放手讓學生自主探究打造高品質生本課堂
——以“無理方程的解法”的復習為例

蘇燦強

福建省安溪第一中學 362400

復習“無理方程的解法”時，某教師精心挑選了兩道典型例題，與學生共同探討解題方法，取得了較好的教學效果，現將教學過程呈現給大家，供借鑒！

教學片段

例1求方程=xy的實數解.

師：不計算，先猜一猜方程的根是什么.

生1：x=y=2.

師：還有其他根嗎？

生1：這個猜不出來，應該要計算了.

師：確實，猜出來的結果也不具有說服力，那么例1該如何求解呢？

接下來教師鼓勵學生獨立完成計算，幾分鐘后，學生依然一籌莫展，于是教師只好將自己的解題過程講授給學生.

教師給出答案后，并沒有繼續(xù)探究，而是預留時間讓學生理解、消化.幾分鐘后，教師準備探究后面的問題時，有學生興奮地說道：“老師，我有了新解法.”

師：說一說，你是如何求解的呢？

師：不錯，非常漂亮的解法，你是怎么想到的呢？

生2：最初我也嘗試通過解方程的思路來求解，但是計算量太大，所以就沒有繼續(xù)做下去.我又觀察了原式，從結構特點出發(fā)，同時除以xy，得到=1，對兩個變量分開研究，得到了最后的答案.

師：敢于嘗試、勇于探索，非常好.解題時，大家要有打破常規(guī)的精神，勇于實踐，這樣你會收獲更多.

生3：我也發(fā)現了新解法.由于根號里的表達式為x-1和y-1，聯想到sec2α-1=tan2α，可進行如下變換：令x=sec2α，y=sec2β，其中0＜α，β＜，從而x-1=tan2α，y-1=tan2β，有sinβcosβ+sinαcosα=1，即sin2β+sin2α=2，從而sin2β=1，sin2α=1，α=β=，因此x=y=2.

師：結合無理方程的對稱性，想到了三角換元，從而將代數方程轉化為了三角函數問題，跨領域聯想，非常有創(chuàng)意.

點評：在解題過程中，教師預留了充足的時間讓學生獨立思考，基于大多數學生沒有找到有效的解題策略，教師按照預設給出了答案.答案給出后，教師沒有急于進行后面問題的講解，而是預留時間讓學生反思回顧，以此促進知識內化.另外，當學生提出解決問題的其他方法時，教師給予機會和時間讓學生展示，并及時給出點評，有效地提升了學生的解題信心.

例2解方程：

師：這個是最終的結果嗎？是否有其他的解呢？如何進一步說明呢？

師：確實，通過構造函數的方法來求解有一定難度，還有其他解決方案嗎？

生5：應該可以通過移項、平方的思路來化簡，之前推導橢圓標準方程時就是這樣化簡的.

師：是一個思路，大家順著試一試，看看能否求出α呢.

學生積極計算，給出了以下解題方法：

師：很好，這樣通過移項、平方的方式將無理方程轉化為有理方程，這是解決無理方程的通法.還有其他方法嗎？（生不語）

師：聯想根式對應的幾何意義，你有什么發(fā)現嗎？（教師預留時間讓學生獨立思考）

圖1

師：這么漂亮的解法你是怎么想到的？

生6的話音剛落，又有學生提出了新想法.

圖2

師：非常好.生6和生7充分挖掘了等式中所蘊含的幾何背景，把等式中的數量關系巧妙地與直觀幾何圖形聯系在了一起，展示了非凡的創(chuàng)造能力.

師：現在回到生4的方案，大家有沒有興趣與我一起將其進行到底呢？調遞增.因為x∈，所以當且僅當時，f（x）=4.

圖3

圖4

點評：在例2的解決過程中，利用通性通法解決問題后，教師又給學生提供了一定的時間和空間探索其他的解法，以此拓寬學生的視野.然后教師引導學生從二次根式的幾何意義出發(fā)，創(chuàng)造性地解決了問題.在此過程中，教師為學生搭建了自我展示的舞臺，充分暴露了學生的思維過程，讓學生在交流展示中豐富了認知，培養(yǎng)了學生良好的思考習慣.另外，教師利用信息技術將學生之前給出的探究方案進行到底，以此通過對比分析讓學生理解各種方法的優(yōu)缺，進一步提高學生的解題能力.

教學思考

眾所周知，學生學習能力和思維能力的培養(yǎng)是無法靠灌輸實現的，因此，教師將課堂還給了學生，鼓勵學生嘗試從不同角度思考問題、解決問題.同時，教師要通過適時的啟發(fā)和引導讓學生在自主探究中有所發(fā)現、有所收獲，以此提高學習能力，落實數學核心素養(yǎng).現結合教學過程談幾點教學體會：

數學學習是學生自我發(fā)現、自我完善的過程.數學學習是學生對數量關系和結構的認識，而這種認識是需要學生自主去發(fā)現、去探究、去感悟的，是通過學生自主活動實現的.解題時，教師鼓勵學生猜一猜，借助直覺思維理解不同的材料，獲得相應的感性認識.接下來，從已有認知和已有經驗出發(fā)，對相應的數量關系或結構進行邏輯推演，找到了多種解題路徑.從以上解題過程可以看出，對數量關系的演繹推理不是短時間內可以完成的，因此需要教師給予足夠的時間讓學生去探索，鼓勵學生用自己的方式解決問題，這樣才能展示學生的聰明才智，讓學生的學習能力、學習興趣、學習信心等方面獲得較大的提升.教學中，教師只有放手讓學生去探索，才能激發(fā)學生的參與熱情，從而打造出一個生動的、富有活力的數學課堂.

因為學生的經驗背景等存在差異，所以學生解題時往往有著不同的表現.在教學過程中，教師要尊重這種差異，因為正是差異的存在，才能使不同的思維在碰撞中迸發(fā)出火花，才能呈現出一個豐富多彩的高品質課堂.如從以上兩個教學活動可以看出，有的學生利用通性通法求解；有的學生通過構造函數求解；有的學生通過構造三角函數求解；還有的學生通過建構距離模型求解，等等.多樣的解題方法呈現出了學生的知識水平、建模能力和思維習慣.這些差異是寶貴的課堂生成性資源，值得去挖掘、去展示.當然，在解題過程中，也會出現一些模糊不清，甚至錯誤的想法，教師要鼓勵學生去追蹤溯源，找到問題的癥結，以此通過有效啟發(fā)和指導讓學生找到最優(yōu)的解題方案，以此優(yōu)化學生認知，發(fā)展學生的思維能力.

數學解題教學要摒棄就題論題式的講解，要從培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的角度出發(fā)，鼓勵學生去發(fā)現、去創(chuàng)造.在解題教學中，教師必須深入理解問題，嘗試從不同角度去分析和理解問題，以此充分發(fā)揮教學的主導功能，引導學生從不同角度審視問題，以此不斷進行解題方案的優(yōu)化與完善，切實提高學生的解題能力，將對學生思維能力的培養(yǎng)落到實處.

總之，在解題教學中，教師要為學生提供一個輕松的“再創(chuàng)造、再發(fā)現”的學習環(huán)境，鼓勵學生去發(fā)現、去創(chuàng)造，以此提高學生的學習能力，打造出一個充滿激情與靈性的高效數學課堂.