借助錯誤資源 優化數學教學

王娟

江蘇省海門中學 226100

學習是一個動態發展、不斷變化的過程，難免會出現各種意想不到的錯誤.化弊為利、變廢為寶，將錯誤看成上好的教學資源，能有效地培養學生的歸因能力，課堂也會因錯誤的參與而更具生命力［1］.這就要求教師要有過硬的業務水平與良好的應變能力，將錯就錯，引導學生學會從錯題中進行歸納、總結、提煉，提高學習能力的同時提升核心素養.

借助錯題，引發探究

錯誤與學習相伴相生，是具有教育意義的重要資源.作為教師，該如何緊扣錯誤產生的契機，引導學生挖掘錯誤產生的根源，產生探究行為？實踐證明，教師不僅要擁有一雙善于發現的慧眼，還要擁有靈活的應變能力，能將錯題開發成教學資源，引發學生自主探究，使得錯誤成為促進學生各項能力成長的一味良藥.

有些錯誤是可以預見的.備課時，教師可以將能預見的錯誤標注出來，并重點講解，讓學生在思辨中進行觀察、比較，從而產生感悟.教師也可以將能預見的錯誤有意識地設計到教學活動中，讓學生在思維陷阱的誘惑下，進行比較、思考、探究與辨析，從而發現并修正錯誤，牢固認知［2］.

當然，學生遇到更多的是考試過程中出現的錯誤.為了引發學生自主探究，教師可以展示學生不同的解題過程，讓學生在自主分析與比較中探索、修正解題思路，完善認知.

例1已知定義域為R的函數f（x）=為一個奇函數，求a的值.

錯誤預見：大部分學生看到本題時，基本會從這個角度進行思考：因為f（x）于R 上是奇函數，所以f（－x）=－f（x），即接下來就是化簡，不少學生到這一步就無法繼續往下，因而導致解題失敗.

為了避免此類問題的發生，教師可在學生嘗試失敗的基礎上，給予一定的點撥，引導學生從特殊值求參數的方法著手進行分析，具體解題過程如下：

因為f（x）于R 上是奇函數，所以f（－1）=－f（1），得a=2.經過檢驗，當a=2時，f（－x）=－f（x）與題意相符.

顯然，用特殊值求參數的方法不僅思路清晰，而且過程簡單，不容易出現失誤.從理論上來講，以上兩種解題思路均可行，但從解題技巧的角度來看，應用特殊的數學思想解決本題，顯然更具優勢.由此可見，當教師預見錯誤時，或在錯誤發生后，應對錯誤發生的原因引導學生進行剖析，可為探究、優化解題思路奠定基礎.

巧用錯題，深化理解

數學學習的目的不在于會解題，而在于對數學思想方法的掌握.教學過程并非一個遵照指令實施程序化工作的流程，而是不斷建構知識經驗的過程.這要求學生摒棄模仿與復制的學習行為，而是在接納、創新中不斷自主建構認知結構.數學教學的重點在于引導學生自主發現并“創造”知識，而非注入式灌輸知識.面對學生的錯題，教師可巧妙地化錯題為再創造的資源，讓學生再次回顧并理解相關的知識.

例2已知點A（－1，1），點O為坐標原點，如果點M（x，y）是平面區域上的動點，求的取值范圍.

本題是剛授完線性規劃后做的一道練習，對于這種新的目標函數，學生還處于較陌生的狀態，因此本題的錯誤率較高.筆者在講評此題時，先與學生共同探討了本題的求解方法，此時學生恍然大悟——其實只是目標函數的形式稍微復雜了一些，化簡后發現，其即求“-x+y”的取值范圍.

為了深化學生對知識的理解，訓練學生舉一反三的能力，筆者鼓勵學生在本題的基礎上，以小組為單位改編本題，看看哪組學生改編得最好，能難倒其他小組的同學.這個建議立即激起了學生的好勝心，各個小組成員自發地進行合作學習，都希望自己小組能改編出好的問題，獲得勝利.

此時，課堂教學氛圍尤為和諧，學生一個個絞盡腦汁地提出有新意的問題，以難倒其他同學.此過程也是學生鞏固基礎知識、深化理解知識的過程，真可謂是一舉兩得.若教師能巧妙地應用學生的錯誤，不僅能激活課堂，還能實現學生對知識的再創造，課堂在學生自主糾錯、探索與創新中獲得新生.

隨著編題與解題活動的開展，每個學生都收獲滿滿.這種教學方式，既沒有全盤否定學生的錯誤，保全了他們的自尊心，又有效地利用了錯誤資源，深化了學生對知識的理解，同時還鍛煉了學生的表達能力、溝通能力以及思維能力等，有效地實現了“在做中學”的教育理念.

利用錯題，引發感悟

心理學家蓋耶曾經說過：“不允許學生犯錯，會讓學生錯過重要的學習時刻.”錯誤與學習相伴相生，可以利用錯題來引發學生對學習的感悟，讓錯題成為教育的契機，課堂也會因為錯題的利用而更加豐富.當學生出現錯誤時，教師不用焦慮，更不需要急于求成，萬萬不可將正確答案直接灌輸給學生，而應想盡一切辦法，開發錯題的教學功能，引導學生在錯題的探索與思考中，獲得新的學習感悟.

例3在△ABC中，已知∠B=2∠A，.（1）求cosA的值；（2）求c的值.

為了暴露學生的解題思路，求解本題時，筆者讓兩位學生到黑板上書寫解題過程.兩位學生解答問題（2）時，呈現出了不一樣的結果.

生1：根據余弦定理a2=b2-2bccosA+c2，可得c2-8c+15=0，解得c=3或5.

生2：根據余弦定理b2=a2-2accosB+c2，cosB=cos2A=，所以c2-2c-15=0，解得c=-3或5（舍掉c=-3）.

本題是一道基礎題，兩種相似的解題方法，卻呈現出了不一樣的結論，這讓所有的學生都感到很奇怪.當所有的學生都為這兩個答案感到困惑時，筆者并沒有著急呈現出正確答案，而是鼓勵學生來做評委，評判一下到底哪種結論是正確的.對于這個提議，燃起了所有學生探究的興趣，學生以各種方式進行了驗證，具體有：

驗證1：當c=3時，a=c=3，所以∠B=2∠A=2∠C，所以∠A=∠C=45°，由此可確定∠B=90°，此時b2=a2+c2=18，這與b2=24是矛盾的，因此c=3是錯誤的.

驗證3：與驗證2 同理可得cosC=-cos（A+B）=，根據余弦定理c2=a2-2abcosC+b2，可得c2=25，所以c=5或-5（舍掉c=-5）.

無須教師過多講解與引導，學生通過自己演示、討論與驗證，就能領悟正弦、余弦定理的內涵及運用，雖然此過程耗時不少，但達到的教學成效也是有目共睹的.

在與學生的溝通中，筆者作了以下引導與點撥：一是明確指出問題（2）絕不可能出現兩個解，原因在于解得cosA=后，確定∠A是唯一的，由此也可以確定∠B，∠C是唯一的，根據a=3，b=可以確定該三角形的唯一性；二是在解三角形的問題中，檢驗是必不可少的環節之一；三是本題出現了增根，是因為求解問題（1）時，用到的條件sinB=sin2A與題設條件并非充要關系，該式包含了兩種可能，即∠B+2∠A=π或∠B=2∠A，這變相地擴大了問題范圍，導致求解時出現了與題意不相符的結論.

通過以上點撥，學生不僅對本題產生了深刻理解，還達到了知其然并知其所以然的境界，這為知識的遷移、融會貫通以及舉一反三奠定了基礎.學生通過本題的解答，深刻感悟到：不論試題多么簡單，解題時都不能掉以輕心，所有的解題步驟、檢驗環節缺一不可.

作為教師，面對學生出現的錯誤，不需要焦慮或急于將結果呈現給學生，而應給予學生充足的時間與空間，鼓勵學生自主地從問題的不同角度去審視、分析，讓學生在爭論、辯駁中明白錯誤的根源，從而完善原有的認知結構.當然，此過程少不了教師適時的點撥，在弄清錯誤的來龍去脈后，關鍵性的提煉與總結會起到畫龍點睛的作用.

總之，錯誤的產生本身就是一個大膽猜想與嘗試的過程，其背后常隱藏著一定的數學思維與教學價值.因此，面對學生的錯誤，教師應放平心態，因勢利導地處理各種錯誤，以激活并完善學生的認知.讓錯誤成為教學的再生資源，使得學生的思維、情感態度與價值觀等在“糾錯”中得以發展，由此彰顯出高中數學課堂的靈活性與生命力.