改“斜”歸正思想在直線與橢圓位置關系中的應用

張寧 楊蕾 趙亞莉 薛丹丹

中央民族大學附屬中學 100081

直線與橢圓的位置關系是高考考查的重要知識點之一，運算量大，難度高，學生往往望而生畏.有些題目若能發現其中的運算規律，則能簡化運算，從而節省運算時間.下面以三道題目為例，談一談如何簡化運算.

基礎知識：直線上兩點間的距離公式的變式.

以上是從代數的角度給出的直線上兩點間的距離公式的變式，為了加深學生理解，還可以給出相應的幾何解釋：構造一個以AB為斜邊的直角三角形，在直角三角形ABC中，設BC=1，則三邊的關系如圖1所示，記

圖1

從以上分析能夠看出，可以將斜線段上的兩點間的距離轉化為“水平或豎直方向的線段”的長度［1］，從而降低運算難度.下面從具體的例題來談一談應用.

三點共線

從例1可以看出，斜線段的長度通過轉化后降低了運算難度，且運算的方向也較為明確.

斜率互為相反數

圖2

下面給出兩種證明方法：

解法1：由于點M的運動使得其他直線會隨之變化，因此從點M出發.

由于xP=xQ，所以△BPQ為等腰三角形.

從解法1可知直線A1M和直線A2M的斜率之積為定值，因此解法2可以簡化如下：

平行線上的線段

例3已知橢圓C：+y2=1，左頂點為A，O為坐標原點.過點A作直線AQ交橢圓C于另外一點Q，交y軸于點R.P為橢圓C上一點，且OP∥AQ，求證：為定值.

分析：A，Q，R三點共線，直線OP與A，Q，R所在直線平行，可以用“改斜歸正”思想進行轉化.

通過以上三個例題的探究，看到利用直線上兩點間的距離公式的變式可以簡化運算，同時也使得解題方向更加明確.