追溯數(shù)列的函數(shù)之源

蔣曉東

北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心 100021

追溯數(shù)列本源

數(shù)列其實(shí)是一個(gè)很古老的話題，在人類(lèi)文明誕生最早的四大文明古國(guó)——中國(guó)、巴比倫、古希臘、古印度的歷史文獻(xiàn)中都有著對(duì)數(shù)列的記載.數(shù)列的產(chǎn)生源于人類(lèi)生產(chǎn)生活的需要，當(dāng)人類(lèi)的祖先想用一組數(shù)按照一定順序記錄某種變化過(guò)程或表示某一類(lèi)事物時(shí)，數(shù)列就產(chǎn)生了.

古往今來(lái)，無(wú)論東方還是西方，數(shù)列始終是數(shù)學(xué)研究的重要問(wèn)題之一，教科書(shū)上說(shuō)數(shù)列是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，現(xiàn)在用記號(hào)an來(lái)表示數(shù)列的第n項(xiàng)，那么數(shù)列一直以來(lái)就被視為特殊的函數(shù)嗎？記號(hào)an又是怎么來(lái)的呢？

在19世紀(jì)末，美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家費(fèi)歇爾（G.E.Fisher，1863—1920）等在《代數(shù)基礎(chǔ)》中首次采用了帶有下標(biāo)的記號(hào)［1］，將數(shù)列表示為a1，a2，a3，…，an，將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式分別寫(xiě)成an=a1+（n－1）d，Sn=n（n－1）d，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式分別寫(xiě)成

事實(shí)上，在歐拉給出函數(shù)解析式定義并引入函數(shù)記號(hào)后的漫長(zhǎng)時(shí)間里，函數(shù)并非數(shù)學(xué)教科書(shū)中的核心概念，而數(shù)列卻始終是代數(shù)教科書(shū)的重要內(nèi)容之一，數(shù)列與函數(shù)風(fēng)馬牛不相及.到了20世紀(jì)，函數(shù)概念成了中學(xué)數(shù)學(xué)課程核心概念后，數(shù)列才逐漸被視為特殊的函數(shù).只是當(dāng)數(shù)列被視為函數(shù)后，數(shù)列通項(xiàng)的符號(hào)才應(yīng)運(yùn)而生.

揭示函數(shù)特征

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》把數(shù)列作為函數(shù)主題的內(nèi)容之一，指出：數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象，是研究其他類(lèi)型函數(shù)的基本工具，在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用.因?yàn)閿?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，是定義在正整數(shù)集或其子集上的特殊函數(shù)，因此處理數(shù)列的函數(shù)特征——單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，可以考察數(shù)列前后兩項(xiàng)的關(guān)系，也可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)處理.

1.數(shù)列的單調(diào)性及最值問(wèn)題

（1）遞增數(shù)列的定義：如果數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足an＜an+1，那么稱(chēng)數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列；

（2）遞減數(shù)列的定義：如果數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足an＞an+1，那么稱(chēng)數(shù)列｛an｝為遞減數(shù)列.

數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其單調(diào)性的判斷與研究也是特別的，只需要研究相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系即可.解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題可用以下三種方法：其一，用作差比較法，根據(jù)an+1-an的符號(hào)判斷數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；其二，用作商比較法，根據(jù)與1的大小關(guān)系及an的符號(hào)進(jìn)行判斷；其三，結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀判斷，注意自變量取值為正整數(shù)這一特殊條件.

例1已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=，試判斷｛an｝的單調(diào)性.

分析：本題考查前后兩項(xiàng)的大小關(guān)系，可用作商比較法.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的刻畫(huà)方式：①考查前后兩項(xiàng)的大小關(guān)系，本題用的是作商比較法；②構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

例2已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=n2+kn+2，且數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列.求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析：本題考查前后兩項(xiàng)的大小關(guān)系，可用作差比較法，也可用函數(shù)的單調(diào)性.

解法1：因?yàn)閿?shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，所以an+1-an＞0.于是an+1-an=（n+1）2+k（n+1）+2-（n2+kn+2）=2n+1+k＞0.取n=1，得k＞-3.

解法2：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2+kx+2.因?yàn)閿?shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，所以函數(shù)f（x）在［1，+∞）上遞增.由二次函數(shù)的頂點(diǎn)知-，所以k＞-3.

點(diǎn)評(píng)：例1用的是作商比較法，而例2用的則是作差比較法.本題容易產(chǎn)生的錯(cuò)解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2+kx+2，由數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列得函數(shù)f（x）在［1，+∞）上遞增，得出-k≤1，解得k≥-2.事實(shí)上，只需-即可.

例3已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=，則它的前n項(xiàng)中最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？最小的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

分析：要判定數(shù)列項(xiàng)的最大值和最小值，可以先判定數(shù)列的變化規(guī)律，再根據(jù)數(shù)列的變化規(guī)律考慮數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).因?yàn)閿?shù)列和函數(shù)有很多可以相通的地方，所以數(shù)列問(wèn)題可以借助函數(shù)進(jìn)行解決，但數(shù)列并不等同于函數(shù)，因此要注意二者的區(qū)別.若從函數(shù)角度解決問(wèn)題，則需要將數(shù)列問(wèn)題抽象為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行解題.

2.可表示為an+1=f（an）形式的遞推數(shù)列的單調(diào)性

定理1：設(shè)an+1=f（an），若y=f（x）在某指定連續(xù)區(qū)間D上單調(diào)遞增，對(duì)于任意an∈D.

（1）當(dāng)a1＜a2時(shí)，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)a1＞a2時(shí)，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞減.

此處用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)探究：

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak+1＞ak成立，由于y=f（x）單調(diào)遞增，可得f（ak+1）＞f（ak），即ak+2＞ak+1；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak+1＜ak成立，由于y=f（x）單調(diào)遞增，可得f（ak+1）＜f（ak），即ak+2＜ak+1.

這說(shuō)明數(shù)列的單調(diào)性取決于數(shù)列的前兩項(xiàng)a1，a2的大小關(guān)系，所以，當(dāng)a1＜a2時(shí)，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增；當(dāng)a1＞a2時(shí)，數(shù)列｛an｝單調(diào)遞減.

定理2：設(shè)an+1=f（an），若y=f（x）在某指定連續(xù)區(qū)間D上單調(diào)遞減，對(duì)于任意an∈D.

（1）當(dāng)a1≠a2時(shí)，數(shù)列｛an｝為擺動(dòng)數(shù)列；

（2）當(dāng)a1＜a3時(shí)，數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞增，｛a2n｝單調(diào)遞減；

（3）當(dāng)a1＞a3時(shí)，數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞減，｛a2n｝單調(diào)遞增.

證明：（1）當(dāng)a1＜a2時(shí)，由于y=f（x）單調(diào)遞減，所以f（a1）＞f（a2），即a2＞a3.所以數(shù)列｛an｝為擺動(dòng)數(shù)列.同理，當(dāng)a1＞a2時(shí)，數(shù)列｛an｝為擺動(dòng)數(shù)列.因此，當(dāng)a1≠a2時(shí)，數(shù)列｛an｝為擺動(dòng)數(shù)列.

（2）當(dāng)a1＜a3時(shí)，由f（a1）＞f（a3）知a2＞a4，由于y=f（x）的定義域和值域均為D，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)f（f（x））在D上單調(diào)遞增，所以f（f（a1））＜f（f（a3）），即a3＜a5.又f（a3）＞f（a5），即a4＞a6.由數(shù)學(xué)歸納法易證數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞增，數(shù)列｛a2n｝單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)a1＞a3時(shí)，a2＜a4，同（2）可證得數(shù)列｛a2n-1｝單調(diào)遞減，數(shù)列｛a2n｝單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng)：要注意條件y=f（x）在某指定連續(xù)區(qū)間D上單調(diào)，且任意an∈D，必須保證數(shù)列｛an｝各項(xiàng)范圍的一致性，才能保證數(shù)列的單調(diào)性.

古往今來(lái)，數(shù)學(xué)的發(fā)展和人類(lèi)物質(zhì)文明和精神文明的發(fā)展交融在一起，基于數(shù)學(xué)文化背景下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步從科學(xué)的視角認(rèn)識(shí)生活、認(rèn)識(shí)國(guó)家、認(rèn)識(shí)世界，有利于學(xué)生形成正確的世界觀和人生觀.教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng).