倒Y 型四能級系統中吸收譜線的窄化極限研究*

邸鳳清 賈寧 錢靜?

1) (華東師范大學物理與電子科學學院,上海 200241)

2) (上海理工大學公共實驗中心,上海 200093)

基于倒Y 型四能級系統,理論研究了探測光吸收譜線的線寬窄化極限.發現得益于中間激發態與另一超精細基態之間施加的第三束控制光,線寬窄化極限的限制條件轉變為兩個基態能級之間的相干衰減率,而非基態與高激發態之間.與傳統的梯型結構相比,吸收光譜線寬的窄化極限能夠提高2 個數量級.研究表明,通過適當調節這束控制光的拉比頻率和失諧量,可以獲得兼具超窄線寬和高對比度的吸收光譜信號.數值計算結果與理論分析完全相符.此外,還討論了吸收譜線對光場的響應規律和多普勒效應的影響.對原子熱運動的研究發現,倒Y 模型由于缺少三光子作用的過程而無法完全消除多普勒增寬的影響.借助傳播光場的優化設計可以減小多普勒效應的影響,在有限溫度下獲得較窄的吸收譜線.本文的研究成果對高分辨光譜學的實驗發展具有重要的指導意義.

1 引言

光譜的自然線寬通常取決于能級的壽命.根據測不準原理,在任意時刻原子所處的能級都有一定的寬度,從而導致譜線加寬,即譜線的自然加寬.存在多種機制會使譜線寬度大于自然線寬,如氣體分子間的碰撞以及氣體與容器壁間的碰撞會導致碰撞加寬[1],由于氣體分子的多普勒效應引起多普勒加寬[2]等.自然(甚至亞自然)線寬在高分辨率光譜[3,4]、精密光譜測量[5]、高精密的激光穩頻和鎖相[6]、慢光光學[7]等領域有著重要的應用價值.因此,發展對譜線極限線寬機制的物理研究非常重要.在三能級原子系統中,早期實現的亞自然線寬與相干布居俘獲現象有關[8],之后Gauthier 等[9]發現通過改變光場的拉比頻率可以將線寬壓縮到自然線寬以下.在多普勒增寬介質中,通過增加三能級系統中強耦合光場的失諧,利用原子相干和干涉效應,可以得到亞多普勒線寬[10,11].此外,Iftiquar 和Natarajan[12]在 Λ 型三能級系統中利用能級的塞曼分裂令EIT (electromagnetic induced transparency)窗口發生劈裂從而實現譜線的窄化.除了三能級系統以外,人們也對兩泵浦場驅動下的各種四能級系統進行了研究,觀察到亞多普勒和亞自然線寬現象[13-15].

倒Y 型四能級系統兼具梯型和 Λ 型兩種三能級結構的特點,一直受到科學家們的關注[16,17].相對于梯型系統,倒Y 結構中額外的第三束光場耦合基態與中間激發態充當控制端的角色,可以有效地調節探測光的吸收特性,優化體系的信號輸出.類似地,正Y 型系統通過兩個激發通道之間的量子干涉也能影響探測光的吸收[18,19].Qi[20]研究了倒Y 型系統中探測光的單和雙EIT 窗口與兩束耦合光的幅值以及失諧之間的關系,發現通過調節耦合光的幅值和失諧可以獲得亞自然線寬的吸收譜線,但并沒有對窄化譜線出現的位置和寬度進行定量研究.Ghosh 等[21]發現在倒Y 型系統中,利用多普勒效應可以使探測光EIT 信號的線寬大大窄化,得到幾十kHz 寬度的超窄譜線.上述關于利用多普勒效應實現譜線窄化的研究,大多數關注如何窄化EIT的透射窗口,很少有工作對探測光吸收光譜的線寬窄化進行研究.窄線寬的吸收光譜同樣具有重要的應用價值,如可以被用在高靈敏度的微波探測[22]和提高光學微諧振器的性能[23]等方面.

本文詳細研究了倒Y 型四能級系統中探測光吸收光譜線寬的窄化極限問題,提出通過適當地調節第三束控制光的拉比頻率和能級失諧能夠有效窄化譜線的線寬.考慮到在強耦合光作用下,梯型三能級系統的中間能級和上能級形成綴飾態,吸收譜線的線寬極限取決于激發態與基態能級之間的相干衰減率.通常情況下,能級的相干衰減率與其壽命反相關,高激發態對應的能級壽命短故相干衰減率比較大,可以達百kHz 甚至MHz的量級.本文提出利用倒Y 系統的優勢,在中間激發態與另一超精細基態能級之間施加第三束控制光.通過調節這束光的失諧和拉比頻率可以使吸收譜線的線寬極限僅受限于兩個基態之間的相干衰減率,而非基態與激發態之間.這大大減小了線寬窄化的極限值,通常僅為數kHz的量級.討論了吸收譜線對控制光的時間響應,發現在獲得窄線寬的同時不可避免地會延長系統到達穩態的時間.此外還定量研究了吸收譜線的窄化率和對比度與附加光場之間的依賴關系,以及加入控制光前后吸收譜線的變化.與三能級梯型結構比較的結果表明,倒Y 型原子模型的吸收光譜信號兼具超窄線寬和高對比度的優點.研究結果為多能級系統中非線性光學效應的研究提供了更多思路[24-26],也進一步指引了高分辨光譜學的發展方向[27-29].

2 理論解釋

如圖1(a)所示,倒Y 型四能級原子系統包含基態|g〉,中間態|e〉和激發態|r〉,構成傳統的梯型結構,探測光Ωp和耦合光Ωc分別驅動|g〉?|e〉和|e〉?|r〉之間的能級躍遷;另外,第三束光Ωd耦合|e〉和另一基態超精細能級|m〉,充當控制光的角色,可以影響探測光的吸收和原子自身的激發.δ,δc和Δ分別表示探測光、耦合光和控制光的單光子失諧量.與梯型系統相比,附加的第三束光Ωd可對系統譜線線寬起到進一步的調節作用,因此倒Y 型系統具有更大的靈活性[30].實驗上,可通過掃描δ研究探測光的吸收光譜特征.考慮到體系可能存在的各種耗散機制,這里我定義Γα表征能級|α〉的總自發輻射衰減率,γαβ表征任意兩能級|α〉和|β〉之間的相干衰減率.

圖1 (a) 倒Y 型四能級原子系統的裸態能級示意圖;(b)考慮 Ωd/=0 時,在滿足 Δ+δc=0的情況下綴飾態能級|±〉與基態 |g〉 發生耦合,而能級 |0〉 由于不包含裸態 |e〉,故不與 |g〉 耦合;(c) 反映了不存在控制光 Ωd的情況下,系統約化為三能級梯型結構所對應的綴飾態能級 |±′〉 與基態|g〉之間的耦合Fig.1.(a) Schematic of an inverted-Y type four-level atomic system coupling with three light fields Ωp,Ωc,Ωd ;(b)for Ωd/=0 and Δ+δc=0,the ground state |g〉 only couples with |±〉 (dressed states);(c) While Ωd=0,the system reduces to a three-level ladder structure where|g〉couples with the other two dressed states |±′〉 .

在旋轉波近似下,用于描述光與原子系統相互作用的哈密頓量可以寫成(?=1):

這里,=?(δ|e〉〈e|+(δ ?Δ)|m〉〈m|+(δ+δc)|r〉〈r|)表示單原子的哈密頓量.δ ?Δ和δ+δc分別表示 Λ型(|g〉,|e〉,|m〉) 和梯型 (|g〉,|e〉,|r〉) 結構中的雙光子失諧.與級聯型四能級結構不同,該系統不包含三光子過程.

2.1 本征態分析

當δc/=?Δ時,倒Y 型系統可存在兩個EIT窗口,對應三個吸收峰[20].吸收峰的位置和寬度均受到光場強度 (Ωc,Ωd) 及失諧量 (δc,Δ)的影響.而當條件

滿足時,系統在綴飾態表象下可被看作三能級系統,本征值和本征態都大大簡化.為了與梯型三能級系統進行定量類比,并清晰地體現控制光Ωd的調節作用,首先假設δc=?Δ成立.在3.2 節中會在δc/=?Δ的情況下,詳細地討論結果的普適性.

考慮到弱探測近似Ωp?Ωc,Ωd,對角化哈密頓量可求得本征值的解析表達式:

這里t anθ=其中等效拉比頻率為表示所有原子始終處于基態未激發.從(4b)式—(4d)式可以看出,綴飾態|0〉僅包含|m〉和|r〉,故與|D〉不發生直接耦合,對探測光場表現為不吸收.只有綴飾態|?〉和|+〉中包含組分|e〉,可與|D〉在和處發生耦合,使原子有一定概率激發到除|g〉以外的其他原子能級上,對探測光表現為吸收[31].如圖1(b)所示,由于|g〉只與|+〉和|?〉耦合,系統此時可看作包含|g〉,|+〉和|?〉三個能級,吸收譜線表現為雙峰結構.當Δ=0 時,雙吸收峰是關于探測共振頻率δ=0 對稱的,該現象被稱為Aulter-Townes(AT)分裂,而雙峰間距恰好等于Ω[32].與三能級系統一樣,在倒Y 型系統中,當控制光的單光子失諧Δ不等于0 時,這種對稱結構被破壞.

在強耦合場Ωc的情況下,探測光吸收曲線由EIT 過渡到AT 雙峰[33,34].本文主要研究吸收峰的窄化與附加控制光場Ωd的關系,并利用綴飾理論解釋其譜線窄化的物理機理.通常情況下,探測光吸收譜線的最小寬度受限于能級之間的相干衰減率,而激發態|r〉與基態|g〉間的相干衰減率γrg與能級自發衰減率Γr和Γg有關,表示為γrg=(Γr+Γg)/2,高達百kHz的數量級[16].如激發態|5D5/2〉的能級壽命約為238.5 ns[35],相應的能級自發輻射衰減率達 680 kHz[16].在傳統的梯型EIT 過程中,由于|g〉與|e〉和|r〉之間存在相干性,譜線線寬受γeg和γrg共同影響,因此通過減小上能級與基態之間的γrg,可以實現譜線的窄化[36],如選擇能級壽命較長的高激發里德伯態.而我們的研究進一步揭示出,在倒Y 型結構中通過調節控制光Ωd可以改變原子介質對探測光的吸收,建立兩個基態超精細能級|g〉和|m〉之間的直接關聯.從而令吸收譜線窄化的極限僅取決于|g〉和|m〉之間的相干衰減率γmg,而非激發態與基態之間的γrg或者γeg.通常情況下,滿足γmg?γrg,γeg的條件將有望獲得超窄的吸收譜線.

2.2 譜線線寬的定義

譜線的自然線寬取決于原子能級的壽命.以簡單的二能級原子為例闡述譜線線寬的估算.在二能級原子模型中,若上、下能級的自發輻射壽命分別為τ1和τ2,根據海森伯不確定原理,每個能級的能量Ei都具有一定的分布寬度 ΔEi,滿足ΔEi·τi ≈?(i=1,2),即 ΔEi ≈?Γi.這里Γ1,2代表能級的自發衰減率,約為能級壽命的倒數.因此能量總的不確定量可寫成 ΔE=?·Δω ≈?(Γ1+Γ2),進而譜線的寬度為Δω ≈Γ1+Γ2=2γ12[37].這里γ12是上下能級之間的相干衰減率.對于更復雜的能級系統,譜線的寬度將受多個能級間的相干衰減率和耦合相互作用的共同影響.

在倒Y 型系統中,定量研究如何有效調節Ωd實現譜線線寬窄化及極限寬度的計算,揭示AT 分裂現象的物理本質.在綴飾表象下,|D〉與|+〉(|?〉)分別在δ+(δ?)處發生躍遷,能級躍遷形成的兩個探測吸收峰分別對應于綴飾態能級|±〉與|D〉之間的共振吸收,吸收峰的寬度與|+〉(|?〉)和基態間的相干衰減率γ+D(γ?D)有關,滿足w±D=2γ±D.根據(4c)式和(4d)式,γ±D應由能級|m〉,|e〉,|r〉與基態|g〉之間的相干衰減率γmg,γeg和γrg共同決定[38].因此,可以寫出δ+(δ?)兩處吸收光譜的等效線寬w+D(w?D),表示為

本質上與|m〉,|e〉,|r〉裸態上的布居數和能級的自發衰減率有關.當Δ=0 時發生單光子共振耦合,sinθ=cosθ,此時w+D=w?D表示兩個吸收峰的譜線寬度相等;當Δ/=0 時,sinθ/=cosθ,兩個吸收峰的譜線寬度不等.考慮到Δ ＞0 和Δ ＜0的結果類似,本文僅研究Δ ＞0的情況.

隨著Δ的增大 sinθ趨于 0,cosθ趨于 1,由于γmg?γrg?γeg,因此位置處的w?D逐漸增大位置處的w+D逐漸減小.本文重點研究w+D的窄化,將θ,φ的表達式代入(5b)式中,得到:

在討論線寬的同時,實際應用中EIT 吸收或者透射峰的對比度也十分重要,一般認為對比度越高,線寬越窄對研究越有幫助[39].因此,用

來表征譜線的對比度,其中Amax和Amin分別表示吸收峰的最大和最小值.

2.3 線寬極限的數值驗證

數值驗證中,選用合適的87Rb 原子能級,詳見4.3 節.Γα(β)表示能級|α(β)〉(α,β ∈(g,m,e,r))的總自發衰減速率,則兩能級之間的相干衰減率滿足本文先以Γe作為頻率單位估算其他參數,分別為γmg=γgm=1.667×10?4(約1 kHz),γeg=0.5(約3.0 MHz),γrg=0.057(約340 kHz),γre=0.557(約3.34 MHz) .

考慮存在各種耗散機制,采取主方程的方法進行數值計算.密度矩陣主方程的普適形式為

其中是 4×4的密度矩陣算符,的表達式見(1)式,L為Lindblad 算符,表征了體系的耗散過程,可寫為[40]

這里,{βα}∈{eg,em,re,mg,gm},Γαβ為能級|α〉到|β〉的自發衰減速率.由于相干衰減率且能級的總自發衰減率Γr=Γre,Γg=Γgm,Γm=Γmg,Γe=Γeg+Γem,故將和L的表達式代入主方程(9),整理之后可得描述原子與多光場相互作用的光學Bloch 方程.這里,非對角項ραβ的隨時演化滿足

而對角項ραα的時間演化滿足

根據理論公式(6)可知,在滿足Δ ?Ωc,Ωd且Ωd→0 時(等同于梯型結構),線寬w+D趨近于2γrg(約 680 kHz).然而,憑借輔助光場Ωd的有效調節,有望獲得倒Y 系統譜線窄化的極限值為

毫無疑問,能級間的相干衰減率γmg較γrg小兩個數量級,可以實現對譜線線寬的極大窄化.從圖2(a)可以很明顯地看出,兩條曲線在Ωd較小的時候并不符合,原因是此處弱探測場假設Ωd?Ωp失效,導致理論估算值(紅色虛線)與數值計算結果(藍色實線)差異較大.然而,當Ωd增大時,兩者趨向于一致,也驗證了本文理論的正確性.另外也發現,根據理論分析可以得出,有效調節輔助光場Ωd可獲得窄化線寬的極限值wlim((12)式);但理論估算的結果為伴隨著Ωd增大,譜線線寬w+D逐漸減小直至最小值,約為23 kHz,隨后不斷增加.其原因主要是 Δ?Ωc,Ωd的條件限制了Ωd的可調節范圍,這點將在3.1 節詳細討論.數值結果給出的線寬表明,只有當Ωd足夠小時,才能獲得極窄的譜線.然而研究發現,當Ωd趨近于0 時雖然譜線線寬不斷趨向于wlim,但也伴隨著信號對比度ηcontrast的急劇下降,如圖2(b)所描繪,因此在實驗上很難觀測到該信號.實驗中往往希望兼顧窄線寬和高對比度兩方面的優勢,所以通過調節附加光場Ωd發現,當Ωd/Γe=1.1 時,w+D=23 kHz,ηcontrast=0.99,如圖2(b)中箭頭所指位置.實驗上,在譜線對比度可接受的范圍內應盡量減小控制光的拉比頻率Ωd,此時得益于超精細基態能級之間的相干衰減率γmg的主導作用,不僅可以得到比傳統的光學躍遷過程小很多的線寬,同時譜線還具有很高的對比度,在量子信息存儲以及高分辨光譜等領域具有重要的應用價值[42-46].

圖2 (a) δ=δ+ 處吸收譜線的線寬 w+D 與 Ωd的關系.紅色虛線是根據(6)式得到的理論結果,藍色實線是數值計算的結果.(b) δ=δ+ 處吸收譜線的對比度 ηcontrast 與Ωd的依賴關系.計算所取參數為Ωp=0.03,Ωc=0.3,Δ=15,δc=?15.箭頭所指位置表示對比度 ηcontrast 達到0.99 對應的Ωd 和 w+D的取值Fig.2.(a) Absorption linewidth w+D vs the coupling-field Rabi frequency Ωd .Theoretical (Eq.(6)) and numerical results are plotted by red-dashed and blue-solid curves,respectively.(b) Spectrum contrast ηcontrast vs Ωd for δ=δ+ .Arrow shows the location of (Ωd,w+D,ηcontrast)=(1.1Γe,23 KHz,0.99).Simulation parameters are Ωp=0.03 ,Ωc=0.3,Δ=15 and δc=?15 .

2.4 與三能級梯型系統的比較

進一步研究三能級梯型結構的譜線窄化問題,考慮該體系僅包含能級|g〉,|e〉,|r〉.如圖1(c)所示,在處存在兩個吸收峰,其中δ+′=處的光譜線寬可表為

圖3 三能級梯型系統中,在 δ=位置處吸收譜線線寬=與0.3控制光失諧量 |δc|的依賴關系.這里取 Ωp=0.03,Fig.3.In a three-level Ladder system the spectrum linewidth w vs detuning |δc| .Here Ωp=0.03 ,Ωc=0.3 .

3 能級失諧的影響

為了進一步探究吸收譜線的窄化線寬極限與其他參量的依賴關系,本節考慮各因素的影響.

3.1 失諧量的大小

2.1 節中為了推導吸收譜線窄化極限線寬的解析表達,假設條件δc=?Δ成立,此時倒Y 模型可視作約化的三能級(如圖1(b))進行研究.下面進一步研究Δ的絕對大小對譜線窄化的影響.

當滿足(7)式的條件即Δ ?Ωc,Ωd時,(6)式可化簡為

此時,若Ωc和Ωd的相對大小發生變化,導致線寬的可調范圍變為w+D ∈2[γmg,γrg] .由于條件Δ ?Ωd,Ωc無法嚴格滿足,所以實際計算結果與預估范圍略有區別.圖4(a)和圖4(b)給出了Ωd=0.5 和1.1兩種情況下線寬和對比度隨Δ的變化趨勢.很明顯,隨著Δ的增大,譜線寬度w+D急劇減小并不斷接近極限值 2γmg.當Δ=150 時(圖上未顯示,對應Δ=900 MHz),w+D可達 2.2 kHz,這與理論預估的極限值已非常接近.從圖4(a)和圖4(b)還可以看出,失諧量Δ的變化對譜線的對比度沒有明顯影響,如當Ωd=1.1 時,對比度可以保持在 0.99 附近.所以,在實際應用中通過增大Δ獲得高質量譜線的方法還是十分可行的.

圖4 (a)Ωd=0.5 和 (b)Ωd=1.1 兩種情況下,δ=δ+ 處吸收譜線寬度 w+D (藍色實線)和對比度 ηcontrast (紅色虛線)隨失諧量Δ的變化關系.其他參數和圖2 相同Fig.4.Dependence of spectrum linewidth w+D (blue-solid) and contrast ηcontrast (red-dashed) on the detuning Δ under (a)Ωd=0.5and (b) Ωd=1.1 .Other parameters are same as in Fig.2.

為了便于直觀比較,圖4 中僅繪制了Δ ∈[0,20]的結果.當Δ=15 時,若Ωd=1.1 對應線寬w+D ≈23 kHz,對比度ηcontrast≈0.99 .為了使譜線寬度w+D進一步降低,可繼續調節附加光場Ωd的大小.在Ωd=0.5 情況下,可以看出線寬w+D ≈9 kHz,對比度ηcontrast≈0.97 .相比于Ωd=1.1的情況,更小的Ωd可以得到更窄的線寬,但對比度也稍有降低,不利于實驗上觀察明顯的吸收譜線.為了保證較好的對比度,選取最佳的Ωd=1.1,與圖2 結果完全一致.實驗上需要綜合考慮線寬和對比度的實際需求,合理地選擇附加光場的強度.

3.2 δc=?Δ 不滿足時

為了體現研究結果的普適性,假設條件δc=?Δ不滿足.此時吸收譜線一共存在三個吸收峰,分別位于Ω)≈0和δ ≈?δc處.倒Y 型系統可以看作梯型和Λ型三能級的組合.

這里依舊研究δ=δ+處吸收峰的窄化現象.注意到,若δ=Δ致使由|g〉,|e〉,|m〉組成的Λ 型三能級始終滿足雙光子共振條件,該共振引起的吸收譜線與上能級|r〉無關.故δc的改變不會影響δ=δ+≈Δ處的譜線線寬和對比度.數值驗證可見圖5(a)—圖5(d),可以很直觀地發現,在不同δc取值的情況下,δ=δ+處的吸收譜線外形幾乎不變,與理論分析完全符合.這表明本文提出的倒Y 型四能級結構的理論解釋擁有足夠的普適性,線寬極限和對比度的分析結論均不依賴于參數δc的選擇.

圖5 (a)—(d)不同的δc 取值下,δ=δ+ 位置附近的吸收譜線.這里取 Ωd=1.1,Δ=15,其他參數和圖2 相同Fig.5.(a)—(d) Absorption spectrum around δ=δ+ for δc=(?2Δ,?Δ,0,Δ) .Here we choose Ωd=1.1 and Δ=15 .Other parameters have been described in Fig.2.

4 實驗可行性討論

4.1 時間依賴的控制光場

在綴飾表象下的討論中(見第2 節),我們發現如果采用大失諧的光場((7)式),并且控制光和耦合光的拉比頻率滿足Ωd?Ωc時,激發態|+〉和基態|D〉的相干衰減率γ+D僅由|m〉和|g〉之間的相干衰減率γmg決定.由于γmg?γrg?γeg,可以在δ=δ+處獲得非常窄的吸收譜線,寬度趨向于w+D→2γmg.然而,非常小的相干衰減率γ+D會延長系統到達穩態的時間.在實際實驗過程中,開合激光的同時體系需要一定的響應時間才能恢復到一個新的穩態,因此有必要研究吸收譜線對光場的響應規律.

當沒有加入控制光時(Ωd(t)=0),系統可看作三能級階梯型結構,在大失諧的情況下,吸收峰峰值的高度非常低(約10?5) .當開啟控制光后,系統將經過一定的響應時間后達到一個新的穩態(約10?2) .數值模擬了δ=δ+處吸收譜線的峰值隨時間的變化,如圖6(b)所示.當t=200 μs 時,開啟控制光(Ωd(t)=6.6 MHz)導致吸收峰經過大約515 μs的響應時間之后達到新的穩態.這里,影響響應時間的主要因素是非常小的相干衰減率γ+D.為了更直觀地展示吸收譜線的變化,圖6(a1)—圖6(a3)分別給出了 (t1,t2,t3)=(100,250,800)μs時δ=δ+處的吸收譜線.比較圖6(a3)和圖6(a1)可知,通過施加控制光可以有效地改善吸收譜線的特征,獲得兼具窄線寬和高對比度的譜線.

圖6 考慮控制光場 Ωd(t) 在 t=200 μs 時開啟,(a1)—(a3)當 t=(t1,t2,t3)=(100,250,800)μs 時 δ=δ+ 位置處的吸收譜線;(b) 該處吸 收譜線的峰值高度M ax(Imρge) 隨時間 t的變化.當 t ＜200 μs 時,Ωd(t)=0 ;當 t ≥200 μs 時,Ωd(t)=6.6 MHzFig.6.In the case of a time-dependent control field which is Ωd(t)=0 for t ＜200 μs and Ωd(t)=6.6 MHz for t ≥200 μs .(a1)—(a3) The absorption spectrum at δ=δ+ ≈90.12 MHz when t=(t1,t2,t3)=(100,250,800)μs, respectively.(b) Time-dependent peak absorption Max(Imρge(t)) as a function of time t. The control field is turned on at t=200 μs .

4.2 原子熱運動對譜線窄化的影響

在一定的溫度T下,以速度v運動的原子將感受到多普勒頻移,導致三束光場對應的單光子失諧量發生改變:kdv.這里令|kp,c,d|=2π/λ代表對應光場的波矢,λ=780 nm.此時,表征譜線吸收率的表達式可改寫為[49]

由麥克斯韋速率分布函數對原探測場的吸收率進行積分可得到新的譜線[50,51]:

代表速率函數,用來描述原子的運動分布,k,m,T分別表示玻爾茲曼常數、原子質量和原子溫度.

為了減小多普勒效應的影響,假定原子速度v對雙光子失諧量δ ?Δ和δ+δc產生的修正可以忽略,即需要優化設計三束光場的傳播方向:kp=kd(探測光與控制光同向傳播),kp=?kc(探測光與耦合光反向傳播)[52].該條件能夠最大限度地補償由于多普勒效應導致的譜線增寬,保證δ+位置處譜線的寬度最窄.數值結果如圖7 所描繪,在不同的溫度T下展現了譜線線寬和對比度與控制光強度的關系.與前人結果類似[29],譜線線寬隨著溫度的增加會明顯增大,同時對比度也略有降低.也就是說,原子的熱運動對譜線窄化是不利的因素.在溫度較低(T ＜10?3K)時,我們理論預言的窄化線寬極限還是能夠達到的.注意到,在倒Y 型四能級系統中不能完全消除多普勒效應的影響從而獲得無多普勒增寬光譜,其根本原因是該模型只包含單光子和雙光子激發過程,無法通過多光束傳播方向的空間設計使得總波矢為0,進而不滿足無多普勒增寬效應中波矢的空間匹配條件[53].這也是本文的模型有待下一步完善的地方.

圖7 不同的溫度 T=(10-2,10-3,0)K 下,(a) w+D 和(b) ηcontrast 與 Ωd的依賴關系.選取的參數是 Δ=90 MHz,δc=?Δ,其他和圖2 相同Fig.7.Under different temperatures T=(10-2,10-3,0) (a) w+D and (b) ηcontrast vs the control-field Rabi frequency Ωd .Here Δ=90 MHz and δc=?Δ and others are the same as in Fig.2.

4.3 實驗中原子能級和參數的選取

在倒Y 型模型中,實驗上可選用87Rb 原子的能級結構: 兩個超精細基態分別為|g〉=|5S1/2,F=2〉和|m〉=|5S1/2,F=1〉,激發態|e〉=|5P3/2〉和|r〉=|5D5/2〉構成倒Y 型四能級結構[16,30].另外,與能級壽命有關的自發衰減率是Γg=Γm=1 kHz,Γe=6.0 MHz[30],Γr=680 kHz[16],耦合光和附加控制光的失諧量分別為δc=?90 MHz,Δ=90 MHz[11].在實際實驗中,可選取三束光場的拉比頻率為Ωp=0.2 MHz[10],Ωc=2 MHz[16],Ωd∈(0.1?60)MHz[11].可以發現,當Ωd=6.6 MHz 和δ=90.12 MHz (探測光失諧量)時,有望獲得兼具窄線寬w+D=23 kHz和高對比度ηcontrast=0.99的最佳吸收光譜線.

另外,在Ωd=3 MHz 和 6.6 MHz 兩種情況下,通過大范圍地調節附加光場的失諧量Δ發現,隨著Δ的增大,譜線寬度w+D急劇減小.當Δ=900 MHz時線寬w+D可達 2.2 kHz,與理論預估的極限值2 kHz已非常接近.而失諧量Δ的變化對譜線的對比度沒有明顯影響,仍然保持在 0.99 左右.

5 結論

理論研究了倒Y 型四能級原子系統中探測光吸收譜線的窄化機制,解析推導了吸收光譜窄化的極限線寬.研究發現,通過附加第三束控制光場的有效調節,可以使得該線寬僅依賴于兩個超精細基態之間的相干衰減率,遠小于原譜線的自然線寬.與傳統的三能級梯型結構相比,吸收光譜線寬的窄化極限值可以提高2 個數量級.通過適當調節控制光的拉比頻率和失諧量,本文模型有望獲得兼具超窄線寬 (約23 kHz) 和高對比度 (約0.99)的可觀測光譜信號.在研究吸收譜線對光場的響應規律時發現,施加控制光可以有效地改善譜線的特征,獲得兼具窄線寬和高對比度的吸收光譜線;但由于受制于基態能級間非常小的相干衰減率,導致響應時間較長.另外，還系統地研究了數值結果的依賴關系以及原子熱運動對窄化的影響,雖然不滿足無多普勒的波矢匹配條件,但可以通過優化光的傳播方向減小多普勒效應的影響,在低溫環境下獲得較理想的窄化譜線.這些研究成果將為高分辨光譜的實驗發展提供幫助.