數形相依 化繁為簡
——例談“數形結合思想”在二年級問題解決中的應用

余敏霞

浙江工業大學附屬實驗學校 310023

馬克思曾經說過：數學是空間形式與數量關系相結合的一門學科，它是以自然科學為基礎的，解釋自然和社會規律的科學。可見數學就是對于“數”和“形”的研究。數形結合思想是將直觀的空間形式和嚴謹的數量關系相結合來認識數學，利用“數”與“形”的優勢進行互補，使抽象的問題變得更加具體，復雜的問題變得更加簡單［1］。因此，在小學階段進行數形結合思想的滲透，引導學生利用數形結合思想解決問題顯得非常必要。筆者結合二年級數學，探索“數形結合思想”在問題解決中的實際應用。

一、由形及數

1.依托形，計算數

初學計算過程中，學生對于計算還不是很熟悉，教師往往需要利用小棒幫助學生進行計算。從20 以內的加減法、100 以內的加減法、乘法、除法到有余數的除法的過程中，學生初次進行計算時，往往要借助小棒。而在有余數的除法計算中，學生則需要利用小棒擺出圖形幫助解決。

案例1“有余數的除法”教學片段

片段一

師（課件動態演示分草莓的過程，如圖1）：你們看到了什么？

圖1

生：7 個草莓擺成了3 盤，每盤2個，還多了1 個。

師：你們能用一個算式表示出來嗎？生：7÷2=3（盤）……1（個）。

師：3 表示什么意思？1 表示什么意思？

片段二

師：用8、9、10、11、12 根小棒擺正方形，你能用算式表示出來嗎？

生：8÷4=2（個）；

9÷4=2（個）……1（根）；

10÷4=2（個）……2（根）；

11÷4=2（個）……3（根）；

12÷4=3（個）。

師：為什么不能多余4 根小棒呢？有沒有同學上來動手做一做？

師（總結）：通過小棒操作，學生理解4 根小棒可以拼成一個正方形。

面對一個新的問題，學生僅僅通過理解題意來解決是有困難的。因此教師需要借助小棒解決問題，而在第二個問題中，僅靠小棒還不夠，還要將小棒拼成正方形（如圖2），利用圖形解決問題。教師在解決問題的過程中，要對學生進行引導，幫助解決問題。

圖2

2.依托形，解決數的問題

學生在解決問題過程中，由于有時不能對圖形信息進行加工、分析，解決問題的策略不能得以優化，故在教學過程中，教師要引導學生對圖片信息加以整理、分析。

案例2“有余數的除法解決問題”教學片段

師：按照下面的規律擺小旗（如圖3）。這樣擺下去，第16 面小旗應該是什么顏色？

圖3

生：我是用算一算的方法來完成的，用16 除以3 等于5 組余1 面。我是這樣想的，這道題是算16 面小旗里有幾個3，所以用除法來解決。每3 面小旗一組，所以要用16 除以3，商是5，余數是1，表示是下一組里面的第一面，就是黃色的小旗。

師：16 表示什么？3 表示什么？5 表示什么？1 表示什么？

生：16 表示總共有16 面小旗，3 表示每組里面有3 面小旗，5 表示有這樣的5 組小旗，1 表示下一組里面的第一面小旗。

師：第27 面小旗應該是什么顏色？

有的學生發現27÷3＝9 沒有余數，該怎樣判斷呢？

小結：余數是幾，答案就是這一組中的第幾個。沒有余數說明正好分完，就是每組最后一個。

解決問題的時候，經常會遇到圖片信息，學生可能會感覺比較棘手，這個時候教師要引導學生善于轉化，將圖片信息轉化成文字信息。根據學生的情況，將具體的圖形轉化為抽象的數字，符合學生思維發展的順序，增強了學生學習的動力。

二、轉數為形

1.依托數，解決圖形問題

解決實際問題過程中，往往信息比較多，需要學生進行加工整理。而二年級的學生對于信息的整理能力還比較弱，因此需要借助圖形進行展示，將題意用線段圖的方式表示。因此教師要對線段圖進行滲透，幫助學生學會畫線段圖并理解線段圖的含義。

案例3“解決問題”教學片段

甲：“我們一共要烤90 個面包，已經烤了36 個。”

乙：“每次能烤9 個。”

提問：剩下的要烤幾次？

師：仔細讀題，你知道了什么？誰能完整地說說這道題的意思？你打算用什么方式解決？

生：可以畫圖（如圖4）。

圖4

師：你看得懂這個圖嗎？藍色部分表示什么？粉色部分表示什么？

師：你能列式計算嗎？

在混合運算解決問題中，信息較多，學生不會進行整理，可以引導學生將獲得的信息進行整理分析，轉化成圖形，有利于學生解決問題。用線段圖幫助學生厘清解題思路，引發學生的聯想，促進學生形象思維和抽象思維之間的聯系，讓學生迅速分析問題和解決問題。

2.依托數，解決實際問題

面對復雜的問題時，數據信息較難分析。比如，在有余數的除法解決問題中，對于余數的取舍難以把握，這個時候通過畫圖的方式可以清晰明了地表示出題意，幫助判斷余數的取舍。

案例4“有余數的除法解決問題”教學片段

（1）溝通方法，數形結合

例題：22 個學生去劃船，每條船最多坐4 人。他們至少要租多少條船？

在反饋學生的方法（如圖5）時，筆者把教學分為兩個層次：第一，一個一個地理解方法表示的含義；第二，聯系三種方法，將算式中的各個數字畫一畫、寫一寫、找一找，幫助學生理解三種方法的本質是一樣的，表示的意義也是一樣的。在教學中溝通三種方法間的聯系，滲透數形結合思想。

圖5

（2）練習鞏固，扎實基礎

二年級的學生較容易受圖畫影響，所以筆者對選一選中的練習增加了圖片，如圖6、圖7，不僅吸引了學生的注意力，同時也能幫助學生理解對余數的取舍。通過圖片，學生更能理解為什么多余的數量要舍去或者進一，進一步鞏固本節課的知識，加深對新知的理解。在課外練習中，筆者滲透了數形結合的思想，幫助學生加以鞏固。

圖6

圖7

數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維相結合。因此課堂中，利用數形結合思想解決問題更方便，也更有實效。

總之，教師遵循一定的教育、教學規律，及時根據學生的情況，調整自己的教學預設。當學生學有余力時，適時滲透數形結合思想，豐富方法的多樣性，發展學生的思維［2］。學生在解決問題時，具象思維轉成抽象思維容易，而抽象思維轉成具象思維有難度，故而需要教師加以引導、幫助。因此教師在日常教學中，無論是圖形轉化成數，還是根據數或式轉化成圖形，都需要加以重視。數學學習是一個長遠的過程，教師需要潛移默化地影響學生，培養學生的思維能力。