巧借“微專題”提升高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)品質(zhì)

方麗娜

安徽省亳州市利辛縣第七中學(xué) 236700

教學(xué)現(xiàn)狀

經(jīng)過高三一輪復(fù)習(xí)后，學(xué)生的“雙基”得到了鞏固和強化，學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)和方法體系已經(jīng)基本形成.二輪復(fù)習(xí)時，部分教師將教學(xué)重點放在做題上，片面地認為只有多做題才能提升學(xué)生的解題效率和數(shù)學(xué)成績.于是，二輪復(fù)習(xí)時，大多數(shù)學(xué)生容易沉迷于“題?！?，機械地進行模仿和復(fù)制，這樣不僅浪費了寶貴的復(fù)習(xí)時間，而且因為重復(fù)做題形成了思維定式，遇到問題不去思考，而是機械地套用概念、公式、定理，使思維缺乏靈活性和變通性，學(xué)生分析和解決問題的能力未能得到提高，繼而影響到二輪復(fù)習(xí)的效果.另外，二輪復(fù)習(xí)時為了追求大容量、高速度，部分課堂仍以教師為主導(dǎo)，表面上課堂容量大、方法多、速度快，但是因缺乏學(xué)生的思維過程，忽視學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，使得看上去熱熱鬧鬧的課堂變成了教師的“獨角戲”，學(xué)生的思維能力和解題能力并沒有得到明顯的提升.

教學(xué)分析

縱觀歷屆高考，雖然題目復(fù)雜多變，然仔細分析不難發(fā)現(xiàn)，其考查的是學(xué)生靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識和方法解決問題的能力，考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.然在二輪復(fù)習(xí)中，不乏有些師生為了追求新、追求難，使教學(xué)發(fā)生了偏移，影響了教學(xué)效果.為了保證二輪復(fù)習(xí)的效果，筆者認為，教學(xué)中可以選擇適當(dāng)?shù)奈ｎ}進行教學(xué)，這樣既能突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，又能發(fā)展學(xué)生的思維.當(dāng)然，教學(xué)中也要改變教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)，從而讓學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué).

筆者通過“以正切為背景的最值問題”這一微專題為例，闡述了自己對二輪復(fù)習(xí)的幾點認識，供參考.

教學(xué)片段

片段1：探究實例，夯實基礎(chǔ)

師：思考一下，如何求解例1？（教師用PPT給出例1，并讓學(xué)生獨立思考）

例1在斜△ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

生1：由A+B+C=π，得tanA=tan［π-（B+C）］=-，展開得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

設(shè)計意圖：例1為教材習(xí)題，這樣以學(xué)生熟悉的習(xí)題為引例，讓學(xué)生更有親切感，更易于激發(fā)學(xué)生的參與積極性.本題求解時利用“A+B+C=π”這一等量關(guān)系，通過兩角和的正切公式探究tanA，tanB，tanC三者的等量關(guān)系式，便于學(xué)生理解和接受.

師：例1求解大家都完成得非常好，現(xiàn)在我們一起來看一下例2.（教師繼續(xù)給出問題）

例2在銳角三角形ABC中，已知sinC=4cosAcosB，求tanAtanB的最大值.

同樣，例2求解依然以生為主，教師引導(dǎo)學(xué)生將已知轉(zhuǎn)化為三個角的正切關(guān)系.

生2：由sinC=4cosAcosB 得sin（A+B）=4cosAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=4cosAcosB.由C∈（0，π），可知sinC≠0，則cosAcosB≠0.于是上述等式左、右兩邊同時除以cosAcosB，得tanA+tanB=4.又△ABC為銳角三角形，故tanA ＞0，tanB＞0，則tanA+tanB≥，所以當(dāng)tanA=tanB=2時，tanAtanB取得最大值4，此時tanC=，符合題意.

設(shè)計意圖：借助簡單的、易于理解的問題幫助學(xué)生回顧三角形內(nèi)角的正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切的基本思路，以及二元求最值的基本方法.

師：在例2的條件下，能否轉(zhuǎn)化為其他的最值問題呢？（生深思）

生3：求tanA+tanB+tanC的最小值.

教師讓學(xué)生獨立求解，并展示了求解過程，最終求得tanA+tanB+tanC的最小值為

師：還有其他變式嗎？

學(xué)生探究的過程這里就不再詳細展示了.這樣讓學(xué)生自己嘗試變式，目的是讓學(xué)生明確消元是求三角形內(nèi)角A，B，C正切表達式最值的基本思路，即通過消元將原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值問題或轉(zhuǎn)化為二元不等式求最值問題.

師：剛剛研究了三角形中角的正切，接下來還能研究什么呢？

生齊聲答：正弦、余弦.

師：很好，三者密不可分，可以相互轉(zhuǎn)化.如何將正切轉(zhuǎn)化為正弦、余弦呢？

師：若是正弦、余弦轉(zhuǎn)化為正切呢？

生7：若已知中是關(guān)于正弦、余弦的分式，且分子和分母為齊次式，這樣只要分子和分母同時除以角的余弦即可完成轉(zhuǎn)化.

師：說得很好，若是關(guān)于正弦、余弦的等式呢？

生齊聲答：等式兩邊同時除以角的余弦.

師：試求sin2A+sin2B的最大值.

設(shè)計意圖：教師先是強調(diào)正弦、余弦、正切三者之間的聯(lián)系，接下來又讓學(xué)生回顧如何實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化，為接下來的探究指明了方向.同時，經(jīng)歷以上過程，不僅鞏固了知識，而且完成了數(shù)學(xué)思想的滲透，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.

片段2：數(shù)形結(jié)合，深化理解

師：我們知道“數(shù)”“形”一家，剛剛的已知條件都是用“數(shù)”來表示的，現(xiàn)在我們從“形”出發(fā)，又該如何轉(zhuǎn)化呢？（教師用PPT展示例3）

例3如圖1所示，在銳角三角形ABC中，CD⊥AB，垂足為D，且AD∶DB=3∶1，求（1）tanA+tanB+tanC的最小值；（2）sin2A+sin2B的最大值.

圖1

設(shè)計意圖：轉(zhuǎn)換思路，為后期的拓展延伸做鋪墊.學(xué)生通過探究可以發(fā)現(xiàn)，已知條件AD∶DB=3∶1可以轉(zhuǎn)化為tanB=3tanA，這樣通過以上解題思路可以輕松求解.

片段3：有效拓展，抽象方法

師：在三角形中，還有哪些量是值得我們研究的呢？

生8：三角形的邊、高、周長、面積等.

師：很好，由例3的已知條件AD∶DB=3∶1，我們可以知道什么呢？

生齊聲答：tanB=3tanA.

師：此時三角形的面積是否有最值呢？（生交流）

生8：我認為沒有最值，僅已知角的關(guān)系式，三角形之間是相似關(guān)系，這樣只能確定三角形相應(yīng)的形狀，無法確定邊、面積、周長等大小.

師：說得非常好，看來如果要探尋三角形面積的最值需要添加一個條件，你們覺得添加什么條件比較合理呢？

生9：可以確定一條邊.

師：給出你的完整設(shè)計.

生9：在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，求S△ABC的最值.

師：很好！大家看一下，添加條件后是否能夠求最值了呢？（教師讓學(xué)生獨立思考后，交流展示）

師：很好，運算簡單，思路清晰.是否還有其他解題方法呢？

生12：還可以通過建系，將問題轉(zhuǎn)化成點的軌跡問題.

師：具體說一說.

生12：如圖2所示，以點A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則點B的坐標(biāo)為（c，0）.設(shè)直線AC為y=kx（k＞0），根據(jù)tanB=3tanA，得BC為y=-3k（xc），聯(lián)立方程后消去k可得x=c.所以點C的軌跡為直線x=c（去除與x軸的交點）.接下來通過設(shè)點，結(jié)合已知，利用三角形面積公式和基本不等式，求得△ABC面積的最大值為

圖2

在生12的基礎(chǔ)上，學(xué)生又給出了不同的建系方法，如以C為原點，CA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，同樣可以求得△ABC面積的最大值.

設(shè)計意圖：鼓勵學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗進行多角度探究，并總結(jié)歸納出將三角形的正切關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的常用策略（如將正切轉(zhuǎn)化為正弦、余弦，實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；構(gòu)造直角三角形；建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為點的軌跡問題）.以此既發(fā)散了思維，豐富了學(xué)生認知，又總結(jié)了解決問題的常見策略，有利于學(xué)生解題能力的提升.同時，在求最值的過程中，對消元、整體代換、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力.

片段4：更換條件，內(nèi)化知識

接下來，學(xué)生又嘗試了不同的情況，如更換為a=1，求得當(dāng)m2=時，△ABC面積的最大值為1；更換為c=1，此時點C的軌跡為直線x=，△ABC的面積無最值.

師：若在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，則△ABC的面積存在最大值.那么在此條件下，△ABC的周長是否存在最大值呢？

生14：還可以用方程的思路求解，令△ABC的周長t=a+c+1，得a=t-c-1，代入2a2+c2=2，這樣問題就可以轉(zhuǎn)化為了關(guān)于c的方程有正實數(shù)解的問題.

設(shè)計意圖：這樣借助“變”進一步深化認知，突出求二元最值的方法，讓學(xué)生能夠靈活應(yīng)用所學(xué)知識和方法解決不同問題.

片段5：自主改編，強化理解

師：剛剛題目中的已知條件為tanB=3tanA，題設(shè)信息比較直白，如果換一個方式，轉(zhuǎn)換一個角度，你認為可以如何改編已知條件？

生15：將“tanB=3tanA”改編為“2a2+c2=2b2”.

生16：將“tanB=3tanA”改編為“2sin2A+sin2C=2sin2B”.

師：很好，這些內(nèi)容剛剛我們已經(jīng)探究過，是大家熟悉的內(nèi)容，如果從正弦、余弦定理的角度去改編，你認為可以怎樣更換已知條件呢？

生17：a2=b2+c2-2bccosA，代入2a2+c2=2b2，整理得3c=4bcosA.

師：太棒了，還有嗎？

生18：還可以從sinBcosA=3sinAcosB入手，轉(zhuǎn)化為sinC=4sinAcosB或c=4acosB.

師：很好，這樣轉(zhuǎn)化后問題變得更加新穎別致了.類比上面的方法，是否能夠為目標(biāo)中的“變個身”呢？

師：剛剛我們?yōu)橐阎湍繕?biāo)都找到了許多“新分身”，如果將其重新組合可以得到許多新題，誰來嘗試“變一變”？

生19：在△ABC中，已知tanB=3tanA，△ABC的面積等于，求邊b的最小值.

師：很好，將已知與目標(biāo)互換得到了新的問題.還有嗎？

師：解題時只要我們把握了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，就能以不變應(yīng)萬變.

設(shè)計意圖：這樣通過變式改編，將一道題轉(zhuǎn)化為了一類題，不僅讓學(xué)生理解了解決問題的基本思路和基本策略，而且?guī)椭鷮W(xué)生跳出了茫茫的“題海”，有效地提升了教學(xué)效率.同時，在轉(zhuǎn)化、類比、總結(jié)歸納的過程中，有效提升了學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

教學(xué)思考

高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對學(xué)生的成績提升至關(guān)重要，教師切勿急于求成而將學(xué)生帶入“題?！?在二輪復(fù)習(xí)中，教師設(shè)計微專題時可以選擇一些切口小、思維寬的問題為切入點，通過由淺入深的逐層深入，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，探究數(shù)學(xué)方法，達到“會一題通一類”的效果.微專題的題材可以選擇易錯點、教學(xué)重難點、高考熱點等，通過對典型問題的探究更易于學(xué)生認識問題的本源，提升其解題能力.

教師在微專題的設(shè)計上應(yīng)注意以下幾點：

1.要有明晰的知識和方法框架

為了幫助學(xué)生建立完善的認知結(jié)構(gòu)，教師可以通過對關(guān)鍵詞的解讀和問題的解決幫助學(xué)生提煉出解決問題的基本方法，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò).例如，本專題的教學(xué)中，以三角形的正切為背景，將正弦定理、余弦定理、消元、整體代換、函數(shù)單調(diào)性、基本不等式、數(shù)形結(jié)合等相關(guān)知識與方法串聯(lián)在了一起，形成了一條巨大的知識脈絡(luò)，這樣通過知識的遷移和拓展有助于學(xué)生綜合能力的提升.

2.要改變教師的教學(xué)方式

在傳統(tǒng)教學(xué)中，常常以教師為主導(dǎo)，致使教學(xué)效率低下.在新課堂上，教師應(yīng)重視引導(dǎo)、提煉，關(guān)注學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生主動揭開問題的面紗，使學(xué)生由被動“接受”轉(zhuǎn)化為主動“建構(gòu)”，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力.

教學(xué)中，教師要跳出“一節(jié)一知識”的束縛，學(xué)會從整體上把握數(shù)學(xué)課程，突出教學(xué)主線，同時通過引導(dǎo)和追問讓學(xué)生將分散的知識點串聯(lián)起來，構(gòu)建和完善認知.另外，要引導(dǎo)學(xué)生從多角度去分析和解決問題，感悟解決問題的策略與方法，體驗基本方法的應(yīng)用，感受知識的價值，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

3.要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

在傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響下，很多學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣了“聽”和“記”，缺乏獨立思考和主動建構(gòu)的能力，因此學(xué)習(xí)中顯得被動、消極.為了改變這一現(xiàn)狀，課堂上應(yīng)多為學(xué)生創(chuàng)造一些機會去探究、去發(fā)現(xiàn)、去歸納總結(jié)，從而在探究的過程中發(fā)現(xiàn)并提出問題，在發(fā)現(xiàn)的過程中學(xué)會分析，在歸納總結(jié)中學(xué)會抽象，以此優(yōu)化認知，提升實際解決問題的能力.

在本節(jié)微專題教學(xué)中，學(xué)生是課堂的主角，整個過程關(guān)注學(xué)生自主探究能力的提升.例如，解決了三個角正切值有關(guān)的問題后，教師并沒有引入新的問題進行“題海”強化，而是轉(zhuǎn)換角度，引導(dǎo)學(xué)生探究三角形的其他元素（如面積、周長）等，通過添加不同條件，應(yīng)用不同方法揭示問題的本質(zhì)，不僅深化了學(xué)生認知，而且拓展了學(xué)生的知識面，拓寬了學(xué)生的視野，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)得到了真正的發(fā)展.

總之，二輪復(fù)習(xí)時教師不僅要關(guān)注學(xué)生解決問題能力的提升，還要關(guān)注學(xué)生自主探究能力的發(fā)展.可借助一題多變、一題多解揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).