωn參數的關系式，替代PI環參數，寫出閉環傳遞函數為

(9)

式中阻尼比與自然頻率和位置觀測器比例積分參數存在以下關系：

(10)

確定阻尼比ξ：在位置觀測過程中，更希望觀測穩定，不產生超調與振蕩且允許存在一定角度滯后，根據極點分布特性可知，選取臨界阻尼或過阻尼狀態時，系統時間響應無振蕩，單調上升，此時阻尼比選取ξ=1或ξ>1。

給定輸入為單位斜坡，自然頻率ωn為1 rad/s，由圖3(a)可得，選取0<ξ<1時，系統內存在振蕩情況，收斂較慢。ξ=1時，系統無振蕩，單調上升且收斂快速，對比選取ξ=1更為合適。由圖3(b)可得，當ξ>1時，調節時間更快且同樣無振蕩，而相比于ξ=1收斂較慢，綜合考慮針對位置觀測器阻尼比ξ選取為1時更優。

圖3 不同阻尼時的斜坡響應

確定自然頻率ωn：針對不同轉速運行狀態，由式(10)閉環傳遞函數，可得該二階系統斜坡與加速度時間響應函數。在ξ=1下單位斜坡響應時間函數與單位加速度響應時間函數分別如式(11)與式(12)所示。

單位斜坡響應為

R(t)=-t·(e-ωn·t-1)。

(11)

單位加速度響應為

(12)

給定斜坡與加速度時間響應函數衰減項都與自然頻率正相關，自然頻率ωn越大，衰減越快，則觀測器響應越快。此外，當系統輸入為加速度函數時，系統存在直流偏置，且該直流偏置的大小與自然頻率直接相關。同時，對于Ⅱ型系統，加速度響應存在穩態誤差，當輸入加速度函數C(t)=R·t2時，穩態誤差為

(13)

綜上可得，自然頻率ωn越大，觀測器響應越快，且穩態誤差越小，針對該觀測器而言，在確定的阻尼比ξ=1下，選取更大的ωn系統性能更優。然而觀測器局部結論并不完全適用于系統，ωn的增大會對系統造成負面影響，下文對基于該算法的HSPMSM系統進行小信號模型穩定性分析。

2.2 位置觀測器下系統穩定性分析

在位置觀測器局部分析基礎上，進一步確定參數范圍。電機系統為非線性系統，穩定性分析需將非線性系統進行局部線性化。通過選取穩態工作點，施加小擾動信號，建立用于穩定性分析的線性模型。

2.2.1 非線性模型

PMSM模型狀態方程為：

(14)

式中：p為微分算子；J為轉動慣量；P為電機極對數；TL為負載轉矩。

轉速環PI控制器狀態方程：

(15)

式中Kps，Kis分別為轉速環比例與積分系數。

d軸電流環PI控制器的狀態方程：

(16)

式中Kpd、Kid分別為為轉速環比例與積分系數。

q軸電流環PI控制器的狀態方程：

(17)

式中Kpq、Kiq分別為轉速環比例與積分系數。

位置觀測器中轉速估算狀態方程：

(18)

引入一階低通濾波器減少估算轉速高頻噪聲。速度估算經過低通濾波器輸出，為

(19)

估計角度的誤差表達式為

(20)

電機運行在穩態時，各個變量微分值為0，于是可以求解各參數穩態值。

2.2.2 線性模型

通過在穩態情況下對系統施加小擾動，系統中的各變量將在穩態值附近產生一定的增量，將狀態方程中的狀態量都表示為線性增量，即可得到用于小信號分析的線性模型。將式(14)進行小信號模型處理，其表達形式為：

(21)

式中As和Bs以及BT如下，其中：

as1=

在小擾動信號下，角度估測誤差被認為是無窮小量，于是兩坐標軸電壓電流關系為

(22)

將式(22)代入式(15)～式(20)，整理成矩陣形式，得到狀態變量方程為：

(23)

式中Aw和Ax以及Br如下：

同時將PMSM中的輸入量Δus也表示為狀態變量形式：

Δus=FwΔw+FxΔxs+FrΔr。

(24)

其中：

整合式(21)、式(23)、式(24)可得系統線性狀態方程為

(25)

2.2.3 穩定性分析

以位置觀測器自然頻率參數作為變量，繪制其特征根軌跡，分析系統性能。選取阻尼比ξ=1，此時位置觀測器PI參數為：

(26)

采用id=0的矢量控制方法，電流環閉環帶寬設置為1 000 Hz，轉速環閉環帶寬設置為10 Hz，轉速環濾波設置為300 Hz。選取穩態工作點，當電機運行在旋轉角速度為45 000 r/min，負載轉矩為6 N·m的情況下，根據電機方程，計算出各理論值。認為在穩定工作時，d-q軸電流與估計旋轉軸γ-δ軸電流一致，估算角度誤差Δθe作為無窮小量。將位置觀測器中的自然頻率ωn從0 rad/s逐漸增大至455 rad/s，繪制HSPMSM系統的特征根軌跡圖。

由式(25)可知，對于每個給定自然頻率ωn有8個特征根解，其中6個均為負實數根，只有1對共軛特征根。再結合所繪制的特征根軌跡圖，4個負實數根不隨自然頻率變化而變化，另外2個負實數特征根隨自然頻率增大遠離虛軸，不影響系統穩定性。只有唯一一對共軛特征根影響整個系統穩定性，圖4繪制了共軛特征根軌跡中的其中一條，作為主導特征值進行分析。由主導特征值變化趨勢可知，系統輸出轉速響應隨著自然頻率ωn的上升，先是遠離虛軸，隨后出現拐點開始靠近虛軸，拐點即為圖4中標記的ωn=115 rad/s處。繼續升高自然頻率ωn，系統特征根向虛軸逼近得越來越快，當ωn>450 rad/s時特征根移動至右半平面。

圖4 基于變自然頻率參數的特征根軌跡圖

綜上可得，當0≤ωn≤450 rad/s時系統極點分布均在左半平面，根據李雅普諾夫穩定性判據可知系統穩定。

2.3 參數穩定范圍確定

通過觀測器局部分析，在斜坡轉速給定的情況下，存在角度固定誤差，且該穩態誤差與轉速給定斜率R及自然頻率ωn相關。轉速上升斜率由工程需求所決定，通過設定最大角度誤差eexp，確定自然頻率范圍，為

(27)

系統輸入給定轉速上升斜率為10 000(r/min)/s，要求角度誤差范圍控制在電角度15°以內，由式(27)求得自然頻率帶寬范圍ωn≥63.55 rad/s，再由系統根軌跡圖可知，穩態狀況下自然頻率最大為450 rad/s系統能夠保持穩定，為保證動態角度誤差在期望值以內且系統穩定要保證63.55≤ωn≤450 rad/s，該范圍即為位置觀測器參數最終選取范圍。

3 基于模糊PI的鎖相環設計

確定參數選取范圍后，最優參數難以選取。局部傳函分析可知，升速過程存在穩態角度誤差，而大功率下系統角度誤差導致功角減小，電流升高，效率下降明顯，針對動態升速更希望取較大自然頻率保證觀測精度。系統穩定性分析可知，自然頻率進一步升高向虛軸靠近，李雅普諾夫第二定理可知系統高頻噪聲增加，導致穩定性變差。基于分析所得參數特性與選取范圍，利用模糊PI控制器替代鎖相環中傳統PI控制器，針對系統不同運行狀況調節位置觀測器自然頻率，達到算法參數自適應目的。應用于無位置傳感器中的模糊PI控制器如圖5所示。

圖5 模糊PI控制器框圖

1)輸入輸出量選取。

位置觀測器中的模糊PI控制器采取的是雙輸入單輸出結構，原理更為簡單。其輸入為角度誤差的與角度誤差的導數，輸出為位置觀測器的自然頻率ωn。角度誤差Δθe的物理論域為[-π/24，π/24]，角度誤差變化率等效為轉速誤差波形，認為在電機運行過程中位置觀測器估計轉速能夠穩定跟蹤實際轉速，則該輸入量物理論域就是觀測器高頻噪聲帶來的，設置為[-3 000，3 000]。輸出物理論域選取為特征根軌跡升速期望點至穩定范圍上限值即[63,450]。

2)量化因子與比例因子的確定。

模糊論域的選取決定了量化因子與比例因子。模糊論域的選取直接決定了控制器設計的復雜程度，更大范圍的模糊論域意味著更高的控制精度，相應也帶來了較大的設計難度，反之小范圍模糊論域設計則會使得控制器精度變差與系統響應速度增快。考慮到HSPMSM系統高頻特性，在保證一定的控制精度情況下，算法越精簡越有利于減小控制系統執行壓力，因此盡可能降低模糊控制器的復雜度是設計目標之一，因此，權衡快速性與精度考慮，選取模糊論域為[-3,3]。則量化因子分別為72/π和1/500，比例因子為387/6。

3)隸屬函數的選取與控制規則設計。

隸屬函數常用的有高斯型、三角形、梯形三種，其中三角隸屬函數曲線坡度最陡，具有更高的分辨率，控制靈敏度也更好，適用于既要保證快速性又要盡量減小算法復雜度的HSPMSM系統，因此選用三角函數作為控制器隸屬函數。圖6給出了典型的不同自然頻率下位置觀測器角度誤差波形圖，依據此圖設計模糊規則。

圖6 典型不同自然頻率下角度誤差響應

OA段：電機升速，角度估計誤差迅速增大，與此同時角度估計誤差導數也達到最大，此時若自然頻率偏小，角度誤差響應出現較大波動，且收斂緩慢，需要快速增大自然頻率ωn提高響應速度降低角度誤差。

AB段：升速過程中已經達到穩定跟蹤，角度誤差不再波動，此時適當減小自然頻率的增長。

BC段：系統達到給定轉速，位置觀測器再次處于振蕩狀態，在經歷OA段自然頻率的調整過后，若振蕩依舊偏大則繼續擴大自然頻率值該階段結束，即系統收斂。若OA段自然頻率被調節至偏大狀態，系統會迅速收斂至給定轉速，且此時角度誤差高頻振蕩，導致轉速波動加劇，也就是角度誤差導數變大，此時應該緩慢減小自然頻率，保證轉速收斂的情況下穩態性能自適應至最優。

CD段：轉速已達到給定轉速且振蕩結束，此時角度誤差接近為零，若自然頻率偏大則角度誤差導數偏大，須進一步降低自然頻率，當模糊控制器輸入均控制在零附近時不再調節觀測器參數。

模糊規則表如表1所示，圖7為模糊規則對應可視圖。

表1 ωn的模糊控制規則表

圖7 模糊規則可視圖

4 仿真驗證

在MATLAB/Simulink中對該方法進行了模型搭建和仿真研究，仿真中的電機參數和各調節器參數與穩定性分析中的各參數一致。

轉速上升斜率為10 000 (r/min)/s，目標轉速45 000 r/min，給定不同自然頻率ωn觀測角度誤差波形，如圖8所示。

圖8 角度誤差與自然頻率關系圖

圖8中分別選取了三個不同的自然頻率值ωn=80、ωn=115，ωn=150 rad/s，利用式(13)計算得出理論穩態角度誤差值分別為0.164、0.08、0.06 rad，仿真結果與理論對應。

給定ωn=450 rad/s，仿真情況如圖9所示。轉速能夠收斂至給定值，然而轉速誤差與角度誤差出現高頻振動，穩定性差。當選ωn=480 rad/s時，系統出現發散情況。此外，選取自然頻率450 rad/s應用于實際系統中時，系統由于高頻振動直接出現了發散情況，該參數僅能用在仿真中且此時轉速波動較大。

圖9 臨界穩定ωn=450 rad/s下輸出波形圖

選取ωn=80、115、215、315 rad/s，轉速給定45 000 r/min時，不同自然頻率對轉速波動情況與角度波動情況的影響。由圖10和圖11可知，自然頻率的升高，轉速波動加劇，角度都在0 rad上下波動觀測結果準確。自然頻率選為315 rad/s時，轉速波動達到了160 r/min，繼續增高自然頻率轉速波動更為劇烈。

圖10 自然頻率與轉速誤差關系圖

圖11 自然頻率與角度誤差關系圖

將模糊PI應用于無位置傳感器算法觀測器，與傳統PI進行仿真對比研究。由圖12(a)可知，傳統PI下，ωn=115 rad/s時穩態時轉速波動在20 r/min內，升速過程中波速誤差在200 r/min左右，輸出轉速動穩態運行性能良好。而ωn=450 rad/s時穩態轉速波動達到1 800 r/min，波動劇烈，動態升速誤差也達到了800 r/min，全速段運行效果差。基于模糊PI的無傳感器算法在升速過程中轉速波動在200 r/min以內，穩態運行過程中轉速波動僅有20 r/min，無論在動態升速還是穩態運行過程中都有良好的運行效果。

由圖12(b)可得，選取ωn=450 rad/s時動態升速與穩態運行過程中角度誤差都在0.01 rad以內，角度觀測準確，然而高頻噪聲劇烈。ωn=115 rad/s時，動態升過程中角度誤差較大，達到0.1 rad(5.7°)，穩態運行時角度觀測準確。基于模糊PI的無傳感器算法在動態升速過程中角度誤差約為0.02 rad，同時穩態運行時位置觀測準確。由此可得，改進算法能夠兼顧動態與穩態下的位置估算精度并且幾乎不存在高頻噪聲。

圖12 傳統PI與模糊PI對比圖

5 實驗結果

5.1 實驗平臺

在額定功率、轉速分別為60 kW、45 000 r/min的電動環控用離心壓氣機上進行了驗證實驗。離心壓氣機電機如圖13所示，最終的加載試驗平臺如圖14所示。

圖13 電動環控用高速永磁電機

圖14 加載試驗平臺

5.2 參數設計及算法驗證

實驗參數的選取基于理論推導，阻尼比ξ=1，自然頻率變化范圍在63≤ωn≤450 rad/s。空載狀態下，給定速度從1 000 r/min升至20 000 r/min，上升斜率為10 000(r/min)/s，給定自然頻率分別為ωn=115、215、315 rad/s，由圖15可知在給定轉速上升斜率不變的情況下，自然頻率平方與動態升速時角度估計誤差成正比關系。

當自然頻率選為ωn=115 rad/s時，升速時角度誤差約為0.12 rad(即8°)，轉速穩定后波動控制在100 r/min。自然頻率選為ωn=215 rad/s時，動態角度誤差0.08 rad(即4.6°)，穩態轉速波動也能夠控制在100 r/min內，與理論相對應。隨著自然頻率的變大，當自然頻率選為ωn=315 rad/s時，由圖15(c)可知角度誤差幾乎為0，然而轉速波動增大明顯，高頻噪聲劇烈。進一步提高自然頻率ωn至430 rad/s，系統出現了發散情況，與參數設計分析所得邊界值有所差異，其原因在于仿真建模不夠準確，未考慮實際存在的非線性因素。

圖15 不同自然頻率下轉速與角度誤差波形圖

利用模糊PI代替位置觀測器算法中的傳統PI，實際轉速與角度誤差波形圖如圖16所示。圖17為40 000 r/min下實際角度與估計角度對比圖。最終能夠保證在動態升速時角度誤差控制在0.5°以內，并且穩態轉速波動控制在±0.02%。

圖16 模糊PI轉速與角度誤差波形圖

5.3 帶載實驗

對該方法進行帶風機類負載實驗。電機額定轉速為45 000 r/min，由于負載偏大，最終電機穩定運行在40 000 r/min，功率達到55 kW。圖17為30 000、40 000 r/min下的估算角度波形、AB線電壓波形、A相電流波形。

圖17 實際角度與估計角度波形

圖18 高速帶載實驗

6 結 論

針對基于假定坐標系的無位置傳感器算法的參數設計方案進行了研究。提出了位置觀測器傳遞函數與基于系統小信號模型的穩定性分析相結合的參數選取方案。利用分析所得參數特性制定模糊規則，提出具有參數自適應功能的假定坐標系下無位置傳感器算法。所提改進控制策略有效降低了位置觀測器參數調節難度，提高了系統動穩態性能。在高速大功率HSPMSM系統中進行了實驗驗證，證明了所提策略有效性。