基于表征體元的空心型回填多孔結構導熱模型

王志國， 梁衛， 楊文哲， 宋永臣， 張佳， 譚明哲， 張田震

(1.東北石油大學土木建筑工程學院， 大慶 163318； 2.天津商業大學機械工程學院， 天津 300134； 3.大連理工大學能源與動力學院， 大連 116024)

地熱能在供暖、發電等應用中，一般使用地埋管來進行采集和傳輸。從利用情況看，地埋管傳輸過程存在熱損失，對地熱能有效利用具有很大影響。對地埋管而言，熱效率不僅與自身結構有關，與回填過程及回填材料的選擇也有很大關聯。所謂回填，是指在鉆孔內安置完地埋管后，向鉆孔與地埋管的間隙中灌注回填料的過程。回填材料不僅可以影響埋管和周圍巖土的換熱；同時可以防止地面水向地下滲透和蓄水層之間的交叉污染[1]；還可以降低初投資成本[2]和工程中對管道長度和土壤面積的需求等[3]。

回填材料種類多樣，不同類型的材料對地埋管換熱器熱性能的作用效果也不同。一般應用的回填材料有三種類型：傳統回填料、工業廢料和相變材料。常用的傳統回填料是指水泥基、膨潤土基等組合結構。水泥基和膨潤土基都是基礎材料，前者具有更好的熱物性、耐久性和機械性，只是成本較高[4]。近年來，為了節約資源和保護環境，一些工業廢料也被再循環充當回填料使用[5]。相變材料因具有潛熱大等優點，可以快速緩解埋管周圍熱積聚的問題[6]，顯著提高地源井出熱量[7]。在不同的配比和運行模式下，相變回填材料對換熱器的影響也不同[8]。即使是同一回填材料，作用于地埋管的換熱效果也有差異，影響因素主要有兩類：材料粒徑和組分干濕狀態。項永亮[9]分析后得出回填材料孔徑在140～160 mm時對單U形地埋管換熱的效果最好。有研究表明，濕砂膨潤土的回填性要優于干砂膨潤土和土壤[10-11]。

目前，已有的導熱系數獲取方法主要包括查表法、實驗法和模型推導法等。其中，查表法和實驗法都是工程中比較直接和常用的方法，兩者的相對誤差較小[12]。模型推導法就是通過建立數學(或物理)模型來描述和推導傳熱過程的方法，目前已建立的模型有地熱井井筒溫度場模型、基于數據篩選的導熱系數計算模型等[13-14]。現采用物理模型推導法，即通過建立物理模型來推導獲得導熱系數。

中國地熱能的發展處于起步階段，在地埋管研究及應用方面，研究者大多是基于宏觀層面進行分析，主要體現在3個方面：地埋管自身結構對熱效率的影響；工程因素改變會造成的影響；周圍環境的作用效果等。然而，在相關微觀結構機理等層面的研究涉及不多，有關外部回填多孔材料導熱結構的研究也需要深化。現嘗試建立地熱采集過程外部回填結構的導熱分析模型，探索一種相對精細和準確的推導方法。

1 基于多孔介質表征單元體的回填結構描述方法

回填結構屬于典型多孔介質，其固體骨架中填充著液相和氣相物質。依據孔隙內所含物質的相態和濕分，回填多孔結構可以分為飽和態(孔隙內均為液態水)、干飽和態(孔隙內均為空氣)以及介于兩者之間的非飽和態。現研究的是非飽和態回填結構，結構內含有固體顆粒、液態水和空氣等。

回填結構的內部組成較復雜，且難以描述其反應過程。在建立導熱模型時，需要選取表征單元體(representative elementary volume， REV)來進行研究和分析。表征單元體是指在孔隙區域中包含有固相骨架結構和孔隙空間相似的單元體，兩者一般均勻分布在單元體內。對于回填多孔介質而言，在研究中引入孔隙度與表征單元體，可視為連續介質，對結構的孔隙性質、孔隙空間內的流體性質和熱力學性質等進行描述、分析。

在選取REV時，最重要的就是參數平均范圍的選取，要求表征單元體的尺寸范圍與整個流動區域相比足夠小，且應包含足夠多的孔隙[15]。王志國等[16]以孔隙度作為狀態變量，給出了體積加權REV選取方法。采用該方法選取REV模型。假設多孔介質的孔隙內只含有液態水和空氣。選取時，注意事項[17]如下。

(1)REV應該是圍繞多孔介質中某一點P的一個小范圍，它遠小于整個流體區域的尺寸。

(2)REV應該比單個孔隙空間大得多，可以包含足夠多的孔隙。

(3)REV中的基本參數隨空間坐標的變化幅度小，平均值接近于真實值。

2 回填結構物理模型

地熱能采集過程，以U形地埋管為例，如圖1所示。載熱流體從左側入口進入，與地埋管外部結構內儲存的地熱能進行熱交換后，從右側支管流出。流體在埋管內流動時的熱交換可以分為三部分：埋管內流體間的相互換熱、流體和埋管管壁之間的換熱以及埋管管壁和回填結構之間的接觸換熱。由此可見，回填結構的導熱特性在一定程度上影響著埋管的熱效率。在所研究的空心型回填結構中，假設回填結構為正方體，其內部任意處有一邊長為x的正方體孔隙，如圖2所示。為了方便研究，在建立多孔介質導熱模型中，做出如下假設。

(1)多孔介質是連續均勻的，具有各向同性。

(2)在傳遞過程中，多相物質為理想狀態，相互不發生反應。

(3)多孔介質的內部孔隙里只存在液態水和空氣，二者規則排布。

(4)多孔介質內只存在導熱過程，任一點都處于熱力平衡狀態。

(5)忽略內部水分的散失對傳遞過程造成的影響。

圖1 地熱能采集過程物理模型Fig.1 Physical model of geothermal energy collection process

圖2 空心型回填結構Fig.2 Hollow type backfill structures

3 回填多孔結構導熱模型構建

3.1 孔隙率選取

孔隙率代表著多孔介質內部孔隙通道V1在總體積V2中所占的比例，表達式為

(1)

式(1)中:φ為孔隙率。

當表征單元體為一維時，孔隙率的表達式為

(2)

當表征單元體為二維時，孔隙率的表達式為

(3)

當表征單元體為三維時，孔隙率的表達式為

(4)

由此可見，孔隙體積和多孔介質體積的表達式根據所研究的維度來確定。無論表征單元體為幾維，孔隙的體積都是定值。那么，當多孔介質為單位體積“1”時，由式(2)～式(4)可推得孔隙特征長度與孔隙率之間的關系式為

(5)

式(5)中:φn為n維孔隙率(n=1,2,…)。

3.2 基于REV二維分析模型

根據物理模型，建立二維分析模型，如圖3所示。一般來說，二維模型只能粗略分析回填結構的熱傳遞過程。

圖3 二維分析模型Fig.3 Two-dimensional analysis model

對于圖3(a)所示的模型，在導熱分析時，熱流與孔隙方向平行，相當于并聯。此時，可以將其表示為：表征體元內的液態水、空氣和上下兩側的固體骨架并聯后，再與外部固體骨架串聯。

二維并聯分析模型的導熱系數λ1為

(6)

(7)

式中：λ為左右兩側固體骨架導熱系數，W/(m·K)；λ′為中間的固體骨架、水和空氣相互并聯的導熱系數，W/(m·K)；λp為孔隙內并聯導熱系數，W/(m·K)。

式(8)是由孔隙內水和空氣相互并聯得到的導熱系數公式。將式(8)代入式(7)，再將得到的公式代入式(6)，由此可得二維并聯分析模型的導熱系數公式，即式(9)。

(8)

(9)

式中：α為水氣比，即孔隙中液態水體積與空氣體積的比例；λg為干空氣的導熱系數，W/(m·K)；λ1為液態水導熱系數，W/(m·K)。

對于圖3(b)所示的模型，在導熱分析時，熱流與孔隙方向垂直，相當于串聯。此時，可以將其表示為：表征體元內的液態水和空氣先串聯，再與上下兩側的固體骨架并聯后，最后和外部固體骨架串聯。

二維串聯分析模型的導熱系數λ2為

(10)

(11)

式中：λ″為中間的水和空氣患聯后，再與上下兩側固體骨架并聯的導熱系數，W/(m·K)；λs為孔隙內串聯導熱系數，W/(m·K)。

式(12)是由孔隙內水和空氣相互串聯得到的導熱系數公式。將式(12)代入式(11)，再將得到的公式代入式(10)，由此可得二維串聯分析模型的導熱系數公式，即式(13)。

(12)

(13)

3.3 基于REV三維分析模型

三維分析模型，如圖4所示。一般來說，三維模型可以精確分析回填結構的熱傳遞過程。在計算其導熱系數時，可采用3.2節中孔隙與固體骨架串聯的形式。

圖4 三維分析模型Fig.4 Three-dimensional analysis model

對于圖4(a)、圖4(b)所示的模型，在導熱分析時，當孔隙內的水和空氣相互并聯和相互患聯時，則三維并聯模型的導熱系數λ3、λ4分別如式(14)、式(15)所示。

4 導熱模型驗證和回填結構影響因素分析

4.1 模型驗證

采用課題組自主研發的導熱系數測試裝置，對硅酸鈣進行實驗測試。以一次樣本的隨機取樣方法為例，取宏觀長度L=1.12 mm的硅酸鈣樣本，使用實驗設備進行微CT掃描，如圖5所示。掃描得到的數據如下：孔隙直徑的范圍為106.70～2.38 μm；孔隙度φ=0.178。利用烘干法得到樣本的含水率為37%。

實驗測試結果與模型的結果對比，如表1所示。

(14)

(15)

式中：λ?、λ?′分別為三維并聯、串聯模型中間孔隙的導熱系數，W/(m·K)。

圖5 硅酸鈣的二維掃描截面Fig.5 2D scanned cross-section of calcium silicate

表1 模型驗證結果對比分析Table 1 Model verification results comparison analysis

可以看出，模型導熱系數與實際偏差均小于15%；三維模型導熱系數的相對偏差較小，更接近實際。

4.2 回填結構影響因素分析

地埋管回填結構的固體骨架選用水泥，根據所建模型的導熱系數公式，據此分析多孔介質內的水氣比和孔隙率等對回填結構導熱系數的影響。根據驗證結果，三維模型更準確，選用三維模型進行計算分析。計算中所用到的參數，如表2所示，溫度分別為10、20、30 ℃。

表2 模擬計算介質參數Table 2 Simulation calculation medium parameter

根據式(14)和式(15)，當水氣比為0.5時，三維模型的導熱系數隨孔隙率的變化規律如圖6所示。可以看出，隨著孔隙率的增加，模型的導熱系數均減小；當孔隙率一定時，隨著溫度的增加，模型的導熱系數均增大。

當溫度為10 ℃、孔隙度為0.5時，并聯模型導熱系數為0.918 5 W/(m·K)，串聯模型導熱系數為1.110 9 W/(m·K)。當溫度為20 ℃、孔隙度為0.5時，并聯模型導熱系數為0.953 3 W/(m·K)，串聯模型導熱系數為1.154 1 W/(m·K)。當溫度為30 ℃、孔隙度為0.5時，并聯模型導熱系數為0.988 2 W/(m·K)，串聯模型導熱系數為1.195 2 W/(m·K)。即當溫度變化時，串聯模型曲線變化較為平緩，更接近真實值，與驗證結果一致。

根據式(14)和式(15)，當溫度為20 ℃時，三維模型的導熱系數隨孔隙率的變化規律如圖7所示。可以看出，隨著孔隙率的增加，模型的導熱系數均減小；當孔隙率一定時，隨著水氣比的增加，模型的導熱系數均增大。

當水氣比為0.2、孔隙度為0.5時，并聯模型導熱系數為0.939 4 W/(m·K)，串聯模型導熱系數為1.024 W/(m·K)。當水氣比為0.5、孔隙度為0.5時，并聯模型導熱系數為0.953 3 W/(m·K)，串聯模型導熱系數為1.154 1 W/(m·K)。當水氣比為0.8、孔隙度為0.5時，并聯模型導熱系數為1.000 9 W/(m·K)，串聯模型導熱系數為1.279 8 W/(m·K)。即當水氣比變化時，串聯模型曲線變化較為平緩，更接近真實值，與驗證結果一致。

在上述兩種情況中，當孔隙度為0時，模型的導熱系數與水泥的導熱系數相同；當孔隙度為1時，模型的導熱系數與孔隙內水和空氣并(串)聯的導熱系數相同，與實際吻合。即當孔隙度為0時，材料相當于全由固體骨架構成的，即與水泥基的導熱系數相同；同樣，當孔隙度為1時，材料相當于全由孔隙構成的，即與孔隙內水和空氣并(串)聯的導熱系數相同。

圖6 溫度對回填結構導熱系數的影響Fig.6 Effect of temperature on the thermal conductivity of backfill structures

圖7 水氣比對回填結構導熱系數的影響Fig.7 Effect of water to gas ratio on the thermal conductivity of backfill structures

5 結論

推進成因機理定量研究、淺層地熱能精細化勘探評價、開采過程中的智能化管控、可再生能源之間以及可再生能源與傳統能源的耦合應用，是未來實現淺層地熱能高效利用的重要途徑。據此展開了相關的研究，得出的結論如下。

(1)根據REV方法，構建了地埋管外部回填結構導熱研究的模型，推導出了相關的導熱系數公式。

(2)采用水泥作為回填結構，根據前述所建模型進行了導熱系數的模擬分析計算，計算結果表明孔隙率小且水氣比大的回填結構導熱系數最大。

(3)建立的三維串聯模型更加精準，不僅提供了一種導熱系數在微觀層理上的研究方法，也為其他多孔材料導熱系數的測定提供了一種可供參考的數值計算方法。