應用聯想，助力思維能力的發展

張志華

江蘇省南通市海門區證大中學 226100

巴甫洛夫提出：“一切教學都是聯想的表達形式.”聯想是指由一種心理過程引出另一種與之有所聯系的心理過程的現象，這一心理現象是溝通新知與舊知的橋梁，是實現知識遷移的紐帶，它對促進學生思維能力的發展具有舉足輕重的影響［1］.

長期以來，受傳統教育習慣的影響，部分教師認為：數學是一門嚴謹的學科，應以培養學生的邏輯思維能力為主，切忌將非邏輯性思維帶給學生.這種觀念，從很大程度上限制了學生聯想能力的發展，成了學生思維發展道路上的絆腳石.鑒于此，筆者從自身多年的高中數學執教經驗出發，談談如何在教學中以聯想助力學生思維能力的發展.

相近聯想，助力觀察與分析問題能力的發展

相近聯想是指一些在時間或空間上相似或相近的事物，容易在學習者的認知系統內形成一定的聯系，由此事物聯想到彼事物.教學中，遇到一些新穎的、學生比較陌生的問題時，可鼓勵學生根據命題提供的條件與結論，聯想一些與其結構、意義、形式上相似或有所關聯的知識，通過相近聯想的方式，實現知識的正遷移.這種解決問題的方式，不僅能培養學生觀察、分析與解決問題的能力，還能有效地培養學生由此及彼的遷移能力.

例1已知函數f（x）=于［-c，c］（c＞0）上的最小值為m，最大值為M，求M+m的值.

本題題干雖簡單，卻是一道復雜的分式函數問題，主要涉及最值的知識，學生在課堂中提出了以下幾種解題思路：

思路1：從導數的角度來解決問題.本題涉及含絕對值的分式函數，求導過程實非易事，因過程繁雜、操作不易，故放棄.

思路2：用特殊值進行猜想解題.觀察本題提供的條件，定義域［-c，c］是一個對稱的區間，從這個結構特征出發，可將x=0，x=±，x=±π分別代入原式進行計算，從而推測出M+m=2，但這只是特殊值代入得到的結論，該結論是否準確，有待論證.

思路3：考慮到函數最值與其奇偶性、單調性等接近，分離函數f（x）=；根據y=sinx為奇函數，可知也是奇函數.根據奇函數的性質g（-x）=-g（x），得g（x）于［-c，c］（c＞0）上的最大值和最小值的和為0，因為f（x）=1-g（x），故本題的結論為M+m=2.

從學生的解題思路來看，思路3是根據函數的最值與奇偶性、單調性之間存在的相似性引發的聯想，再結合函數的對稱性，很快就獲得了答案.這種解題思路完美地避開了單獨求最值M，m的過程，實屬解決本題的上上策.

作為教師，應充分肯定學生“不斷嘗試—思維受阻—調整策略”的思維歷程.在學生順利解題后，可引導學生對此探索過程進行總結，讓學生感知相近聯想獨有的魅力，以完善學生對函數性質的認知.

相近聯想在本教學片段展現出了化難為易、化生為熟、化繁為簡、化抽象為直觀的重要作用.教學中，教師還可以引導學生不斷地積累一些知識與方法，便于發現知識的相似處，通過相近聯想的運用，發展學生觀察與分析問題的能力.

類比聯想，助力發現與遷移問題能力的發展

類比聯想是指根據兩類或兩種事物間存在相似或相同的性質，推導出其他相似或相同屬性的思維過程，它是創造性思維的一種表現形式，對于培養學生的創新意識與能力具有重要的促進作用.教學中，師生可以通過類比猜想推導出許多數學性質與結論，對學生發現問題并遷移數學問題具有重要影響.

波利亞認為：“類比是偉大的引路人，立體幾何問題的求解，常依賴于平面幾何問題的類比［2］.”為了探析立體幾何的解題思路，教師常引導學生將處于三維空間的研究對象轉化為二維或一維空間進行類比分析.除此之外，在解析幾何中，類比聯想應用得也較為廣泛.如線性規劃問題中，當目標函數呈現出的形式，就可以與斜率公式進行類比，獲得（x-a）2+（y-b）2的形式，再與兩點間的距離公式進行類比，利用其幾何意義解決問題.

當找不到問題的類比對象時，教師可以引導學生憑借問題結構上的相似性，找出類比點，通過適當的代換，把毫無頭緒的待求問題轉化成類比問題.

例2已知定義在R上的函數f（x）對任意實數x，y，一直滿足f（x+y）=f（x）+f（y），在x＞0時，f（x）＜0.

（1）求證f（x）是奇函數；

（2）求證f（x）是減函數.

分析：這是一道常見的關于抽象函數的試題，若能充分利用f（x+y）=f（x）+f（y）這個條件，并分別賦予x，y以內涵，證明這兩個問題難度并不大（證明過程略）.為了通過類比聯想的方式培養學生發現與遷移問題的能力，教師可在學生解題的基礎上提出變式，供學生訓練，實現知識遷移.

變式：已知定義在（0，1）內的函數f（x）對任意正數x，y，一直滿足f（x·y）=f（x）+f（y），在x＞1時，f（x）＜0.問題：判斷f（x）的單調性.

分析：此變式可與原題中的第（2）問進行類比解答，即利用將x2拆成（x2-x1）+x1這個技巧，根據正數x1，x2（x1＜x2）的關系，構造出一個大于1的自變量，此時將x2轉化為的形式，問題便迎刃而解.

深思本題，學生在認知經驗中會發現，對數函數存在與本題條件f（x·y）=f（x）+f（y）類似的運算法則，將此題與對數函數進行類比分析，展開聯想，對解決本題有較大幫助.

抽象的函數問題，大部分都是由我們熟悉的一般問題轉化而來的，當面臨較復雜的函數問題時，可以引導學生從已經學過的函數類型中尋找有類似運算法則的一般函數，找出它的原形，再輔以類比聯想進行解題，往往能達到事半功倍的教學效果，這對發展學生的知識遷移能力具有顯著的幫助.

相對聯想，助力思維轉換與邏輯推理能力的發展

相對聯想是指從關注某事物的特點或屬性，轉向關注與該特點或屬性相反的方面，并應用由此引發的聯想解決問題的過程.從相對聯想的定義來看，它包含了正反兩面的聯想、數與形的聯想以及一般與特殊的聯想等.解題教學中，教師可以引導學生應用相對聯想轉化思維，學會從不同的視角看待與分析問題，在問題的其他面找出解題辦法.

例3在一個平面內，動點P（x，y）滿足.是否存在定點F1與F2，能使F1P+F2P為定值？若有，請分別求出F1，F2；若無，說明理由.

分析：從學生的常規思維出發，面對此題，大部分學生考慮用先平方再化簡的方法來解決問題，但這個解題過程會異常煩瑣.仔細分析本題，觀察方程的結構特征，會發現方程背后存在著特殊的幾何意義：動點P到（1，0）的距離與動點P到直線x=4的距離比為小于1的常數.聯想橢圓的定義，可知動點P的運動軌跡為橢圓，常數為該橢圓的離心率.由此可確定F1P+F2P為定值，兩定點分別為F1（-1，0），F2（1，0）.

為了發展學生的轉換思維與邏輯推理能力，在本題的基礎上，教師提出了兩個變式，以訓練學生對相對聯想的應用.

分析：①對比例3與變式1的條件，比值由變成了，其他并未發生變化，由此可聯想到雙曲線方程；②變式2可順利聯想到拋物線方程，問題便迎刃而解.

從本題來看，若從“數”的角度分析問題時遇到了障礙，可以嘗試換一個思考方向，將方程所呈現的結構特征與直觀的“形”相結合，即可柳暗花明.數與形是同一數學現象的不同表達方式.解決數學問題時，教師可以引導學生從數與形的形式特點與結構特征出發，通過以形助數或以數輔形的方式進行對立聯想，實現數與形的靈活轉化，以簡化問題 難度，實現解題［3］.

當然，除了以上三種聯想方式外，還有很多聯想方式，在此就不一一展開闡述了.

總之，偉大的發現離不開大膽的猜想，聯想是促進學生思維發展、培養創新意識、實現人類科技發展的基本途徑之一.基于此，教師應把握好聯想應用的方向，引導學生應用各種聯想方式，積累活動經驗，實現思維能力的突破與數學核心素養的提升.