“微探究”助力學生理解數學概念
——以“函數的零點”一課為例

吳玉珠

江蘇省南京市棲霞中學 210046

關于“微探究”的理解

在倡導探究式教學的新課改背景下，如何有效地開展概念教學是一線教師必須思考的課題.概念的形成是概念教學的基礎和重點，甚至是一個難點.建構主義教學觀認為，數學知識不是簡單地通過教師灌輸到學生的頭腦中，需要基于個人經驗的操作、交流，通過反省而主動建構.所以，教學中恰當使用“微探究”方法，充分展示知識的形成過程，讓學生在體驗中感受、建構，不僅可以有效地突破概念教學的難點，還可以幫助學生深刻理解概念，以及培養其運用概念的意識與能力.

“微探究”在“函數的零點”一課應用的思考

1.本節課的地位和作用

函數是研究事物變化過程的數學模型，而方程刻畫的則是相等關系成立的某種狀態.本節課在已有知識從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式的基礎上，進一步研究一般函數零點的概念及函數零點存在性定理，并用函數零點存在性定理判斷函數零點是否存在.嘗試研究函數的零點與方程的解之間的關系，不僅可以為“用二分法求方程的近似解”的學習做準備，也進一步揭示了方程與函數之間的本質聯系——“函數與方程思想”的理論基礎，具有承上啟下的作用.函數的零點在中學數學中具有核心地位.

2.本節課內容剖析

本節課內容有函數零點的概念、函數的零點與方程的解的關系、函數零點存在性定理.在蘇教版必修第一冊3.3.1節中，學生已初步掌握了二次函數的零點、一元二次方程的解、二次函數圖像與x軸交點的橫坐標三者之間的關系.在此基礎上，推廣到一般函數的零點、相應方程的解、函數圖像與x軸交點的橫坐標三者之間的關系.通過函數與方程的聯系，研究函數零點存在性定理，體驗轉化與化歸思想的意義與價值，感知函數是描述客觀世界變化規律的基本模型，體會符號化、模型化的思想，體驗從系統的角度思考局部問題的思想，培養學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象等數學核心素養.

3.學生的學情分析

在此之前，學生已經學習了二次函數零點的概念，初步掌握了二次函數的零點、一元二次方程的解、二次函數圖像與x軸交點的橫坐標三者之間的關系，這為進一步了解函數的零點做了鋪墊.本節課是在二次函數的基礎上進一步的延伸與拓展，再次從“形”的角度上升到“方程的解”這一代數本質去理解函數零點存在性定理.（1）結合學生已有的知識經驗（二次函數零點的概念），類比得到一般函數零點的概念；（2）對于一般函數的零點，讓學生明白該如何去求解零點，如何判斷零點是否存在，零點存在的依據是什么；通過舉反例，利用數形結合、轉化與化歸等思想，拓寬學生的思維，提升學生解決問題的能力；（3）基于本班學生思維較活躍，采用小組合作、問題探究、實際問題分析、動手操作等形式開展教學活動，使學生認識和理解知識.基于此，設計本節概念課教學時，決定利用“微探究”方法，在零點存在性定理的探究中，拿出8—10分鐘時間，引導學生用自我探究與合作學習的方式進行學習，使其體驗過程，培養其能力，以小見大，見微知著.

“微探究”在“函數的零點”一課中的應用流程

“微探究”在“函數的零點”一課中的應用流程如圖1所示：

圖1

1.函數零點的概念

觀察二次函數y=x2-2x-3的圖像，回顧二次函數的零點、一元二次方程的解以及二次函數圖像與x軸交點的橫坐標三者之間的關系（如圖2所示）：

圖2

問題1：（用幾何畫板展示函數y=x2-2x-1，y=-x3+x2-x+1，y=3x-x2的圖像）能否通過這些圖像類比推導一般函數y=f（x）零點的概念？

其中x=Rm為決策變量,BRn×m, DRp×m和bRn為給定向量和矩陣，Θ={Rp|l≤θ≤h}和為非空盒子集,和的某些分量可能為-∞,而h和的某些分量可能為+∞。

設計意圖：從簡單的函數圖像到復雜的函數圖像讓學生通過直觀感知，發現函數圖像與x軸交點的橫坐標同相應方程的解的關系，讓學生通過已掌握的二次函數零點的概念類比得到一般函數零點的概念.由特殊到一般，在復習舊知中孕育新知.

師生活動：通過一組函數圖像的展示，讓學生結合前面已掌握的二次函數的零點進行類比，“以形助數”得到一般函數零點的概念：對于函數y=f（x），使得f（x）=0的實數x叫做y=f（x）的零點.

進一步追問：函數的零點、方程的解、函數圖像與x軸交點的橫坐標三者之間存在什么關系？學生根據已有知識類比得到三者之間的關系（如圖3所示）：

圖3

2.零點存在性定理

問題2：判斷下列函數是否存在零點.

（1）y=x2-2x-3；

（2）y=2021x2-2023x+1；

（3）y=lnx+2x-6.

設計意圖：由易到難，層層遞進，拾級而上，從圖形中感知零點存在性.

師生活動：第（1）問和第（2）問由學生動手作出函數圖像，第（3）問由幾何畫板展示函數圖像，使學生在動手實踐中獲得經驗，讓學生從圖形中充分感知零點存在性，自然過渡到問題3.

問題3：觀察問題2中幾個函數的圖像，當零點存在時，設零點為x0，在x0附近取兩點x1=a（a＜x0）和x2=b（b＞x0），觀察函數圖像，a，b處的函數值f（a）與f（b）有什么關系？

設計意圖：讓學生用數學的眼光觀察函數圖像，發現規律，為后續零點存在性定理的理解做好鋪墊.

問題4：若對于定義在［a，b］的函數y=f（x），f（a）f（b）＜0能否確定y=f（x）存在零點？請舉例說明，分組討論.以f（a）＜0，f（b）＞0為例，y=f（x）在（a，b）中是否存在零點？

設計意圖：讓學生根據已有知識進一步思考，由零點兩側函數值的正負關系，為零點存在性定理的理解增加感性認識和理性思考.

師生活動：學生分組討論，充分醞釀，教師適當給予提醒和幫助.預設可能出現的情況：（1）用直線連接，如圖4①所示；（2）用曲線連接，如圖4②所示；（3）定義域［a，b］內，函數的圖像斷開不連續，如圖4③、圖4④所示.

圖4

問題5：（結合情況（3）追問）需滿足什么條件才能說明y=f（x）在（a，b）內存在零點？

引出零點存在性定理：若函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是一條連續不斷的曲線，且f（a）f（b）＜0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內至少有一個零點.

問題6：若f（a）f（b）＞0，函數y=f（x）在區間（a，b）內一定沒有零點嗎？

問題7：若f（a）f（b）＜0，函數y=f（x）在區間（a，b）內只有一個零點嗎？可能有幾個？

問題8：零點存在性定理中函數y=f（x）的圖像在區間［a，b］內是連續不斷的，判斷零點在（a，b）內有什么理由？

設計意圖：通過“問題串”的形式環環相扣，讓學生有充分的時間進行探究，體驗概念的形成過程，讓學生在探究中領會函數的零點存在性定理，巧妙地突破和化解對函數零點存在條件的理解這一難點.

“微探究”給我們的啟發

1.“微探究”應以問題驅動激發學生的學習動機

法國啟蒙思想家盧梭說過，“問題不在于告訴學生一個真理，而在于教他怎樣去發現真理.”函數的零點概念的生成不是孤立的，是通過問題引導學生利用二次函數的零點類比獲得的.對于零點存在性定理的條件的探究，主要讓學生通過函數圖像直觀感受零點存在的條件.基于這樣的考慮，以“問題驅動”實施“微探究”，用“問題”激發學生的探究欲望，在激發學生的學習動機的同時，使得學生在知識生成過程中體驗獲得感，增強學生的理解能力.

2.“微探究”應尊重學生的實際學情

蘇聯數學教育家斯托利亞爾指出，“積極地數學教學，應是數學活動（思維活動）的教學，而不是數學活動結果.”因此，教學應以學生已有的基本活動經驗與知識水平為基礎，既不要低估學生的學習能力，也不要過高估計學生的知識水平，在學生能力的“最近發展區”與“最低發展區”提出問題（甚至可以聯系其他學科設置問題）是教師的基本功之一.從教學設計來看，問題4雖然抽象，但是學生通過大膽作圖，借助圖像舉反例，尋找根源，通過小組討論，讓學生在思維碰撞中發現問題、提出問題、分析問題，然后有效地解決問題，進而培養學生的“四基四能”.

3.“微探究”應注重學生為主體設計目標

數學概念教學設計是基于學科知識、課程知識、學生知識這三者而實施的，教學過程靈活多變，需要教師通過問題設置使得課堂是教師主導、學生主體的翻轉課堂，讓更多的學生參與課堂活動，同時要善于運用小巧、靈活的“微探究”，引導學生“樂于其中，學于其中，研在其中”，不斷經歷概念抽象、生成的過程，深刻理解概念、掌握概念與運用概念.